0 – Exercice `a chercher du TD pr´ec´edent

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — S´eries de Fourier, espaces de Hilbert, espaces L

^p

– Corrig´e

On rappelle les notations suivantes :

- Pourk∈Z, on notee_k:R→Cla fonione_k(t) = exp(iπkt) et note de la mˆeme fac¸on sa reric- tion `a [,].

- On noteF_n= Ve({e_k;−n≤k≤n}.

- Lorsquef ∈L^([,],B([,]), dx), on notec_n(f) =R

[,]f(t)e^−iπntdtpourn∈Z, et p_FN(f) = X

|k|≤N

c_k(f)e_k, Φ_N(f) =  N+

X

≤n≤N

p_Fn(f).

pourN ≥

0 – Exercice `a chercher du TD pr´ec´edent

E

^{xercice 1. Soientr, s∈[,∞[ etg:R→R}une fonion continue. On suppose qu’il exiec >tel que :

∀y∈R, |g(y)| ≤c|y|^r/s. ()

SoitΦl’application deL^r(X,A, µ)→L^s(X,A, µ) d´efinie parΦ(f) =g◦f.

. V´erifier queΦ(f)∈L^s(X,A, µ).

. Montrer queΦecontinue.

Indication :on pourra utiliser le crit`ere s´equentiel de la continuit´e, et utiliser la queion) des petites extraions du d´ebut du TD.

. Que se passe-t-il si la condition () n’eplus satisfaite ? Corrig´e :

. Par hypoth`ese, pourf ∈L^r,|Φ(f)(x)|^s=|g(f(x))|^s≤c^s|f(x)|^reint´egrable.

. Soit (fn)_n≥ une suite de fonions telle que f_n ^L

r

−→f. Montrons que Φ(f_n) ^L

s

−→Φ(f). `A cet effet, on utilise le lemme des sous-sous-suites suivant (qui se d´emontre ais´ement en raisonnant par l’absurde), et qui parfois de bien pr´ecieux services :

Lemme des sous-sous suites.Soit (E, d) un espace m´etrique. Une suite (x_n)_n≥d’´el´ements de E converge versx ∈ E si et seulement de toute suite extraite (x_φ(n))_n≥ on peut r´e-extraire une sous-suiteψtelle que (x_φ(ψ(n)))_n≥converge versx.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



Soit doncφune extrarice fix´ee. Commef_φ(n) ^L

r

−→f, il exie une extrariceψeth∈L^r tels que f_φ(ψ(n))^µ−→^p.p.f et|f_φ(ψ(n))| ≤ |h|pour toutn≥. Mais alors :

g(f_φ(ψ(n)))−g(f)

s µp.p.

−→ 

par continuit´e deg, et

g(f_φ(ψ(n)))−g(f)

s≤^s(|g(f_φ(ψ(n)))|^s+|g(f)|^s)≤(c)^s(|h(x)|^r+|f(x)|^r) ∈ L^. Le th´eor`eme de convergence implique :

Z

g(f_φ(ψ(n)))−g(f)

sdµ −→

n→∞ , ce qui revient `a dire queg(f_φ(ψ(n))) ^L

s

−→g(f), et conclut la queion.

. Alors on n’a pas forc´ement Φ(f)∈L^s. En effet, consid´erons une suite (yn)_n≥ telle que|g(y_n)| >

n|y_n|^r/s. D´efinissons alors la fonion ´etag´eef comme suit : f =X

n≥

y_n1A_n,

o `u les (A_n)_n≥sont des bor´eliens disjoints tels queµ(A_n) =/(n^+s· |y_n|^r). Alors

||f||^r_r=X

n≥

|y_n|^rµ(A_n) =X

n≥

 n^+s <∞, mais

||g◦f||^s

s=X

n≥

|g(y_n)|^sµ(A_n)>X

n≥

n^s|y_n|^rµ(A_n) =X

n≥

 n=∞.

1 – Petites questions

) Soient f , g deux fonions continues sur [,] `a valeurs complexes telles que c_n(f) = c_n(g) pour tout entiern∈Z. Rappeler pourquoif(x) =g(x) pour toutx∈[,].

) Prouver que

Φ_N(f) = XN

k=−N

− |k| N +

!

c_k(f)e_k. Corrig´e :

) Comme la fonion f −g appartient `a L^([,]), l’identit´e de Parseval prouve que kf −gk^_ = P

n∈Z|c_n(f −g)|^ =. Donc f =g dans L^, autrement dit f −g = presque partout. Comme f −g e continue, on en d´eduit quef =g. En effet, (f −g)^−(R^∗) eun ouvert de de mesure nulle, donc evide.

