- Carte d’´ etudiant obligatoire - AUCUN document n’est autoris´ e

(1)

2008-2009 Licence 1 Introduction aux Math´ ematiques G´ en´ erales

Universit´ e de Paris 8

Examen Introduction aux Math´ ematiques G´ en´ erales

- Carte d’´ etudiant obligatoire - AUCUN document n’est autoris´ e

Interdits : walkman, calculatrice, t´ el´ ephone, organizer, communication, sacs sur la table.

N’oubliez pas nom, pr´ enom et num´ ero sur chaque copie - Dur´ ee : 3 heures.

1 Logique

Exercice 1 * D´ emontrer que pour tout n ∈ N : 1. n ³ − n est divisible par 6 ,

2. n ⁵ − n est divisible par 30 , 3. n ⁷ − n est divisible par 42 .

Exercice 2 Soit n ∈ N . Montrer que soit 4 divise n ² , soit 4 divise n ² − 1.

2 Fonctions

Exercice 3 Soit f : [1, +∞[→ [0, +∞[ telle que f(x) = x ² − 1. f est-elle bijective ? Montrer que f est injective et surjective.

Exercice 4 Soit f : R → C t 7→ e ^it . Montrer que f est une bijection sur des ensembles ` a pr´ eciser.

Montrer que la restriction de f : [0, 2π[−→ U , t 7→ e ^it est une bijection. Ici U est le cercle unit´ e de C , c’est-` a-dire l’ensemble des nombres complexes de module ´ egale ` a 1.

3 Limites

Exercice 5 1. D´ emontrer que lim

x→0

√ 1 + x − √ 1 − x

x = 1.

2. Soient m, n des entiers positifs. ´ Etudier lim

x→0

√ 1 + x ^m − √

1 − x ^m

x ⁿ .

3. D´ emontrer que lim

x→0

1 x ( √

1 + x + x ² − 1) = 1 2 . Utiliser l’expression conjugu´ ee.

4 Complexes

Exercice 6 R´ esoudre dans R les ´ equations suivantes et placer les images des solutions sur le cercle trigonom´ etrique :

sin x =

√ 3

2 ; tan x = −1 .

1

(2)

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Universit´ e de Paris 8

Examen Introduction aux Math´ ematiques G´ en´ erales

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Interdits : walkman, calculatrice, t´ el´ ephone, organizer, communication, sacs sur la table.

N’oubliez pas nom, pr´ enom et num´ ero sur chaque copie - Dur´ ee : 3 heures.

Correction 1 n ³ − n = n(n ² − 1). n pair ⇒ n ³ − n multiple de 2. n impair ⇒ n ² − 1 pair et n ³ − n multiple de 2.

n multiple de 3 ⇒ n ³ − n multiple de 3. n = 3k + 1 ⇒ n ² − 1 = 3(3k ² + 2k) multiple de 3.

n = 3k + 2 ⇒ n ² − 1 = 3(3k ² + 4k) multiple de 3. Dans les 3 cas, n ³ − n est multiple de 3.

n ³ − n est divisible par 2 et 3 qui sont premiers entre eux donc n ³ − n est divisible par 6.

Correction 2 Si n = 2k (pair) alors 4 divise n ² = 4k ² . Si n = 2k + 1 (impair) alors 4 divise n ² − 1 = 4(k ² + k).

Correction 3 • f est injective :

f (x) = f (y) ⇒ x ² − 1 = y ² − 1

⇒ x = ±y o` u x, y ∈ [1, +∞[ donc x, y sont de mˆ eme signe

⇒ x = y.

• f est surjective : soit y ∈ [0, +∞[. Nous cherchons un ´ el´ ement x ∈ [1, +∞[ tel que y = f (x) = x ² − 1 . Le r´ eel x = √

y + 1 convient !

Correction 4 Montrons que la restriction de f, φ : [0, 2π[−→ U , t 7→ e ^it est bijective. O` u U est le cercle unit´ e de C donn´ e par l’´ equation (|z| = 1).

