Examen de LM335
Universit´e Pierre-et-Marie Curie, Paris 6 Le 22 Mai 2013, 11:00-13:00
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On peut faire les diff´erentes parties ind´ependamment les unes des autres mais les notations utilis´ees ne sont pas ind´ependantes.
I- Partie 1.
Soit x = (x1, ..., xn)t ∈ Rn un vecteur colonne. On note x ≥ 0 (resp. x >
0) si et seulement si toutes les composantes satisfont xi ≥ 0, i = 1, ..., n (resp. xi > 0, i = 1, ..., n). Soit A ∈ Mn(R) une matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients r´eels. On note A ≥ 0 (resp. A > 0) si et seulement si tous les coefficients aij satisfont aij ≥0 (resp. aij >0).
1) D´emontrer que A ≥0 si et seulement si Ax≥0 pour tout x∈Rn, x≥0.
2) D´emontrer queA >0 si et seulement siAx >0 pour toutx∈Rn−{0}, x≥ 0.
3) Soit A∈Mn(R), A >0, montrez que six≥0 est un vecteur propre de A, alors x >0.
I- Partie 2.
Dans cette partie,A ∈ Mn(R), A > 0. On munit Cn de la norme || x ||1= Σni=1 |xi |.
On consid`ere l’ensemble:
X ={x∈Rn, x≥0,||x||1= 1}.
1) V´erifiez queX est compact.
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2) Pour tout x∈X, montrez que
{t∈R+, tx≤Ax},
est non-vide, ferm´e et born´e.
On d´efinit l’application θ:X →R+ par:
θ(x) = Max{t∈R+, tx≤Ax},
et on pose:
r0 = supx∈Xθ(x).
3) v´erifiez quer0 ∈]0,+∞[.
On veut montrer que tout x ∈X tel que θ(x) =r0 est vecteur propre de A de valeur propre r0. On proc`ede pour cela par l’absurde. Soit x∈X tel que θ(x) =r0, on suppose Ax6=r0x.
4) Montrez que Ax−r0x≥0. En d´eduire que A(Ax−r0x)>0 puis que si >0 est suffisament petit que
A(Ax−(r0+)x)≥0.
5) On pose y= ||x||Ax
1 ∈X. Montrez que:
Ay−(r0 +)y≥0.
6) En d´eduire que θ(y)≥r0+ et conclure.
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I- Partie 3.
Dans cette partie A ∈ Mn(R), A > 0. Soit v un vecteur propre de A de valeur propre λ tel que ||v ||1= 1. On d´esigne par |v |∈Rn le vecteur
|v |= (|v1 |, ...|vn|)t.
1) Montrez que |λ||v |≤A|v |.
2) En d´eduire que |λ |≤r0
3) Que pouvez-vous en d´eduire sur le rayon spectral de la matrice A?
4) Quelle m´ethode num´erique pr´esent´ee en cours pouvez-vous utiliser pour calculer r0?
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