Nombres complexes

(1)

Nombres complexes

Pr´erequis :

– coordonn´ees cart´esiennes dans le plan.

– coordonn´ees polaires dans le plan.

– notions de distance euclidienne et d’angle orient´e.

– fonction exponentielle r´eelle.

Notations :

– Rd´esigne l’ensemble des nombres r´eels.

– Le plan est not´e P, il est muni d’un rep`ere orthonormal(O;#»u ,#»v).

1 Forme alg´ebrique d’un nombre complexe 2

1.1 D´efinitions . . . 2

1.2 Interprétation géométrique . . . 2

1.3 Conjugaison . . . 2

2 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe 3 2.1 Module . . . 3

2.2 Argument . . . 4

3 Groupe Udes nombres complexes de module 1, applications 5 3.1 Notion de groupe . . . 5

3.2 Exponentielle d’un imaginaire pur . . . 5

3.3 Racinesn-i`emes . . . . 6

4 Compl´ements 7 4.1 Equation du second degr´e . . . .´ 7

4.2 Exponentielle complexe . . . 8

5 Nombres complexes et g´eom´etrie plane 8 5.1 Distance . . . 8

5.2 Mesure d’angle, alignement, orthogonalit´e . . . 9

5.3 Barycentre . . . 9

5.4 Ecritures complexes des transformations usuelles . . . .´ 10

St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent

(2)

1 Forme alg´ ebrique d’un nombre complexe

1.1 D´ efinitions

Définition 1.1.1 On appellenombre complexetout nombre de la formex+iyoù(x, y)∈R²etidésigne un nombre imaginaire dont le carré vaut−1. Cdésigne l’ensemble des nombres complexes :

C=

x+ iy, (x, y)∈R²

Remarque 1.1.2 On lira en annexe une construction (non exigible) du corpsC.

Propriété et définitions 1.1.3 Pour tout z ∈C, l’écriture z =x+ iy où (x, y) ∈R² est unique. Cette

écriture est appelée laforme algébriquedez.

x est appelé la partie réelle de z et y est appelé la partie imaginaire de z. Elles sont respectivement notéesRezet Imz.

Un nombre complexe zdont la partie r´eelle est nulle est appel´e unimaginaire pur. On note alorsz∈iR.

Exercice 1.1.4 Démontrer la propriété précédente.

Exercice 1.1.5

1. Résoudre l’équation x+ iy−3y+ 2ix= 1 + idansR². 2. Résoudre le système

ß a+ 2b= 1−i

ia+ ib= 2 + i dansC².

3. Que dire des nombres complexes(x+ iy)(x−iy)et(x+ iy)(y+ ix)?

1.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique

Définitions 1.2.1 Pour tout M ∈ P de coordonnées (x, y), on dit x+ iy est l’affixe du pointM. Pour tout z ∈ Cde forme algébriquex+ iy, on dit que le pointM de coordonnées(x, y)est l’imagedez.

Remarques 1.2.2

(i) On parle aussi de l’affixe d’un vecteur : si # »

AB a pour coordonn´ees(x, y)son affixe est ´evidemment x+ iy.

(ii) Le plan P muni du rep`ere orthonormal direct (O;#»

u ,#»

v) et de la structure complexe associ´ee est appel´eplan complexe.

Le lien entre les nombres complexes et la g´eom´etrie plane est fondamental (cf.partie 5).

b M(z)

O #»

u

#»v

x=Rez y=Imz

1 Exercice 1.2.3 On consid`ere l’application deCdansCd´efinie par :f(z) = 2iz−2i

1. Quel est l’ensemble des pointsM d’affixeztel que f(z)est un r´eel ? un imaginaire pur ?

2. (a) On considère les pointsA, B et C d’affixesa= 2i,b= 2 + iet c= 6−i. Démontrer que A,B et C sont alignés et que les pointsA⁰, B⁰ etC⁰ d’affixesf(a),f(b)et f(c)le sont également.

(b) Généraliser à trois pointsA,B,C alignés quelconques.

1.3 Conjugaison

Définition 1.3.1 Pour toutz∈Cde forme algébriquex+ iy, on définit leconjuguédez par : z=x−iy

Les points images dez etz sont sym´etriques par rapport `a l’axe(O;#»u).

