24 juin 2008, durée 2 heures UTBM
Final MT11, Printemps 2008
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'évaluation de la copie.
Le barême, donné à titre indicatif, est susceptible de modication. Les documents autorisés sont : une calculatrice, la feuille sur les D.L., et une feuille de notes (recto uniquement).
Chaque exercice doit être rédigé sur une feuille diérente.
Exercice 1 Fractions rationnelles ( 4 points )
On considère les polynômes A(X) = 2X3−X2+ 2X+ 5et B(X) =X4−X2+ 2X+ 2. 1. Vérier que -1 est racine double de B.
2. DécomposerB en produit de facteurs irréductibles dansR[X]. 3. Déterminer le polynôme P GCD(A, B).
4. Simplier la fractionF(X) = A(X)
B(X), puis décomposerF(X)en éléments simples surR(X).
Exercice 2 Fonctions réciproques ( 6 points )
On considère la fonction suivante :
f(x) =esinx+ sinx.
1. Montrer quef dénit une bijection entre[0,π2]et un intervalle à déterminer. Par la suite, on noteg la bijection réciproque.
2. a. Donner le domaine sur lequelg est de classeC2.
b. Calculerg00(x)à l'aide de la formule de dérivation des fonctions composées (on expri- mera le résultat en fonction deg, g0, f0, f00).
c. À l'aide de la formule de Taylor-Young, montrer que au voisinage de 1+ : g(x) =1
2(x−1)− 1
16(x−1)2+o (x−1)2 .
3. En justiant bien les calculs, déterminer la limite suivante :
lim
x→1+
g(x)−12(x−1) (lnx)2 .
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Exercice 3 Convolution de suites réelles ( 10points )
Dans cet exercice, on note E=RN l'ensemble des suites réelles.
Pouru∈E, on noteu(n)au lieu deun le terme d'indicende la suite u.
On rappelle que l'on dénit une somme surE en posant∀n∈ N,(u+v)(n) =u(n) +v(n), et que cette somme munitE d'une structure de groupe commutatif.
Pouru, v∈E, on appelle convolée de la suiteupar la suitev, la suiteu ? v∈Edénie par :
∀n∈N,(u ? v)(n) =
n
X
k=0
u(k)v(n−k).
On admet facilement que?est une loi de composition interne surE, que l'on appelle produit de convolution de suites réelles.
1. a. Montrer que? est commutative et associative.
b. On note εla suite réelle dénie par ε(0) = 1, et ∀n>1, ε(n) = 0. Établir que ε est l'élément neutre de?.
c. Montrer que? est distributive par rapport à+. d. Quelle est la structure de E,+, ?
?
2. a. Soitλ∈R, etula suite réelle dénie par∀n∈N, u(n) =λn. Montrer queuest inversible pour la loi?, et déterminer son inverse.
b. On noteF =R(N)l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang.
Montrer queF est un sous-anneau de l'anneau E,+, ? . c. Soit f :
E → E
u 7→ f(u) où f(u) est la suite dénie par ∀n ∈ N, f(u)
(n) = (−1)nu(n). Montrer quef ◦f = IdE, puis quef est un isomorphisme de E,+, ?. 3. On se propose maintenant de déterminer les inversibles de l'anneau E,+, ?.
a. Soitu∈E×. Montrer queu(0)6= 0.
b. Réciproquement, soit u∈Etel que u(0)6= 0, montrer queuest inversible.
4. On se propose maintenant de démontrer que l'anneau E,+, ?est intègre (i.e.u ? v= 0⇒ u= 0ouv= 0).
Soient u, v∈E tels queu6= 0, etv6= 0.
On posep= min{n∈N, u(n)6= 0}, etq= min{n∈N, v(n)6= 0}. a. Justier l'existence depet q.
b. Montrer que u ? v
(p+q)6= 0. c. Conclure.
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