Techniques math´ematiques de base Printemps 2014
Fiche 2 - Nombres complexes (suite)
Exercice 1. D´eterminer les racines carr´ees des nombres complexes suivants : a. 1 +i,
b. 1 + 2i, c. i,
d. 3, e. −3,
f. 45 +i35,
g. 2eiπ3, h. eiπ3eiπ2,
i. −2e1+iπ3,
j. 1+i
√
√ 3 3+i, k. 9+2i3−2i,
l. 2−5i1+i. Exercice 2. Factoriser dansR et dans Cles trinˆomes suivants :
a. x2+ 4x+ 4, b. x2−3x,
c. x2−x+ 5,
d. x2+ 1, e. 5x2+ 2x+ 1,
f. 3x2+ 4x+ 1,
g. 6x2+ 7, h. 12x2 +23x−1.
Exercice 3. R´esoudre dansR et dans C les ´equations suivantes : a. x2+ 4x+ 4 = 0,
b. x2−3x= 0, c. x2−x+ 5 = 0,
d. x2+ 1 = 0, e. 5x2+ 2x+ 1 = 0,
f. 3x2+ 4x+ 1 = 0,
g. 6x2+ 7 = 0, h. 12x2 +23x−1 = 0.
Exercice 4. R´esoudre dansC les ´equations suivantes : a. iz2+ (1−5i)z+ 6i= 0,
b. 2z2+ (5 +i)z+ 2 + 2i= 0, c. z2−(3 + 4i)z+ 7i−1 = 0,
d. z2−(3 + 2i)z+ 5 + 5i= 0, e. |z|2−2z = 0
f. z2−2z= 0.
Exercice 5. Pour chacun des polynˆomes de degr´e 3 suivants, trouver une racine
´evidente z0, puis trouver une factorisation de la forme p(z) = (z−z0)(az2+bz+c).
En d´eduire les solutions de l’´equation p(z) = 0.
a. z3+ (1−3i)z2−(6−i)z+ 10i, b. z3−(7 +i)z2+ (18 + 3i)z−16−2i,
c. z3−(5 + 5i)z2+ (3 + 12i)z+ 1−7i, d. z3−4z2−3z+ 2 +i(6 + 3z−3z2),
e. Factoriser dans C le polynˆome p(z) =z4−(3 + 4i)z3−(9 +i)z2+ (2 + 14i)z.
Exercice 6. D´eterminer les racines troisi`emes des nombres complexes suivants : a. 1 +i,
b. i,
c. 3, d. −3,
e. 2eiπ3, f. eiπ3eiπ2,
g. −2e1+iπ3, h. 1+i
√
√ 3 3+i,
Exercice 7. Pour lequel des entiers n suivants 2014, 2015, 2016, 2017 le nombre (1 +i)n est il imaginaire pur ?
Exercice 8. R´esoudre dansC les ´equations suivantes : a. z5−z = 0 b. (1 +√
3)z4 −1 +i= 0 c. z6−(3 + 2i)z3+ 2 + 2i= 0.
Licence PCSI 1 Universit´e Claude Bernard - Lyon 1
