Final Automne 2005

le 24 Janvier 2006 UTBM

MT11

Final Automne 2005

Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main

Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.

Exercice 1 (Applications directes du cours) - 4 points

Dans cet exercice, aucune question ne n´ecessite plus de quelques lignes pour ˆ

etre r´esolue

1) Retrouver, grˆace `a la d´efinition de la d´eriv´ee, la d´eriv´ee de √ x.

2) Grˆace `a la formule des accroissements finis, montrer que

∀x∈[0,+∞[,sin(x)≤x.

3) Soient deux suites r´eelles (un)n et (vn)n avec limn→+∞un= 0. Que peut-on dire de la convergence de (u_n.v_n)_n? Donner un exemple pour chaque situation possible.

4) D´eterminer a et b dans R tels que X²+ 2 divise X⁴+X³+aX² +bX + 2.

Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 4 points

Apr`es avoir rappeler une des m´ethodes qui permet d’obtenir le d´eveloppement limit´e de ln(1 +t) en 0, d´eterminer les limites suivantes :

2) L₁ = lim_x→0(^sin(x)_x )^x12,

3) L2 = limx→+∞(x−x².ln(1 + ¹_x)).

TOURNER LA PAGE SVP

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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 6 points Soit la fraction rationnelle

F(x) = 2X³+ 2X²+ 4X+ 3 X⁴+ 3X² + 2 que l’on cherche `a int´egrer.

i) Factoriser P(X) =X⁴+ 3X²+ 2 dans R[X] en polynˆomes irr´eductibles.

ii) D´ecomposer en ´el´ements simples F(X) dans R(X).

iii) Donner toutes les primitives de F(X) sur son ensemble de d´efinition.

Exercice 4 (NOUVELLE FEUILLE) - 6 points

En cas de probl`eme, on admettra le r´esultat pour passer `a la question suivante Soit la fonction

f : ]− ^π₂,0[∪]0,^π₂[ −→ R x 7→ ^arctan(x)_(sin(x))3 − _x¹2

1) Montrer quef peut se prolonger par continuit´e en 0 en posant f(0) = ¹₆. Justifier.

2) Montrer que le d´eveloppement limit´e de(sin(x))³ en 0 `a l’ordre 8 est (sin(x))³ =x³−1

2x⁵+ 13

120x⁷+x⁸²₁(x)) avec limx→0²1(x) = 0.

3) En d´eduire le d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 5 de _(sin(x))^x3 3 et montrer que 1

(sin(x))³ = 1

x³.(1 + x² 2 + 17

120x⁴+x⁵²₂(x)) avec lim_x→0²₂(x) = 0.

QUESTIONS SUPPLEMENTAIRES (4 points)

4) En d´eduire que le d´eveloppement limit´e en0 `a l’ordre 2 de f est arctan(x)

(sin(x))³ − 1 x² = 1

6 + 7

40x²+x²²₃(x)) avec lim_x→0²₃(x) = 0.

5) En d´eduire la position de la courbe de f par rapport `a sa tangente en 0.

RAPPELS :

- le d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 5 de arctan(x) est arctan(x) = x− ^x₃³ + ^x₅⁵ + x⁵²₁(x) avec lim_x→0²₁(x) = 0.

- le d´eveloppement limit´e en0`a l’ordre8desin(x)estsin(x) = x−^x_3!³+^x_5!⁵−^x_7!⁷+x⁷²2(x) avec lim_x→0²₂(x) = 0.

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