Examen Final MT81 Automne 2016

UTBM – A2016 MT81 Examen final

Examen Final MT81 Automne 2016

Lundi 16 janvier 2017

Durée : 2 heures

Une fiche de notes recto/verso manuscrite autorisée Calculatrice autorisée

Lisez attentivement tout le sujet avant de commencer Les sections 1 et 2 sont à rendre sur des copies séparées Rédigez rigoureusement vos développements et solutions Les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte

Barème : Section 1 = 10 points / Section 2 = 10 points

Bonne chance C. Roussel, P. Schmitt

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Section 1 : ALGEBRE

Exercice 1

Partie A.

On considère les matrices A =

5 3 2

6 4 4

4 4 5 et P =

1 1 1 2 1 2

1 0 2 .

1 ) a) Calculer det(P).

b) Justifier que P est inversible et calculer P–1.

2 ) Calculer det(A) et tr(A).

3 ) a) Vérifier que 12

2 est un vecteur propre de A. Quelle valeur propre met-il en évidence ?

b) Montrer que le polynôme caractéristique de A, det(A – X.I3) est égal à (1 – X)(2 – X)(3 – X).

c) Pour quelle raison A est-elle diagonalisable ?

d) Déterminer les sous-espaces propres de A et donner une base de chacun d'eux.

e) Ecrire une égalité liant A, P, P–1 et une matrice diagonale D.

Partie B.

Donner l'ensemble des solutions du système différentiel suivant, grâce aux résultats obtenus dans la partie A.

5 3 2

6 4 4

4 4 5

Exercice 2

Soit g l'endomorphisme de défini pour (x , y , z) de par g (x , y , z) = (x – y + z , x + y , 2x + z ).

On note e1 = (1 , 0 , 0), e2 = (0 , 1 , 0), e3 = (0 , 0 , 1) et B = ( e1 , e2 , e3 ) la base canonique de . Partie A.

a) Calculer g ( e1 ), g ( e2 ) et g ( e3 ).

b) En déduire la matrice de g dans la base B .

c) Calculer alors le rang de g et en déduire la dimension du noyau de g.

d) Déterminer une base de Ker(g).

Partie B.

On donne dans la base B e'1 = (1 , 1 , 0), e'2 = (0 , 1 , 1), e'3 = (1 , 0 , 1) et on note F = ( e'1 , e'2 , e'3 ).

a) Montrer que F = ( (1 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1) , (1 , 0 , 1) ) est libre dans . b) En déduire que F est une base de .

c) Donner les coordonnées des vecteurs e1, e2, e3 dans la base F .

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Section 2 : ANALYSE

VOUS CHOISIREZ CINQ exercices parmi les SIX proposés et vous en rédigerez rigoureusement les solutions.

1) Changement de variable : 1.1) Calculer

2. .

^²

.

1.2) Calculer

. . .

²!"²!#²

.

$

. .

avec D = [-1 ;1] * [0 ;1] * [-1 ;0]

1.3) Calculer

^./

cos( ) . sin

^,

(x).

Bien choisir u parmi sin x ; cos x ; ou bien sin² x

2) Intégration par partie

2.1) Calculer

,

^./

x. sin(x).

2.2) Calculer

0

ln(x).

Conseil : prendre ln(x) comme jouant le rôle de u(x)

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Pour les parties 3, 4, et 5 : 234 5633333334 75673333333333334.8334 désigne le rayon-vecteur et par conséquent 8334 est un vecteur unitaire.

3) Théorème d’Ostrogradsky :

934 :(;). <34 est un champ vectoriel radial centrifuge car f(r) est positif ; la divergence de ce champ est constante de valeur A. Déterminer 934.

On rappelle les relations donnant volume et surface d’une sphère :

= 4

3 . >. ? @ A 4. >. ? 4) Théorème de Stokes :

Un champ vectoriel

B4

est orthogonal au rayon-vecteur et à

C34

(vecteur unitaire caractéristique des coordonnées cylindriques) et son rotationnel est donné par

;D@EB4F 12. C34

Déterminer la norme de ce champ vectoriel.

5) Champ scalaire et gradient :

Un champ scalaire est défini par

=

^G_H

I

avec a et b qui sont constantes.

5.1) Déterminer la forme des surfaces équipotentielles.

5.2) Déterminer l’orientation vectorielle de J;K333333333334(=) ; cela doit être justifié rigoureusement.

5.3) Déterminer J;K33333333334(=) ; on peut s’appuyer sur J;K33333333334(=). ;33334 =.

6) Moment d’inertie MI,A pour des plaques homogènes :

L M. A où M est la masse surfacique

∫∫

^{− + −}

=

S

A A

A

I x x y y dxdy

M _, (( )² ( )²). .

A est le point d’intersection d’un axe perpendiculaire à S avec le plan contenant S 6.1) Considérons une plaque rectangulaire de largeur a et de longueur b avec un axe qui lui est perpendiculaire et passant par O (intersection des diagonales).

6.1.1) Calculer MI ,O en fonction de la masse surfacique M, de a et de b.

6.1.2) Transformer l’expression précédente en fonction de m, de a et de b.

6.2) Considérons un anneau de rayon interne R₁ et de rayon externe R₂. O est évidemment le centre des deux cercles.

6.2.1) Calculer MI ,O en fonction de la masse surfacique, de R1 et de R2. Il est conseillé de

« découper » en micro-anneaux de rayon ; N et d’intégrer par rapport à r.

6.2.2) Transformer l’expression précédente en fonction de m, de R₁ et de R₂.