le 25 Octobre 2005 UTBM
MT11
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Applications directes du cours) - 7 points
Dans cet exercice, aucune question ne n´ecessite plus de quelques lignes pour ˆ
etre r´esolue
1) Les propositions suivantes sont elles vraies ? (justifier) Sinon, donner leur n´egation.
a - ∀x∈R,∀y∈Z,∃n ∈N, x.y≤n, b - ∀x∈R,∀y ∈Z, x.y ≤2 =⇒2.x≤y.
2) D´eterminer l’ensemble des pointsM ∈R2 d’affixe z∈Cqui v´erifient|z−4i+3|= 5.
3) A quelle condition sur m ∈ R, le polynˆome suivant a-t-il une racine strictement n´egative et une autre strictement positive :
P(x) =x2+ (2m+ 1)x+m.
4) Soit l’application
f : µR2 −→ R x
y
¶
7→ x+y
a - Cette application est-elle surjective ? injective ? b - Montrer que la relation R sur R2 d´efinie par
µ x y
¶ R
µ x0 y0
¶
⇐⇒f(
µ x y
¶
− µ x0
y0
¶ ) = 0
est une relation d’´equivalence.
5) Trouver deux suites (un) et (vn) non born´ees telles que la suite de terme g´en´eral wn=un−vn soit born´ee et non convergente.
1
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 6 points Soit la matrice
A=
µ3 −1
2 0
¶ .
1) Trouver une matriceP ∈ M2(R)avec des 1 sur la diagonaletelle queA.P =P.D avec
D=
µ1 0 0 2
¶ .
2) Trouver l’inverse de P.
3) Exprimer A en fonction de P, D et P−1. Puis A2. G´en´eraliser `a An. 4) Exprimer An en fonction de n.
Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 7 points
1) R´esoudre dansR les ´equations ou in´equations suivantes : a - |(x−1)(x+ 3)|<2,
b - max{|y−1|,|x−1|}= 1
2) Soient les deux nombres complexes
z1 =eiπ3 et z2 =eiπ4
a - ´Ecrire z1 et z2 sous forme arithm´etique.
b - Ecrire z1.z2 sous forme arithm´etique et trigonom´etrique.
c - En d´eduire une ´ecriture de cos(12π) et sin(12π).
2