(3)

Propri´et´e 1.3.2 Soit(z, z⁰)∈C². (i) z=z.

(ii) z+z⁰=z+z⁰. (iii) zz⁰ =z z⁰.

(iv) Siz⁰ 6= 0alors _z^z0 =_z^z₀.

(v) z∈R⇔z=zet z∈iR⇔z=−z.

(vi) Rez=^z+z₂ etImz= ^z−z_2i .

(vii) ∀n∈Z, zⁿ=zⁿ (avecz6= 0sin60).

Exercice 1.3.3 Démontrer la propriété précédente (sauf (vii)).

Exercice 1.3.4

1. R´esoudre l’´equation 2z+ iz= 3.

2. R´esoudre l’´equation z+zz= 1.

2 Forme trigonom´ etrique d’un nombre complexe

2.1 Module

Définition et propriété 2.1.1 Pour tout z ∈C de forme algébrique x+ iy, on appelle module de z le nombre réel :

|z|=p x²+y²

Ce nombre est positif ou nul et siz∈Ralors le module dez est ´egal `a sa valeur absolue. De plus, si on note M ∈ P le point image dezalors|z|=

# » OM

=OM. Propri´et´e 2.1.2 Soit(z, z⁰)∈C².

(i) |z|²=z z.

(ii) |z|= 0⇔z= 0.

(iii) |z|=| −z|=|z|.

(iv) |zz⁰|=|z| |z⁰|.

(v) Si z⁰ 6= 0alors _z^z0

=_|z^|z|0|. (vi) ∀n∈Z, |zⁿ|=|z|ⁿ (admis).

Démonstration : Soientx+ iy etx⁰+ iy⁰ les formes algébriques dez et z⁰. Le point (i) découle de l’exercice 1.1.5, les points (ii) et (iii) sont triviaux. Concernant les points (iv) et (v) :

|zz⁰|=√

zz⁰zz⁰=√

zz z⁰z⁰=√ zz√

z⁰z⁰=|z| |z⁰|.

Siz⁰6= 0 alors _z^z0

=»

z z⁰

z z⁰ =»_z

z⁰ z

z⁰ =» _{z z}

z⁰z⁰ =√^√^{z z}

z⁰z⁰ = _|z^|z|0|.

C.Q.F.D.

Exercice 2.1.3

1. D´emontrer que pour tout z∈C, Rez6|z|etImz6|z|.

2. (a) En utilisant la fonction carr´e, d´emontrer que :

∀(z, z⁰)∈C², |z+z⁰|6|z|+|z⁰| (b) En remarquant quez=z+z⁰−z⁰, en d´eduire que :

∀(z, z⁰)∈C², | |z| − |z⁰| |6|z+z⁰|

Propriété 2.1.4 – Inégalités triangulaires

∀(z, z⁰)∈C²,

inégalité triangulaire renversée

z }| {

| |z| − |z⁰| |6|z+z⁰|6|z|+|z⁰|

| {z }

in´egalit´e triangulaire

(4)

Remarque 2.1.5 L’inégalité triangulaire tient son nom d’une propriété élémentaire : dans un triangle ABC, la plus courte dis- tance pour aller de A en B est AB. Un détour par C ne peut qu’augmenter cette distance ainsi AB 6 AC+CB. Si on note z l’affixe de # »

ACetz⁰ celle de# »

CBalors # »

ABa pour affixez+z⁰d’o`u :

|z+z⁰|6|z|+|z⁰|

Exercice 2.1.6 Etudier le cas d’égalité dans l’inégalité trian-´ gulaire.

b bb

B

A

C

# » AC(z)

# » CB(z′)

# » AB(z+z′)

1 Exercice 2.1.7

1. Soit(a, b)∈C².

(a) D´emontrer que2|a|6|a+b|+|a−b| et2|b|6|a+b|+|a−b|.

(b) En d´eduire que|a|+|b|6|a+b|+|a−b|.

2. Étudier le cas d’égalité.

2.2 Argument

Définition 2.2.1 Pour toutz∈C^∗, le point imageM(z)admet des coordonnées polaires(ρ, θ)oùρ∈R^∗+

etθ∈R. Le réelθ est alors appelé unargument dez, il est notéArgz.

Remarques 2.2.2 (i) ∀z∈C^∗, ρ=|z|.