• φ est surjective car tout nombre complexe de U s’´ ecrit sous la forme polaire e ^iθ , et l’on peut choisir θ ∈ [0, 2π[.

• φ est injective :

φ(t) = φ(t ⁰ ) ⇔ e ^it = e ^it

⁰

⇔ t = t ⁰ + 2kπ avec k ∈ Z

⇔ t = t ⁰ car t, t ⁰ ∈ [0, 2π[ et donc k = 0.

En conclusion φ est injective et surjective donc bijective.

Correction 5 G´ en´ eralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines carr´ ees, il est utile de faire intervenir “l’expression conjugu´ ees” :

√ a − √

b = ( √ a − √

b)( √ a + √

√ b) a + √

b = a − b

√ a + √

b .

1

(3)

Les racines au num´ erateur ont “disparu” en utilisant l’identit´ e (x − y)(x + y) = x ² − y ² . Appliquons ceci sur un exemple :

f(x) =

√ 1 + x ^m − √

1 − x ^m x ⁿ

= ( √

1 + x ^m − √

1 − x ^m )(( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )) x ⁿ ( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )

= 1 + x ^m − (1 − x ^m ) x ⁿ ( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )

= 2x ^m

x ⁿ ( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )

= 2x ^m−n

√ 1 + x ^m + √

1 − x ^m

Et nous avons

x→0 lim

√ 2

1 + x ^m + √

1 − x ^m = 1.

Donc l’´ etude de la limite de f en 0 est la mˆ eme que celle de la fonction x 7→ x ^m−n . Distinguons plusieurs pour la limite de f en 0.

– Si m > n alors x ^m−n et donc f (x) tend vers 0.

– Si m = n alors x ^m−n et f (x) vers 1.

– Si m < n alors x ^m−n = _x

n−m

¹ = _x ¹

k

avec k = n − m un exposant positif. Si k est pair alors les limites ` a droite et ` a gauche de _x ¹

k

sont +∞. Pour k impair la limite ` a droite vaut +∞ et la limite ` a gauche vaut −∞. Conclusion pour k = n − m > 0 pair, la limite de f en 0 vaut +∞

et pour k = n − m > 0 impair f n’a pas de limite en 0 car les limites ` a droite et ` a gauche ne sont pas ´ egales.

Correction 6 • sin x =

√ 3

2 ⇔ x = ^π ₃ mod 2π ou x = ^2π ₃ mod 2π. L’ensemble des solutions dans R est

S = { ^π ₃ + 2kπ; k ∈ Z } ∪ { ^2π ₃ + 2kπ; k ∈ Z }.

• tan x = −1 ⇔ sin x = − cos x, donc (X, Y ) = (cos x, sin x) est sur la droite Y = −X. On voit facilement sur le cercle que ceci est ´ equivalent ` a x = − ^π ₄ mod π. L’ensemble des solutions est S = { ^π ₄ + kπ; k ∈ Z }.

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N’oubliez pas nom, pr´ enom et num´ ero sur chaque copie - Dur´ ee : 3 heures.

1 Logique

Exercice 1 * D´ emontrer que pour tout n ∈ N : 1. n 3 − n est divisible par 6 ,

2. n 5 − n est divisible par 30 , 3. n 7 − n est divisible par 42 .

Exercice 2 Soit n ∈ N . Montrer que soit 4 divise n 2 , soit 4 divise n 2 − 1.

2 Fonctions

Exercice 3 Soit f : [1, +∞[→ [0, +∞[ telle que f(x) = x 2 − 1. f est-elle bijective ? Montrer que f est injective et surjective.

Exercice 4 Soit f : R → C t 7→ e it . Montrer que f est une bijection sur des ensembles ` a pr´ eciser.

Montrer que la restriction de f : [0, 2π[−→ U , t 7→ e it est une bijection. Ici U est le cercle unit´ e de C , c’est-` a-dire l’ensemble des nombres complexes de module ´ egale ` a 1.

