Final automne 2018

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UTBM MT20 le 21 Janvier 2019

Arthur Lannuzel http ://mathutbmal.free.fr

Final automne 2018

Calculatrices interdites. Le seul document autorisé est une feuille A4 recto-verso rédigée à la main

Il sera tenu compte dans la correction de la présentation et de la rédaction correcte des démonstrations.

Exercice 1 - 10 points

Etudier la convergence des séries suivantes : 1. S₁ =P

(_n2ⁿ+1)ⁿ, 2. S2 =P _n!

2ⁿ, 3. S₃ =P ₁

n.ln(n), 4. S₄ =Pln(n)

n³ , 5. S₄ =P (−1)ⁿ

n−ln(n).

Exercice 2 - 8 points

Soit la fonction f définie par : (

f(x, y) = _x2^xy+y³² si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0) 1 -f est-elle continue sur R²?

2 - Quelles sont ses dérivées partielles ?

3 - Les dérivées partielles sont-elles continues surR²?

4 - Calculer _{∂x ∂y}^∂2f (0,0) et _{∂y ∂x}^∂2f (0,0). Que peut-on en déduire ?

TOURNER LA PAGE SVP

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Exercice 3 - 3 points

Déterminer l’ensemble de définition et les extremums de la fonction

g(x, y) = x((ln(x))²+y²).

Justifier soigneusement.