le 16 Janvier 2017 UTBM MT20
Final automne 2016
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 - 8 points
Les s´eries suivvantes sont-elles convergentes ? Bien justifier.
1) ∑
un avec un= (2n)!n2n . 2) ∑
vn avec vn=n2.(sin(n1))n. 3) ∑
wn avec wn= √n+n2√3n. 4) ∑
xn avec xn= (−1)nsin(√n+1n ).
Exercice 2 - 8 points
Soit la fonction f d´efinie par : {
f(x, y) = xx22+y.y22 si (x, y)̸= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0)
1) f est-elle continue sur R2?
2) Quelles sont ses d´eriv´ees partielles ?
3) Les d´eriv´ees partielles sont-elles continues sur R2?
4) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles secondes δxδyδ2f (0,0)et δyδxδ2f (0,0).
5) Que peut-on dire de δxδyδ2f (x, y) et δyδxδ2f (x, y) pour (x, y)̸= (0,0)?
Exercice 3 - 4 points
soitf :R2 −→Rd´efinie par f(x, y) = (x−1).y.(y−x).
1) D´eterminer les extrema locaux de f sur l’ouvert {(x, y)∈R2/x > y, y >0, x <1}. 2) Determiner les extremaglobaux de f sur {(x, y)∈R2/x≥y, y≥0, x≤1}.
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