11 Nombres Complexes 2
C H A P T E R
Dans un cas particulier de la formule d’Euler on trouve dans la mˆeme ´egalit´e e, i etπ: eiπ+ 1 = 0. Les lecteurs de The Mathematical Intelligencer l’ont d´esign´ee comme la plus belle formule math´ematique de tous les temps .
1 1 Module d’un nombre complexe
Le module du complexezd’´ecriture alg´ebriquea+ ibest le r´eel positif not´e|z|tel que
|z|=√
z z=p a2+b2 autrement dit|z|2=z z.
D´efinition 1
Remarque.Siaest un r´eel,|a|=√ a a=
√
a2=|a| donc le module deaest bien la valeur absolue deaet la notation utilis´ee pour le module est coh´erente.
La notion de module dansCg´en´eralise donc celle de valeur absolue dansR. Propri´et´es du module
• |z|=|z|
• |z|= 0 si et seulement siz= 0
• |z1×z2|=|z1| × |z2|
•
z1
z2
= |z1|
|z2| avecz26= 0 Propri´et´e 1
Interpr´etation g´eom´etrique
Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,−→e1;−→e2), on consid`ere le pointM d’affixez d’´ecriture alg´ebriquea+ ib
On a |z| = p
a2+b2 qui n’est autre que la norme du vecteur −−→
OM c’est-`a-dire la distanceOM.
M(a+ib)
−
→e1
−
→e2
a b
0 axe réel
axe imaginaire
√a2+b2
1 2 Argument d’un nombre complexe
Dans le plan complexe d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,−→e1;−→e2), soitzun nombre complexe non-nul etM le point du plan d’affixez.
On appelle argument dez, not´e argz, toute mesure en radians de l’angle de vecteur (−→e1;−−→
OM) D´efinition 2
3 Chapter 11. Nombres Complexes 2
M(z)
−
→e1
−
→e2
rcosθ rsinθ
0
r θ
Remarque.Un nombre complexe non-nul a une infinit´e d’argument, siθ est un ar- gument dez alorsθ+ 2kπaveck∈Zest aussi un argument dez.
1 3 Forme trigonom´etrique
La donn´ee d’un r´eel positif r et d’un angle θ permet de d´efinir un unique point M d’affixez6= 0 du plan complexe tel queOM =ret (−→e1;−−→
OM) =θ.
On en d´eduit quez=r(cosθ+ i sinθ)
Soitz un nombre complexe non-nul. L’´ecriturez =r(cosθ+ i sinθ) avec r=|z|
etθ= argz est appel´ee une forme trigonom´etrique dez.
D´efinition 3
1 4 Passage forme alg´ebrique⇔forme trigonom´etrique
Soitz∈Cde forme alg´ebriquea+ ibet de forme trigonom´etriquer(cosθ+ i sinθ) alors on a d’une part :
forme alg´ebrique connaissant la forme trigonom´etrique a=rcosθet b=rsinθ.
Propri´et´e 2
et d’autre partr=|z|=p a2+b2. Si z est non nul, son module r = p
a2+b2 sera non nul ´egalement. Ainsi, on peut
´
ecrirezsous la forme :
z = p
a2+b2( a
√a2+b2 + i b
√a2+b2 z = r( a
√a2+b2 + i b
√a2+b2) z = r(cos(θ) + i sin(θ)) On en d´eduit
forme trigonom´etrique en fonction de la forme alg´ebrique cos(θ) = a
√a2+b2 et sin(θ) = b
√a2+b2. Propri´et´e 3
Ainsi, connaissant a et b, on peut obtenir le module et un argument de a+ ib. On obtiendra une mesure exacte deθ si cos(θ) et sin(θ) sont des valeurs connues comme
1 2,
√2 2 ,
√3
2 , 1, etc.
