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le 2 Juillet 2012 UTBM MT21
M´edian Printemps 2012
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Exercice 1 (Applications directes du cours) - 8 points
Dans cet exercice, aucune question ne n´ecessite plus de quelques lignes pour ˆ
etre r´esolue. Justifier les r´eponses
1. Donner 4 sous-espaces vectoriels distincts du R-espace vectoriel d´efini par
E ={
x y z
∈R3, x=y}
2. Peut-on construire une application lin´eaire injective mais non surjective ? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier.
3. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel de R3, F = vect(V1,V2,V3) avec
V1 =
1 1 1
, V2 =
2 1
−1
, V3 =
−1
−2
−4
?
4. A-t-on
vect(V1,V2,V3) + vect(
1 0 1
) = R3 ?
Cette somme est-elle directe ?
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Exercice 2 - 8 points
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4. Soit B ={b1, b2, b3, b4} une base de E.
1) Montrer que la famille B0 ={b01 =b1+b2, b02 =b2+b3, b03 =b3+b4, b04 =b4}est une base de E.
2) Soit x∈E avec xB =
x1 x2 x3 x4
(coordonn´ees de x dans la base B).
Quelles sont les coordonn´ees de x dans la base B0?
3) D´eterminer le rang de la famille F = {b1 +b2,2.b2 +b4, b4 − 2.b1, b3 +b2 +b4} (i.e.
dim(vect(F))). Justifier.
4) Donner une base d’un suppl´ementaire G de F = vect(F). Justifier.
Exercice 3 - 4 points Soit la matrice A=
2 −1 0 1 −1 1
−1 0 1
∈ M3(R).
On d´efinit, dans le base canonique C de R3, l’application lin´eaire
fA R3 −→ R3
x y z
7→ A.
x y z
1) D´eterminer une base du noyau de fA.
2) Donner une base de l’image par f de F ={
x y z
∈R3/x−y = 0}.
Question suppl´ ementaire - 3 points
SoientEetF deuxK-espaces vectoriels. Soitf :E −→F une application lin´eaire. Montrer que l’image par f d’un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F. Justifier soigneusement.