(ii) Le réelθn’est pas unique, par exemple les points de coordonnées polaires(1, π)et(1,−π)ont la même affixe. Par abus de langageArgzdésigne n’importe quelle mesure θ de l’angle (#»

u ,# »

OM); l’égalité de deux arguments n’a de sens qu’à2kπprès (k∈Z).

On note alors(2π)à la fin d’une telle égalité pour le préciser (et on litmodulo2π).

(iii) Il faut connaˆıtre les valeurs remarquables des sinus et cosinus et les formules donn´ees en annexe.

b M(z)

O #»

u

#»v

Rez=ρcosθ Imz=ρsinθ

θ ρ

1 Définition 2.2.3 Pour toutz∈C^∗ on appelleécriture trigonométriquedezl’égalité :

z=|z| cos(Argz) + i sin(Argz)

R´eciproquement pour toute ´ecriture de la formez=ρ(cosθ+i sinθ)avecρ >0on a|z|=ρetArgz=θ(2π).

Exercice 2.2.4

1. Donner une ´ecriture trigonom´etrique des nombres complexes suivants : z= 1 + i√

3 z⁰ =−1 + i

2. Soitθ∈]−π, π[. Donner une ´ecriture trigonom´etrique de1 + cosθ+ i sinθ.

Exercice 2.2.5 Soit(z, z⁰)∈C^∗².

1. (a) Interpr´eter graphiquement le fait queArgz= 0 (π)puisArgz=^π₂ (π).

(b) ComparerArgz etArgz.

2. (a) D´emontrer que :

Argzz⁰= Argz+ Argz⁰ (2π) (b) Qu’obtient-on en rempla¸cantz⁰ par ¹_z? par _z¹0?

(5)

Propri´et´e 2.2.6 Soit(z, z⁰)∈C^∗²

(i) Argz= 0 (π)⇔z∈RetArgz= ^π₂ (π)⇔z∈iR.

(ii) Argz=−Argz (2π).

(iii) Argzz⁰= Argz+ Argz⁰ (2π).

(iv) Arg¹_z =−Argz (2π).

(v) Arg_z^z0 = Argz−Argz⁰ (2π).

(vi) ∀n∈Z, Argzⁿ=nArgz(2π)(admis).

Exercice 2.2.7 1. (a) On notez=p

2 +√ 2 + ip

2−√

2. Calculer z² et en donner une ´ecriture trigonom´etrique.

(b) En déduire une écriture trigonométrique dez.

2. (a) Calculer de deux fa¸consArg(1 + i)⁻².

(b) `A quelle condition sur n∈Za-t-on(1 + i)ⁿ ∈iR?

3 Groupe U des nombres complexes de module 1, applications

3.1 Notion de groupe

Définition et propriété 3.1.1 On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1. L’ensemble (U,×)est un groupe.

Démonstration : Vérifions que×est une loi interne àU. En effet :

∀(z, z⁰)∈U², |zz⁰|=|z| |z⁰|= 1

Cette loi est associative (car elle l’est dansC), elle admet1∈Ucomme élément neutre et toutz∈U admet pour symétrique ¹_z qui appartient àU. Ainsi(U,×)est un groupe (cf.annexe).

C.Q.F.D.

Remarques 3.1.2

(i) U est l’ensemble des affixes des points situés sur le cercle trigonométrique (c’est-à-dire le cercle de centre Oet de rayon 1).

(ii) Soitz∈Cde forme alg´ebriquex+ iy :z∈U⇔x²+y²= 1.

(iii) Soitz∈C^∗: z∈U⇔z= cos(Argz) + i sin(Argz).

(iv) ∀z∈U, z=¹_z ∈U.

3.2 Exponentielle d’un imaginaire pur

Définition 3.2.1 Pour tout θ ∈R, on appelleex- ponentielledeiθle nombre complexe notéeîθsuivant :

e^iθ= cosθ+ i sinθ

Cela permet de condenser l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe z ∈ C^∗ : z = |z|e^{i Arg}^z. Par ailleurs, il est clair queU=eîθ, θ∈R .

On déduit de 3.1.2 et 2.2.6 la propriété suivante :

b

M(eⁱ^θ)

#»u O

#»v θ

1

(6)

Propriété 3.2.2 Soit(α, β)∈R² : (i) eîα= _e¹iα = e^−iα.

