le 14 Décembre 2020 UTBM MT20
Travail à rendre pour le 11 janvier 2021
Il sera tenu compte dans la correction de la présentation et de la rédaction correcte des démonstrations.
Exercice 1
Le but de l’exercice est de calculer P
n≥1 1 n2.
1. Soit f une fonction de classe C1 sur[0, π]. Démontrer que Z π
0
f(t) sin
(2n+ 1)t 2
dt−→n→+∞ 0.
2. On pose An(t) = 12 +Pn
k=1cos(kt).Vérifier que, pour t ∈]0, π], on a
An(t) = sin ((2n+ 1)t/2) 2 sin(t/2) .
3. Déterminer deux réels a etb tels que, pour tout n≥1, Z π
0
(at2+bt) cos(nt)dt = 1 n2. Vérifier alors que
Z π
0
(at2+bt)An(t) = Sn− π2 6 où on a posé Sn=Pn
k=1 1 k2.
4. Déduire des questions précédentes que Sn→ π62.
Exercice 2
Pourn ≥1et x∈R, on poseun(x) =nx2e−x√n. 1. Démontrer que la série P
nun converge simplement sur R+. 2. Démontrer que la convergence n’est pas normale sur R+.
3. Démontrer que la convergence est normale sur tout intervalle [a,+∞[ aveca >0.
4. La convergence est-elle uniforme sur R+?
Exercice 3
Pour chacun des exemples suivants, démontrer que f admet un maximum sur K, et déterminer ce maximum.
1. f(x, y) = xy(1−x−y)et K ={(x, y)∈R2; x, y ≥0, x+y≤1};
2. f(x, y) = x−y+x3+y3 et K = [0,1]×[0,1];
1