On peut aussi utiliser le th´eor`eme de F´ejer vu en cours.

) On ´ecrit

Φ_N(f) =  N+

X

≤n≤N

X

|k|≤n

c_k(f)e_k=  N+

X

k∈Z

X

n≥

1^{|k|≤n,n≤N}c_k(f)e_k

= 

N+ XN

k=−N

c_k(f)e_k XN

n=|k|

=  N+

XN

k=−N

c_k(f)e_k(N+− |k|),

d’o `u le r´esultat.



2 – S´eries de Fourier

E

^{xercice 2.} (Th´eor`eme de F´ejer versionL^pet injeivit´e des coefficients de Fourier)Soient≤p <∞ etf ∈L^p([,],B([,]), dx).

. Soit≤r≤ ∞. Sig∈L^r(R) eth∈L^(R) prouver quekg∗hk

r≤ kgk

r· khk_.

Indication : on pourra utiliser l’in´egalit´e de H¨older avec la mesure `a densit´e|h(y)|dy.

. Prouver quekf −Φ_N(f)k_p→lorsqueN → ∞. Indication : on pourra essayer d’approximerf.

. En d´eduire que sif ∈ L^([,],B([,]), dx) et que c_n(f) =  pour n ∈ Z, alors f =  presque partout.

Corrig´e :

. Soitsl’exposant conjug´e der (c`ad/s+/r =). On ´ecrit l’in´egalit´e de H¨older avec la mesure `a densit´e|h(y)|dy:

Z

|g(x−y)||h(y)|dy≤ Z

^s|h(y)|dy

!_/s Z

|g(x−y)|^r|h(y)|dy

!_/r .

En ´elevant `a la puissancer et en int´egrant l’in´egalit´e obtenue par rapport `adx, il vient k |g| ∗ |h| k^r

r≤ khk^r/s_ k |g|^r∗ |h| k_=khk^r/s_ kgk^r

rkhk_=kgk^r

rkhk^r_, ce qui conclut.

Remarque. Il s’agit d’un cas particulier de l’exercicedu TD.

. Soit >. Il exie une fonion continue f de [,] dans Ctelle que kf −fk_p ≤. D’apr`es le th´eor`eme de F´ejer, il exie un entierN tel quekf−Φ_n(f)k_p≤pourn≥N. Alors, pourn≥N

kf −Φ_n(f)k

p≤ kf −fk

p+kf−Φ_n(f)k

p+kΦ_n(f)−Φ_n(f)k

p≤+kΦ_n(f−f)k

p.

Ensuite, en notantK_nle noyau de F´ejer (qu’on rappelle ˆetre positif d’int´egrale ´egale `a), il vient d’apr`es la premi`ere queion

kΦ_n(f−f)k_p=k(f−f)∗K_nk_p≤ kf−fk_pkK_nk_=kf−fk_p≤. Ainsi, pourn≥N

kf −Φ_n(f)k_p≤.

. Si c_n(f) =  pour n ∈ Z, on a Φ_N(f) =  ce qui implique que f =  dans L_p par la queion pr´ec´edente.

E

^{xercice 3.} (Noyau de Poisson) Pour≤r <ety∈Ron noteP_r(y) le noyau de Poisson d´efini par P_r(y) = −r^

−rcos(y) +r^. On pourra v´erifier que

X

n∈Z

r^|n|e^iny=P_r(y).

Soitf :R→Cune fonion mesurable, continue presque partout,-p´eriodique telle queR

[,]|f|dx <

∞.



. Montrer que pour tout≤r <etx∈R X

n∈Z

c_n(f)r^|n|e^iπnx= Z

[,]f(x−y)P_r(πy)dy.

. En d´eduire que pour presque toutx∈Ron a X

n∈Z

c_n(f)r^|n|e^iπnx −→

r→,r< f(x).

. – Si f :R →C eune fonion mesurable,-p´eriodique telle que R

[,]|f|dx <∞, e-il encore vrai que pour presque toutx∈Ron a

X

n∈Z

c_n(f)r^|n|e^iπnx −→

r→,r< f(x)?

Remarque culturelle. SiD={z ∈C;|z|<},∂D={z∈C;|z|=}, etf :∂D→R econtinue, alors la fonion

u(re^iθ) = 

π Z π

−π

P_r(θ−t)f(e^it)dt, ≤r <

el’unique fonion surDharmonique surDet coincidant avecf sur∂D={z∈C;|z|=}. Ceci illure l’importance du noyau de Poisson.