(ii) eîαeîβ = eî(α+β). (iii) ê_eîαiβ = eî(α−β). (iv) ∀n∈Z, eîαn

= e^niα (admis).

Exercice 3.2.3

1. (a) Soit(α, β)∈R², factorisereîα+ eîβ pareⁱ^α+β² . (b) Comment factorisereîα−eîβ?

2. Retrouver (cf.exercice 2.2.4) le module et un argument de1 + e^iθpour θ∈]−π, π[.

Propri´et´e 3.2.4

(i) En explicitanteîθ, on déduit de la propriété précédente (point (iv)) la propriété suivante appeléeFormule de Moivre:

∀θ∈R,∀n∈Z, (cosθ+ i sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) En particulier :

∀θ∈R,∀n∈Z, cos(nθ) =Re(cosθ+ i sinθ)ⁿ et sin(nθ) =Im(cosθ+ i sinθ)ⁿ

(ii) En écrivant les parties réelle et imaginaire de eîθ, on arrive aux relations suivantes appelées relations d’Euler:

∀θ∈R, cosθ= e^iθ+ e^−iθ

2 et sinθ=e^iθ−e^−iθ 2i Exercice 3.2.5 Soit(n, θ)∈N×R.

1. Développer 1 + eîθ+ e^2iθ 1−eîθ

. Comment généraliser cette propriété ? 2. Calculer pour tout(n, θ)∈N×R,Cn= 1 + cosθ+ cos 2θ+· · ·+ cosnθ.

La propriété suivante décrit deux transformations (contraires l’une de l’autre) d’expressions trigonométriques.

Elle est admise mais vous devez savoir la mettre en œuvre sur des exemples.

Propriété 3.2.6 – Linéarisation et factorisation d’expressions trigonométriques Soitp∈Netθ∈R.

(i) cos^pθousin^pθpeut s’exprimer comme une somme deλkcoskθou une somme deλksinkθ(aveck∈J0, pK et (λ0, . . . , λp) ∈ R^p+1). Une telle transformation d’écriture s’appelle une linéarisation d’expression trigonométrique.

(ii) cospθ ou sinpθ peut s’exprimer comme une somme de λkcos^kθ ou une somme de λksinθcos^kθ (avec k∈J0, pKet (λ0, . . . , λp)∈R^p+1). Une telle transformation d’´ecriture s’appelle une factorisation d’expression trigonom´etrique.

Exercice 3.2.7 Soitx∈R.

1. Linéariser cos²xet sin³xet en déduire les intégrales de0à πde chacune de ces expressions.

2. Factoriser sin 3xetcos 3x.

3.3 Racines n-i` emes

Définition 3.3.1 Soitn∈N^∗. On appelleracine n-i`eme de l’unitétout nombre complexez solution de l’équationzⁿ= 1.

(7)

Théorème 3.3.2 Soitn∈N^∗. Il y a exactementnracinesn-ièmes de l’unité qui sont les complexes : e^2iπ×0ⁿ , e^2iπ×1ⁿ , e^2iπ×2ⁿ , . . . , e^{2iπ×(n−1)}ⁿ

Démonstration : Soitzune racinen-ième de l’unité, alorsz∈C^∗, écrivons la sous forme trigonomé- triqueρeîθ (avec(ρ, θ)∈R^∗+×R) :

zⁿ= 1⇔ ρe^iθⁿ= 1⇔ρⁿe^niθ= 1

⇔

ß ρⁿ= 1

nθ= 0 (2π) ⇔

ß ρ= 1carρ >0

il existek∈Ztel queθ=^2kπ_n

⇔il existe k∈J0, n−1Ktel quez= eⁱ^2kπⁿ care^2inπⁿ = 1.

C.Q.F.D.

Exercice 3.3.3 Déterminer et représenter graphiquement les racines cubiques et quatrièmes de l’unité.

Remarques 3.3.4

(i) Il est conseillé de retenir quee^2iπ³ est une racine cubique de l’unité. En général elle est notée j.

(ii) On note souvent ω = e^2iπⁿ (pour n ∈ N^∗). On constate alors que les racines n-i`emes de l’unit´e sont ω⁰= 1,ω, . . . ,ωⁿ⁻¹.

