Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente

le 24 Janvier 2012 UTBM MT26

M´edian automne 2011

Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main

Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.

PREMIERE PARTIE.

Exercice 1 - 5 points

Etudier la nature des int´´ egrales suivantes : I1=

Z +∞

1

dx

1 +xsin²x, I2 = Z +∞

0

sin²x

x² dx, I3 = Z +∞

0

x³e^−xsinxdx.

Exercice 2 - 5 points

Soient(x, y)∈R², on consid`ere l’int´egrale impropre : B(x, y) =

Z 1 0

t^x−1(1−t)^y−1dt 1. V´erifier que ∀x∈R,∀y∈R, B(x, y) =B(y, x).

2. Montrer que l’int´egrale B(x, y) existe si et seulement si x >0 et y >0.

3. CalculerB ¹₂,¹₂ .

Indication : utiliser le changement de variable t= sin²x

1

DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.

Exercice 3 - 8 points

1. Les s´eries ci-dessous sont-elles convergentes ? un= (2n)!

n²ⁿ , vn=eⁿ².

1− 1 n

n³

.

2. Soit une suite (un)n∈N une suite positive. On pose vn= _1+u^un

n et wn= _1+u^un2 n. a) Montrer que les s´eriesP

u_n et P

v_n sont de mˆeme nature.

b) Comparer la convergence de P

un et P wn.

3. D´emontrer le crit`ere de d’Alembert pour les s´eries `a terme g´en´eral positif.

Exercice 4 - 2 points

Montrer que pour tout x∈R, la s´erie P

(^sin(n.x)_n2 + _2n−^(−1√n)_n) est convergente.

RAPPEL :

ln(1 +X) =X− ^X₂² +o(X²).

cos(X) = 1−^X₂² +o(X³).

sin(X) =X−^X₆³ +o(X³).

arctan(X) =X−¹₃X³+o(X³).

∀k∈]−1,1[,P+∞

n=Nkⁿ= _1−k^kN . e= exp(1)'2.718.

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