28 janvier 2009, durée 2 heures UTBM
Final PM18, Automne 2008
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'évaluation de la copie.
Le barême, donné à titre indicatif, est susceptible de modication.
Une feuille de notes A4 recto-verso est autorisée pour l'épreuve. Les calculatrices sont interdites.
Chaque exercice doit être rédigé sur une feuille diérente.
Exercice 1 Équations diérentielles ( 5 points )
1. Expliquer comment on résout une équation diérentielle linéaire du premier ordre.
2. On cherche à résoudre l'équation diérentielle de Bernoulli(E) :y−xy0= y43. a. On posez=y12. Montrer quez vérie l'équation diérentielle
(E0) :z0+2 xz= 1
2x. b. Résoudre(E0).
c. En déduire les solutions de(E).
d. Trouver la solution particulière satisfaisant à la condition initialey(1) = 1.
Exercice 2 Exponentielle de matrice ( 7 points )
Soit n un entier naturel non nul. On considère l'ensemble Mn(C) des matrices carrées de taillenà coecients complexes. On noteIn la matrice identité deMn(C). SoitAune matrice de Mn(C)nilpotente d'ordre 3 (c'est à dire une matrice telle que A26= 0Mn(C), etA3= 0Mn(C)).
Pour tout nombre complexez, on noteE(z)la matriceE(z) =In+z.A+z22A2. 1. Montrer que∀z, z0 ∈C, E(z)×E(z0) =E(z+z0).
2. En déduire que (E(z))n =E(nz)pour toutz∈Cet pour toutn∈N.
3. Montrer que la matrice E(z)est inversible. Quel est son inverse ? 4. Dans cette questionn= 3, etA=
0 i 1
0 0 1 +i
0 0 0
.
a. Montrer queAest nilpotente d'ordre 3.
b. CalculerE(z).
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Exercice 3 Géométrie ane ( 5 points )
1. Montrer que les plans P etP0 d'équations respectivesx+ 2y−z+ 1 = 0et−x+y+z= 0 sont perpendiculaires.
2. Montrer que le pointA
−13
−13 0
appartient àP et àP0.
3. Donner une équation paramétrique de la droiteD, intersection deP etP0. 4. SoitB
2 2 1
. Calculer la distance deB à P, puis àP0. En déduire la distance de B àD.
Exercice 4 Barycentre ( 4 points )
1. Tracer un triangle ABC.
2. On considèreA0 le barycentre de{(B,2); (C,−3)}. PlacerA0 en justiant la construction.
3. Faire de même pourB0barycentre de{(A,5); (C,−3)}etC0 barycentre de{(A,5); (B,2)}. 4. Démontrer que les droites (AA0),(BB0)et (CC0)sont concourantes.
Indication : on pourra considérer le barycentreGde{(A,5); (B,2); (C,−3)}.
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