On démontre de la même fa¸con qu’en 3.3.2 le théorème ci-dessous :

Théorème 3.3.5 Soitn∈N^∗ eta∈C^∗ donné sous forme trigonométriquea=reîα(oùr∈R^∗+ etα∈R).

L’´equation zⁿ =aadmet exactement nracines donn´ees par :

√n

reⁱ^α+2π×0ⁿ , √ⁿ

reⁱ^α+2π×1ⁿ , √ⁿ

reⁱ^α+2π×2ⁿ , . . . , √ⁿ

reⁱ^{α+2π×(n−1)}ⁿ Exercice 3.3.6 R´esoudrez³=−8ietz⁴= 16.

Remarques 3.3.7

(i) Siz0désigne une racine de l’équationzⁿ=aalors les racines de cette équation sontz0,z0ω, . . . ,z0ωⁿ⁻¹. (ii) On peut déterminer les solutions de l’équation z² =a (z est alors appelé uneracine carrée complexe

dea) même si l’on ne connaˆıt pas l’écriture trigonométrique dea.

Exercice 3.3.8 Soitz∈Cde forme alg´ebriquex+ iy.

1. (a) CalculerRez²,Imz² et|z²|en fonction dexety.

(b) En d´eduire les solutions de l’´equationz²= 8−6i.

2. R´esoudre l’´equation z²=−15−8i.

4 Compl´ ements

4.1 Equation du second degr´ ´ e

On se propose de résoudre l’équation suivante notée(E):az²+bz+c= 0d’inconnuez∈Caveca∈C^∗et (b, c)∈C². Pour cela, la démarche est la même qu’en lycée :

(E)⇔a Å

z²+ b az+ c

a ã

= 0

⇔ Å

z+ b 2a

ã2

− b² 4a² +c

a = 0

⇔ Å

z+ b 2a

ã2

− b² 4a² +c

a = 0

(8)

⇔ Å

z+ b 2a

ã2

−b²−4ac 4a² = 0

Définition 4.1.1 Le nombre complexe∆ =b²−4acest appelédiscriminantde l’équation(E). On notera dorénavantδune racine carrée complexe de∆.

Théorème 4.1.2 Les solutions de l’équation du second degré(E): az²+bz+c= 0d’inconnue z∈Cet oùa∈C^∗ et(b, c)∈C² s’obtiennent de la fa¸con suivante :

(i) Si∆ = 0alors(E)admet une unique racine appel´eeracine doubleet valant z0=−_2a^b .

(ii) Si ∆ 6= 0 alors (E) admet exactement deux racines appel´ees racines simples et valant z1 = ^−b−δ_2a et z2= ^−b+δ_2a .

Démonstration : (E) équivaut à : z+_2a^b²

− _4a^∆2 = 0. Si ∆ = 0 alors l’équation (E) équi- vaut à z+_2a^b² = 0 qui admet pour unique solution z0. Si ∆ 6= 0 alors l’équation (E) équivaut à

z+_2a^b²

− _2a^δ ² = 0ce qui ´equivaut encore `a z+_2a^b +_2a^δ

z+_2a^b −_2a^δ = 0. Par cons´equent (E) admet deux racines distinctes qui sontz1 etz2.

C.Q.F.D.

Exercice 4.1.3

1. R´esoudre dansCles ´equations suivantes :z²−4z+ 5 = 0etz²+z+ 1 = 0.

2. Mˆeme question :2z²−(7−2i)z+ 10−5i = 0

4.2 Exponentielle complexe

D´efinition 4.2.1 Soitz ∈Cde forme alg´ebrique x+ iy. L’exponentielle complexe dez est le nombre complexe suivant :

e^z= e^xe^iy

Exercice 4.2.2 Soit(z, z⁰)∈C² de formes alg´ebriquesx+ iy etx⁰+ iy⁰. 1. Calculer|e^z|. Que peut-on en d´eduire ?

2. Comparere^z ete^z.

3. (a) Transformer l’´ecriture dee^z+z⁰.

(b) Qu’obtient-on si on remplacez⁰ par−z?z⁰ par−z⁰? Propri´et´e 4.2.3 Soit(z, z⁰)∈C².