3 Limites

Exercice 5 1. D´ emontrer que lim

x→0

√ 1 + x − √ 1 − x

x = 1.

2. Soient m, n des entiers positifs. ´ Etudier lim

x→0

√ 1 + x m − √

1 − x m

x n .

3. D´ emontrer que lim

x→0

1 x ( √

1 + x + x 2 − 1) = 1 2 . Utiliser l’expression conjugu´ ee.

4 Complexes

Exercice 6 R´ esoudre dans R les ´ equations suivantes et placer les images des solutions sur le cercle trigonom´ etrique :

sin x =

√ 3

2 ; tan x = −1 .

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Interdits : walkman, calculatrice, t´ el´ ephone, organizer, communication, sacs sur la table.

N’oubliez pas nom, pr´ enom et num´ ero sur chaque copie - Dur´ ee : 3 heures.

Correction 1 n 3 − n = n(n 2 − 1). n pair ⇒ n 3 − n multiple de 2. n impair ⇒ n 2 − 1 pair et n 3 − n multiple de 2.

n multiple de 3 ⇒ n 3 − n multiple de 3. n = 3k + 1 ⇒ n 2 − 1 = 3(3k 2 + 2k) multiple de 3.

n = 3k + 2 ⇒ n 2 − 1 = 3(3k 2 + 4k) multiple de 3. Dans les 3 cas, n 3 − n est multiple de 3.

n 3 − n est divisible par 2 et 3 qui sont premiers entre eux donc n 3 − n est divisible par 6.

Correction 2 Si n = 2k (pair) alors 4 divise n 2 = 4k 2 . Si n = 2k + 1 (impair) alors 4 divise n 2 − 1 = 4(k 2 + k).

Correction 3 • f est injective :

f (x) = f (y) ⇒ x 2 − 1 = y 2 − 1

⇒ x = ±y o` u x, y ∈ [1, +∞[ donc x, y sont de mˆ eme signe

⇒ x = y.

• f est surjective : soit y ∈ [0, +∞[. Nous cherchons un ´ el´ ement x ∈ [1, +∞[ tel que y = f (x) = x 2 − 1 . Le r´ eel x = √

y + 1 convient !

Correction 4 Montrons que la restriction de f, φ : [0, 2π[−→ U , t 7→ e it est bijective. O` u U est le cercle unit´ e de C donn´ e par l’´ equation (|z| = 1).

• φ est surjective car tout nombre complexe de U s’´ ecrit sous la forme polaire e iθ , et l’on peut choisir θ ∈ [0, 2π[.

• φ est injective :

φ(t) = φ(t 0 ) ⇔ e it = e it

⇔ t = t 0 + 2kπ avec k ∈ Z

⇔ t = t 0 car t, t 0 ∈ [0, 2π[ et donc k = 0.

En conclusion φ est injective et surjective donc bijective.

Correction 5 G´ en´ eralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines carr´ ees, il est utile de faire intervenir “l’expression conjugu´ ees” :

√ a − √

b = ( √ a − √

b)( √ a + √

√ b) a + √

b = a − b

√ a + √

b .

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Les racines au num´ erateur ont “disparu” en utilisant l’identit´ e (x − y)(x + y) = x 2 − y 2 . Appliquons ceci sur un exemple :

f(x) =

√ 1 + x m − √

1 − x m x n

= ( √

1 + x m − √

1 − x m )(( √

1 + x m + √

1 − x m )) x n ( √

1 + x m + √

1 − x m )

= 1 + x m − (1 − x m ) x n ( √

Exercice 1 * D´ emontrer que pour tout n ∈ N : 1. n ³ − n est divisible par 6 ,

2. n ⁵ − n est divisible par 30 , 3. n ⁷ − n est divisible par 42 .

Exercice 2 Soit n ∈ N . Montrer que soit 4 divise n ² , soit 4 divise n ² − 1.

Exercice 3 Soit f : [1, +∞[→ [0, +∞[ telle que f(x) = x ² − 1. f est-elle bijective ? Montrer que f est injective et surjective.