Pour voir que u e bien harmonique, on peut voir que c’ela partie r´eelle d’une fonion holo- morphe (voir exercicepour une d´efinition) par une autre repr´esentation int´egrale ´equivalente :

u(z) = 

π<

Z π

−π

e^it+z e^it−zf(e^it)

! .

Corrig´e :

. Comme

X

n∈Z

r^|n| Z

[,]

f(x−y)e^iπny

dy <∞,

d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, Z

[,]f(x−y)P_r(πy)dy= Z

[,]f(x−y)







 X

n∈Z

r^|n|e^iπny









dy=X

n∈Z

r^|n| Z

[,]f(x−y)e^iπnydy.

De plus, par p´eriodicit´e, Z

[,]f(x−y)e^iπnydy= Z

[x−,x]f(u)e^{iπn(x−u)}du=e^iπnx Z

[,]f(u)e^−iπnudu=e^iπnxc_n(f).

. On v´erifie ais´ement queP_r(πy) eune approximation de l’unit´e : P_r(πy)≥,

Z_

 P_r(πy)dy=, ∀η∈(,), Z

η≤|y|≤P_r(πy)dy→.

Les techniques usuelles (d´ecoupage de l’int´egrale) montrent que Z

[,]f(x−y)P_r(πy)dy −→

r→ f(x)



en tout point de continuit´e def. Il faut cependant faire attention car ici on veut avoir des conver- gences ponuelles ! D´etaillons donc le raisonnement.

On fixexun point de continuit´e def. On pose pourr∈],] : A(r) = 

r Z

≤y≤r

|f(x−y)−f(x)|dy.

Alors :

(i) Aecontinue sur ],], (ii) A(r)→quandr→, (ii) Aeborn´ee sur [,].

Prouvons ces assertions. La continuit´e deAeune cons´equence imm´ediate de la propri´et´e d’uni- forme continuit´e de l’int´egrale vue dans un TD pr´ec´edent. La deuxi`eme assertion d´ecoule de la continuit´e def enx. La troisi`eme assertion eune cons´equence de (i) et (ii).

Pour simplifier, posons K_δ(y) = P_−δ(πy) pour  ≤ δ ≤  et y ∈ [,], et posons K_δ(y) =  si y<[,]. On v´erifie ais´ement qu’il exie une conanteC >telle que

≤K_δ(x)≤ C

δ ()

et

≤K_δ(x)≤C δ

x^. ()

pour tous≤δ≤etx∈R.

Revenons `a nos moutons et d´ecoupons l’int´egrale en tranches pour un< δ <: Z

[,]

|f(x−y)−f(x)|K_δ(y)dy= Z

≤y≤δ

|f(x−y)−f(x)|K_δ(y)dy+

ln(/δ)/ln()−

X

k=

Z

^kδ≤y≤^k+δ

|f(x−y)−f(x)|K_δ(y)dy.

Pour majorer la premi`ere somme, on utilise () : Z

≤y≤δ

|f(x−y)−f(x)|K_δ(y)dy≤C δ

Z

≤y≤δ

|f(x−y)−f(x)|dy≤CA(δ).

Pour majorer les autres sommes, en utilisant (), on ´ecrit Z

^kδ≤y≤^k+δ

|f(x−y)−f(x)|K_δ(y)dy ≤ Cδ (^kδ)^

Z

^kδ≤y≤^k+δ

|f(x−y)−f(x)|dy

≤ C

^k · 

^k+δ Z

≤y≤^k+δ

|f(x−y)−f(x)|dy.

= C

^k ·A(^k+δ).

Ainsi : Z

[,]

|f(x−y)−f(x)|K_δ(y)dy≤CA(δ) +X

k≥

C

^k ·A(^k+δ).

o `u on pose par conventionA(r) =pourr >.



Fixons alors >etN >tel queP

k≥N^−k< . CommeA(r)→quandr →, en choisissant δ >suffisamment petit, on aA(^kδ)< /N pour≤k≤N −. On ´en d´eduit alors que

Z

[,]

|f(x−y)−f(x)|K_δ(y)dy≤C⁰. Le r´esultat en d´ecoule.

Remarquez qu’ici nous avons eu besoin de propri´et´es additionnelles () et () pour le noyau de Poisson, qui ne sont pas forc´ement v´erifi´ees pour toutes les approximations de l’unit´e.

. Le r´esultat ree vrai, car il epossible de montrer que Z

[,]f(x−y)P_r(πy)dy −→

r→ f(x) en tout pointxtel que

ηlim→

 η

Z

|x−y|<η

|f(x)−f(y)|dy = .