(i) e^z∈C^∗. (ii) e^z= e^z. (iii) e^z+z⁰ = e^ze^z⁰. (iv) e^−z= _e¹z.

(v) e^z−z⁰= _e^ez^z0.

(vi) ∀n∈Z, (e^z)ⁿ = e^nz (admis).

Exercice 4.2.4

1. R´esoudre l’´equation e^z= 1 + i.

2. Plus généralement, on considèrea∈C^∗, résoudre l’équatione^z=ad’inconnuz∈C.

5 Nombres complexes et g´ eom´ etrie plane

5.1 Distance

On a vu que, pour toutM ∈ Pd’affixez, on a|z|=OM. Plus généralement on démontre facilement que :

(9)

Propri´et´e 5.1.1

(i) SiA∈ P etB∈ P ont pour affixesaetbalors|b−a|=AB=

# » AB

.

(ii) SiA∈ P,B∈ P etM ∈ Psont trois points distincts d’affixesa,bet zalors

z−a z−b

=^|z−a|_|z−b| = ^AM_BM. Les modules de nombres complexes permettent aussi de d´efinir les cercles, les disques :

Définitions 5.1.2 On appelledisque ouvert(respectivementdisque fermé,cercle) de centreAd’affixe aet de rayonR∈R+ l’ensemble des pointsM ∈ Pdont les affixes zvérifient :

|z−a|< R (respectivement|z−a|6R, |z−a|=R ) Exercice 5.1.3

1. Quel est l’ensemble des pointsM ∈ P d’affixez∈C\{−1} tel que

z−i z+1

= 1? 2. Quel est l’ensemble des pointsM ∈ P d’affixez∈Ctel que |z+ i|62?

5.2 Mesure d’angle, alignement, orthogonalit´ e

Propri´et´e 5.2.1

(i) SiA∈ P,B∈ P,C∈ P etD∈ P sont quatre points distincts d’affixesa,b, cetdalors : Argd−c

b−a=Ä# » AB,# »

CDä (2π)

(ii) SiA∈ P,B∈ P etM ∈ Psont trois points distincts d’affixesa,bet zalors : Argz−a

z−b =Ä# » M B,# »

M Aä (2π)

Exercice 5.2.2 Démontrer la propriété précédente.

On en déduit la propriété suivante :

Propriété 5.2.3 Avec les notations précédentes : (i) A, B etM alignés⇔Arg^z−a_z−b = 0 (π)⇔ ^z−a_z−b ∈R.

(ii) (M A)et (M B)perpendiculaires ⇔Arg^z−a_z−b =^π₂ (π)⇔ ^z−a_z−b ∈iR.

Exercice 5.2.4 On noteAle point d’affixei, M le point d’affixez∈C\{i}et M⁰ le point d’affixeiz.

1. D´emontrer que :

(# » M A,# »

M M⁰) = 0 (π)⇔(# » M A,# »

M O) =π 4 (π)

2. À l’aide du théorème de l’angle au centre, en déduire l’ensemble des points M tels que A,M etM⁰ sont alignés.

5.3 Barycentre

Définition 5.3.1 Soit(α, β)∈R²telα+β6= 0. On appellebarycentre des points pondérés(A;α)et (B;β)le pointGdéfini par :

# »

OG= α# »

OA+β# » OB α+β Remarques 5.3.2

(i) Avec les notations précédentes et en posantaetbles affixes deAetB etzG celle deGon azG= ^αa+βb_α+β . (ii) On peut démontrer queGest l’unique point tel queα# »

GA+β# » GB= #»

0.

(iii) On peut généraliser la définition précédente (et donc la remarque qui en découle) à un nombre fini de points et de pondérations à condition que la somme des pondérations ne soit pas nulle.

(10)

Exercice 5.3.3 SoientAetB d’affixes3 + iet−1 + 3i.

1. D´eterminer (en justifiant) la nature du triangleOAB.

2. D´eterminer le point Ctel que O est barycentre de(A,1),(B,1) et(C,1).

5.4 Ecritures complexes des transformations usuelles ´

D´efinitions 5.4.1 Soit #»

u un vecteur du plan d’affixeb∈C. On appelletranslationde vecteur #»

u l’application du plan dans lui-mˆeme qui `a tout pointM ∈ PassocieM⁰∈ P tel que # »

M M⁰ =#»

u.