Exercice 4 Soit f : R → C t 7→ e ^it . Montrer que f est une bijection sur des ensembles ` a pr´ eciser.

Montrer que la restriction de f : [0, 2π[−→ U , t 7→ e ^it est une bijection. Ici U est le cercle unit´ e de C , c’est-` a-dire l’ensemble des nombres complexes de module ´ egale ` a 1.

√ 1 + x ^m − √

1 − x ^m

x ⁿ .

1 + x + x ² − 1) = 1 2 . Utiliser l’expression conjugu´ ee.

Correction 1 n ³ − n = n(n ² − 1). n pair ⇒ n ³ − n multiple de 2. n impair ⇒ n ² − 1 pair et n ³ − n multiple de 2.

n multiple de 3 ⇒ n ³ − n multiple de 3. n = 3k + 1 ⇒ n ² − 1 = 3(3k ² + 2k) multiple de 3.

n = 3k + 2 ⇒ n ² − 1 = 3(3k ² + 4k) multiple de 3. Dans les 3 cas, n ³ − n est multiple de 3.

n ³ − n est divisible par 2 et 3 qui sont premiers entre eux donc n ³ − n est divisible par 6.

Correction 2 Si n = 2k (pair) alors 4 divise n ² = 4k ² . Si n = 2k + 1 (impair) alors 4 divise n ² − 1 = 4(k ² + k).

f (x) = f (y) ⇒ x ² − 1 = y ² − 1

• f est surjective : soit y ∈ [0, +∞[. Nous cherchons un ´ el´ ement x ∈ [1, +∞[ tel que y = f (x) = x ² − 1 . Le r´ eel x = √

Correction 4 Montrons que la restriction de f, φ : [0, 2π[−→ U , t 7→ e ^it est bijective. O` u U est le cercle unit´ e de C donn´ e par l’´ equation (|z| = 1).

• φ est surjective car tout nombre complexe de U s’´ ecrit sous la forme polaire e ^iθ , et l’on peut choisir θ ∈ [0, 2π[.

φ(t) = φ(t ⁰ ) ⇔ e ^it = e ^it

⇔ t = t ⁰ + 2kπ avec k ∈ Z

⇔ t = t ⁰ car t, t ⁰ ∈ [0, 2π[ et donc k = 0.

Les racines au num´ erateur ont “disparu” en utilisant l’identit´ e (x − y)(x + y) = x ² − y ² . Appliquons ceci sur un exemple :

√ 1 + x ^m − √

1 − x ^m x ⁿ

1 + x ^m − √

1 − x ^m )(( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )) x ⁿ ( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )

= 1 + x ^m − (1 − x ^m ) x ⁿ ( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )

= 2x ^m

x ⁿ ( √

1 + x ^m + √

1 − x ^m )

= 2x ^m−n

√ 1 + x ^m + √

1 − x ^m

1 + x ^m + √

1 − x ^m = 1.

Donc l’´ etude de la limite de f en 0 est la mˆ eme que celle de la fonction x 7→ x ^m−n . Distinguons plusieurs pour la limite de f en 0.

– Si m > n alors x ^m−n et donc f (x) tend vers 0.

– Si m = n alors x ^m−n et f (x) vers 1.

– Si m < n alors x ^m−n = _x

¹ = _x ¹

avec k = n − m un exposant positif. Si k est pair alors les limites ` a droite et ` a gauche de _x ¹

2 ⇔ x = ^π ₃ mod 2π ou x = ^2π ₃ mod 2π. L’ensemble des solutions dans R est

S = { ^π ₃ + 2kπ; k ∈ Z } ∪ { ^2π ₃ + 2kπ; k ∈ Z }.

• tan x = −1 ⇔ sin x = − cos x, donc (X, Y ) = (cos x, sin x) est sur la droite Y = −X. On voit facilement sur le cercle que ceci est ´ equivalent ` a x = − ^π ₄ mod π. L’ensemble des solutions est S = { ^π ₄ + kπ; k ∈ Z }.