Sinon, on obtiendra une valeur approch´ee `a l’aide de la calculcatrice.
zz0=rr0(cosθcosθ0−sinθsinθ0) + i(sinθcosθ0+ cosθsinθ0) On reconnaˆıt les formules d’addition, donc on en d´eduit :
zz0=z=rr0(cos(θ+θ0) + i sin(θ+θ)0) on a donc
argument d’un produit arg(zz0) = arg(z) + arg(z0) [2π]
Propri´et´e 4
On peut d´emontrer les propri´et´es suivantes : Propri´et´es alg´ebriques des arguments
• arg(zn) =narg(z) [2π]
• arg 1
z
=−arg(z) [2π]
• argz z0
= arg(z)−arg(z0) [2π]
• arg(z) =−arg(z) [2π]
• arg(−z) =π+ arg(z) [2π]
Propri´et´e 5
En particulier, la formule concernantzn on peut ´ecrire Formule de Moivre Hors-Programme
(cosθ+ i sinθ)n= cos(nθ) + i sin(nθ) Th´eor`eme 1
Remarque.
• Les formes trigonom´etriques sont adapt´es aux produits de complexes ;
• Les formes alg´ebriques sont adapt´ees aux sommes de complexes.
Forme Exponentielle
2
Soitf la fonctionf : θ7→cosθ+ i sinθavecθun nombre r´eel.
Le nombre complexef(θ) est le nombre complexe de module 1 et d’argumentθ.
Le nombre complexe f(θ+θ0) = cos(θ+θ0) + i sin(θ+θ0) a pour module 1 et pour argumentθ+θ0.
Or le nombref(θ)×f(θ0) a aussi pour module 1 et pour argumentθ+θ0
car, pourz1etz2deux nombres complexes non nuls, on a|z1z2|=|z1| |z2| et arg (z1z2) = arg (z1) + arg(z2).
On en d´eduit quef(θ+θ0) =f(θ)×f(θ0) de plus f(0) = 1.
La fonction f ainsi d´efinie v´erifie les propri´et´es de la fonction exponentielle, ce qui m`ene `a la notation suivante :
eiθ= cosθ+ i sinθ
5 Chapter 11. Nombres Complexes 2
Tout nombre complexe non nul de moduleret d’argumentθpeut s’´ecrire : z=reiθouz=r(cosθ+ i sinθ),
et r´eciproquement, tout nombre complexe qui s’´ecrit : z=reiθouz=r(cosθ+ i sinθ),
avecrun r´eel strictement positif, a pour moduleret pour argumentθ+2kπ (k∈ Z).
Propri´et´e 6
La forme exponentielle complexe poss`ede des propri´et´es analogues `a la fonction expo- nentielle r´eelle.
Soitretr0 des r´eels strictement positifs,θet θ0 des r´eels quelconques.
1. reiθ×r0eiθ0 =rr0ei(θ+θ0), 2. 1
reiθ = 1 re−iθ, 3. reiθ
r0eiθ0 = r
r0ei(θ−θ0). Propri´et´e 7
C’est Leonhard Euler (1707-1783) qui donnera cette relation qui `a la remarquable propri´et´e de relier les grandes branches des math´ematiques l’analyse, l’alg`ebre et la g´eom´etrie.
Formules d’EULER
Pour tout nombre r´eel θ, on a:
eiθ= cosθ+ i sinθ, d’o`u e−iθ= cosθ−i sinθ.
En particulier
eiπ=−1 Propri´et´e 8
Exemples : ei5π6 = cos 5π
6
+ i sin 5π
6
=−
√3 2 +1
2i
On en d´eduit par addition et soustraction des ´egalit´es pr´ec´edentes les r´esultats sui- vants.
cosθ= eiθ+ e−iθ
2 sinθ=eiθ−e−iθ 2i Propri´et´e 9
Applications en g´ eom´ etrie
3
Dans le plan complexe d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,−→u;−→v), on consid`ere les points A, B,C et D quatre points deux `a deux distincts d’affixes respectivementzA, zB,zC etzD.
On a les relations suivantes :
2. AB=|zB−zA| 3. (−−→
AB;−−→
CD) = arg
zD−zC
zB−zA
4. zD−zC zB−zA
=reiθ si et seulement si arg
zD−zC zB−zA
=θ[2π] et CD AB =r Th´eor`eme 2
D´emonstration.
7 Chapter 11. Nombres Complexes 2
Cercle trigonom´ etrique et angles remarquables
4
0
1
−12 2
π
π 3 2π
3
−2π3 −π3
√3 2
−
√3 2
π 6 π
2
5π 6
−5π6
−π2
−π6
√3
− 2
√3 2
1 2
−12
π 4 π
2
3π 4
π
−3π4
−π2
−π4
√ 2
− 2
√ 2 2
√ 2 2
−
√2 2
