Voyage math´ ematique
1 Pr´ esentation du cours
1.1 Pr´esentation du d´eroulement de l’ann´ee
1.2 Organisation de la classe : http://mpsi1.lamartin.fr 1.3 Organiser son travail – M´ethode et rigueur
1.4 Pr´esentation du programme de math´ematiques
1.5 A propos de l’utilisation des calculatrices, des manuels et du brouillon` 1.6 Introduction au raisonnement math´ematique
1.7 Et ce chapitre alors ?
2 Petit voyage math´ ematique
2.1 S’amuser avec les nombres Entiers naturels.
Des questions.
Th´eor`eme.
Il y a une infinit´e de nombre premiers.
2.2 Le bowling Pr´esentation.
Formalisation. Notonstnle nombre de quilles pour un jeu `anrang´ees. Alorstn1 2 3 n. Existe-t-il
une formule permettant d’obtenir directement tn en fonction de n?
Th´eor`eme.
Pour tout n¥1,tn npn 1q
2
Remarque.
Th´eor`eme.
La formule `a utiliser pour la somme des termes d’une suite g´eom´etrique est celle-ci :
S
$'
&
'%
1er terme1raisonnb termes
1raison si la raison n’est pas 1 1er termenb termes si la raison est 1
2.3 Le double vitrage Pr´esentation.
a b c d
a b c d
a b c d
$'
&
'%
F0 1
F1 1
@n¥2, FnFn1 Fn2
Question. Que se passe-t-il lorsque l’on retranche au carr´e d’un terme de la suite de fibonacci le produit de ses deux voisins ?
Etude num´´ erique.
Etude informatique.´
F := proc(n) # (Proc´edure non optimis´ee) if n = 0 then 1 # (Voir cours de Maple)
elif n = 1 then 1 else F(n-1) + F(n-2) fi
end:
for k from 1 to 10 do F(k)^2 - F(k-1)*F(k+1) od;
# -1
# 1
# -1
# 1
# -1
# 1
# -1
# 1
# -1
# 1
Conjecture.
Pour tout n¥1,Fn2Fn1Fn 1 p1qn.
Remarque. Le th´eor`eme pr´ec´edent peut ˆetre pr´etexte pour nous `a pr´esenter le calcul matriciel.
Nous appellerons pour l’instant matrice un tableau rectangulaire de nombres. On peut d´efinir sur les matrices des op´erations telles que la somme, la soustraction, la multiplication. . . qui se comportent comme les op´erations sur les nombres. Nous n’avons besoin ici que des matrices22`a2 lignes et2 colonnes. Addition et soustraction se font terme `a terme, de fa¸con tr`es naturelle. Par exemple, si :
A
1 2
1 0
etB
3 1
0 2
alors leur somme est :
A B
1 3 2 1
1 0 0 2
4 3 1 2
La multiplication ne se fait pas terme `a terme, pour des raisons que nous comprendrons plus tard. Si :
M
a1 c1
b1 d1
etN
a2 c2
b2 d2
alors
M N
a1a2 c1b2 a1c2 c1d2
b1a2 d1b2 b1c2 d1d2
Par exemple, avec les matrices A etB d´efinies pr´ec´edemment,
AB
13 20 11 22 13 00 11 02
3 5 3 1
On d´efinit aussi les puissances de matrices par r´ecurrence, en posant M2 M M et Mn M Mn1 pour
n¥2.
On d´efinit enfin led´eterminant d’une matriceM
a c
b d
par
detM adbc
Ainsi, detA1012 2.
Le d´eterminant est l’un des outils les plus essentiel en alg`ebre lin´eaire et pour l’´etude des transforma- tions lin´eaires. L’un des r´esultats importants, que l’on peut v´erifier directement, est que le d´eterminant est multiplicatif :
detpM Nq detM detN
R´ecurrence,manipulationdesommes 0.1D´emontrerlaformuledesommedestermesd’unesuiteg´eom´e- triqueparr´ecurrence. miseaupoint_24.tex 0.2D´eterminerS1161718npn1qpn2qet S2t4 t6 t8 t2k . miseaupoint_22.tex 0.3Montrerparr´ecurrenceque: (a)PourtoutentiernPN,
n¸ k0knpn1q 2. (b)PourtoutentiernPN,
n¸ k0k2 npn1qp2n1q 6. (c)PourtoutentiernPN,10n 1estdivisiblepar9. (d)PourtoutentiernPN,ilexistedeuxapplicationspolynomiales PnetQntellesquepourtoutθPR,cosnθPnpcosθqet sinnθsinθQnpcosθq. miseaupoint_12.tex 0.4Simplifierl’expressionSn
n¸ p1
1 p1 p1
miseaupoint_26.tex 0.5SimplifierleproduitPn
n¹ k2
11 k2 miseaupoint_29.tex 0.6PourtoutnPN ,onpose: Pn
n¹ k12k1 2k Montrerquepourtoutn: Pn1 4n 2n n etPn¤1 ? 2n1 miseaupoint_28.tex
´ Equations,syst`emes 0.7Quellessontlessolutionsdes´equationssuivantes,o`uxd´esigne l’inconnuer´eelle: x2x2x2x32x22xλ miseaupoint_4.tex 0.8Onva´ecrireiciuncertainnombred’implicationsdutype pSqùñpSq,avecpSqetpSqdes´equationsoudessyst`emesd’´equa-1212 tions.Cesimplicationssont-ellesvraies?Lar´eciproquepSqùñ2 pSqest-elleaussiv´erifi´ee?Ilnes’agitdepasdetrouvertoutesles1 bonnesr´eponsestr`esvite:l’objectifestder´efl´echircalmementet lentementdanschacundescas. ### x3x32xy11 paqùñ2xy11pbqùñ y5y5y5 #### x32xy11LL11 pcqùñpdqùñ y5xy8LαLβL212 miseaupoint_7.tex 0.9R´esoudrelessyst`emessuivantsenappliquantlam´ethodedu pivot: $ &" x3y9 paqpbq 2xy4%
xyz4 2xy2z2 3xyz2 pcq" xy2 2x2y17pdq" xy2 2x2y4 miseaupoint_11.tex 0.10Onconsid`erel’applicationsuivante: ϕ:R4 ÑR3 px,y,z,tqÞÑpx2yzt,xyz3t,x3y3z5tq D´eterminerlespx,y,z,tqPR4 telsqueϕpx,y,z,tqp0,0,0q.miseau- point_30.tex
0.11R´esoudrelessyst`emessuivants,o`uλd´esigneunparam`etre r´eel paq$ & % 2x2y3z2 6z3 z4pbq
$ & %
2x2y3z2 6z24 z4 pcq$ & %
xy5 x2 yλ miseaupoint_9.tex 0.12R´esoudreles´equationssuivantes (a)? x235x9 (b)? x4? x21 (c)? x4? x21 miseaupoint_31.tex 0.13R´esoudrelessyst`emessuivants:
(a)# 1 x12 3y1 2 5 1x1 3y2 (b)# 2ex6ey24 e2 ex2 2ey 3 miseaupoint_32.tex Divers 0.14Montrerqu’ilyades«trous»aussigrandsquel’onveut entredeuxnombrespremierssuccessifs. miseaupoint_23.tex 0.15Unimmeubleposs`ede101´etagesnum´erot´esde1`a101.On supposequel’ascenseurs’arrˆete51foisendescendantdudernier´etage. Montrerqu’ils’estarrˆet´e`adeux´etagesdontlasommevaut101. miseaupoint_25.tex