En notant zl’affixe deM etz⁰ celle deM⁰, on déduit de l’égalité précédente quez⁰−z=bsoit encore : z⁰=z+b

Cette expression de l’affixe deM⁰en fonction de celle deM est appel´ee´ecriture complexede la translation de vecteur #»

u.

Remarque 5.4.2 Par exemple, on a déjà vu quez⁰=zest l’écriture complexe de la symétrie d’axe(O;#»

u).

Définition et propriété 5.4.3 Soitk∈R. On appellehomothétiede centre O et de rapportkl’application du plan dans lui-même qui à tout pointM ∈ PassocieM⁰∈ P tel que # »

OM⁰ =k# » OM. L’´ecriture complexe de cette homoth´etie est : z⁰ =kz.

D´efinition 5.4.4 Soit(a, b)∈C^∗×C.

On appellesimilitude directel’application du plan dans lui-mˆeme qui `a tout point M ∈ P d’affixez∈C associeM⁰∈ P d’affixez⁰ ∈Ctelle que :

z⁰=az+b

Propriété 5.4.5 Soitsla similitude directe d’écriture complexez⁰=az+b ((a, b)∈C^∗×C).

(i) Sia= 1alorssest la translation de vecteur #»

u d’affixeb.

(ii) Sia6= 1alors il existe un unique (Ω;k)∈ P ×R+^∗ et θ∈Rtels ques(Ω) = Ωet pour tout pointM ∈ P distinct deΩ, son imageM⁰ parsest caract´eris´ee par :

® Ä# » ΩM ,# »

ΩM⁰ä

=θ (2π)

ΩM⁰ ΩM =k

Démonstration : Le point (i) a déjà été traité (cf.5.4.1).

Supposonsa 6= 1. Ω = s(Ω) si et seulement si son affixe est solution de l’´equation z =az+b. Or celle-ci admet une unique solution not´eeω. On a alors :

z⁰ =az+ω−aω⇔z⁰−ω=a(z−ω) SoitM ∈ P\{Ω} d’affixez6=ω. Alors : ^ΩM_ΩM⁰ = ^|z_|z−ω|⁰^−ω| =

z⁰−ω z−ω

=|a| d’o`u l’existence et l’unicit´e de k=|a|. Enfin on a :

Ä# » ΩM ,# »

ΩM⁰ä

= Argz⁰−ω

z−ω = Arga(2π) D’o`u l’existence deθ= Arga.

C.Q.F.D.

Exercice 5.4.6 SoientAet B deux points distincts deO d’affixesaet b. On consid`ere de plusC le point tel queABC est un triangle direct isoc`ele rectangle enC.

1. (a) Justifier que Cest l’image deApar une similitude `a pr´eciser.

(b) En d´eduire une expression decaffixe de Cen fonction de aetb.

2. Déterminer de même det e affixes de D et E tels que OAD et BOE sont des triangles directs isocèles rectangles respectivement enD etE.

3. Que dire des segments[AE]et[DC]?

(11)

Définition et propriété 5.4.7 On appelleinversionde centreOet d’axe(O;#»u)l’application qui à tout pointM ∈ P\{O}associeM⁰∈ P\{O}tel que :







OM⁰= _OM¹ Ä#»

u ,# » OM⁰ä

=−Ä#»

u ,# » OMä

(2π) L’´ecriture complexe de cette inversion est :z⁰= ¹_z.

D´emonstration : Soit z = ρe^iθ l’affixe du point M distinct de O. Alors le module de z⁰ est

|z⁰|=_|z|¹ =¹_ρ et un argument dez⁰ est−θ ainsiz⁰ =¹_ρe^−iθ=_ρe¹iθ = ¹_z.

C.Q.F.D.

Exercice 5.4.8 Soita∈R^∗,Ale point d’affixeaetM un point d’affixe z∈C^∗. 1. Démontrer queRez=asi et seulement siM appartient à une droitedà déterminer.

2. On noteA⁰ etM⁰ les images deAet M par l’inversion complexe etC le cercle de diam`etre[OA⁰].

(a) D´emontrer queM ∈dsi et seulement siM⁰∈ C\{O}.

(b) En déduire une construction deM⁰ à la règle et au compas.