De plus, pourf ∈L^, presque tous les pointsx∈Rv´erifient cette propri´et´e.

Pour plus de d´etails, voir par exemple l’ouvrage ”Real analysis : measure theory, integration and Hilbert spaces” de Stein & Shakarchi (Th´eor`eme.du Chapitreet Th´eor`eme.du Chapitre

et Corollaire.du Chapitre).

3 – Espaces de Hilbert

E

^{xercice 4. SoitH}un espace de Hilbert etT :H→Hune application lin´eaire continue. On rappelle que kTk= sup{kT(x)k;kxk=}.

. Prouver quekTk= sup{|hT(x), yi|;kxk ≤,kyk ≤}.

. Prouver qu’il exie une unique application lin´eaire T^∗ :H →H telle ques les trois propri´et´es suivantes soient v´erifi´ees :

(a) hT(x), yi=hx, T^∗(y)ipour tousx, y∈H (b) kTk=kT^∗k

(c) (T^∗)^∗=T

L’application lin´eaire continueT^∗eappel´eeadjointdeT.

. – SiT =T^∗(on dit queT esym´etrique), prouver que kTk= sup{|hT(x), xi|;kxk=}. Corrig´e :

. Tout d’abord, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz implique que|hT(x), yi| ≤ kTk · kxk · kyk, ce qui im- plique quekTk ≥sup{|hT(x), yi|;kxk ≤,kyk ≤}.

R´eciproquement, supposons que sup{|hT(x), yi|;kxk ≤,kyk ≤} ≤M et montrons quekT(x)k ≤ Mkxk pour tout x ∈ H. On peut supposer T(x) , etx , . Alors x/kxk etT(x)/kT(x)k sont de norme, ce qui implique quekT(x)k/kxk=hT(x/kxk), T(x)/kT(x)ki| ≤M, d’o `u le r´esultat.



. On remarque que la forme lin´eaire x 7→ hT(x), yi e continue pour tout y ∈ H, ce qui, par le th´eor`eme de Riesz, donne l’exience d’un unique ´el´ement z_y tel que hT(x), yi = hx, z_yi. Ceci prouve l’unicit´e, et pour l’exience il suffit de poserT^∗(y) =z_y.

Pour prouver quekTk=kT^∗k, il suffit d’´ecrire

kTk = sup{|hT(x), yi|;kxk ≤,kyk ≤}

= sup{|hT(x), yi|;kxk ≤,kyk ≤}

= kT^∗k.

Pour la derni`ere assertion, il suffit d’´ecrire

hx, T(y)i=hT(y), xi=hy, T^∗(x)i=hT^∗(x), yi=hx,(T^∗)^∗(y)i.

. PosonsM = sup{|hT(x), xi|;kxk=}. D’apr`es la premi`ere queion, M ≤ kTk. R´eciproquement, si x, y∈H, on a l’identit´e de polarisation

hT(x), yi=

(hT(x+y), x+yi − hT(x−y), x−yi+ihT(x+iy), x+iyi −ihT(x−iy), x−iyi). De plus, commeT =T^∗, hT(x), xi er´eel pour tout x∈ H car hT(x), xi =hx, T^∗(x)i =hx, T(x)i= hT(x), xi. On en d´eduit que

<hT(x), yi=

(hT(x+y), x+yi − hT(x−y), x−y, ).

Or|hT(x), x,|i ≤Mkxk^pour toutx∈H, ce qui implique

|<hT(x), yi| ≤ M

 (kx+yk^+kx−yk^). L’identit´e du parall´elogramme implique alors

|<hT(x), yi| ≤M

 (kxk^+kyk^).

Ainsi, sikxk ≤etkyk ≤,|<hT(x), yi| ≤M. On en d´eduit que|hT(x), yi| ≤M sikxk ≤etkyk ≤ en prenante^ity(avect∈R) `a la place dey.

E

^{xercice 5.} (Op´erateurs de Hilbert-Schmidt) On se place dans H = L^(R) (ce qui suit ree valable pourH =L^(R^d) mais on prendd = pour simplifier les notations). SoitK :R^→Rune application mesurable. Lorsque pour toutf ∈ L^(R) la quantit´e T(f)(x) = R

RK(x, y)f(y)dy ebien d´efinie, on dit queT :L^(R)→L^(R) eun op´erateur int´egral et queKeson noyau.

Si K ∈ L^(R^), on dit que T e un op´erateur de Hilbert-Schmidt. Dans la suite, on consid`ere un op´erateur de Hilbert-SchmidtT de noyauK.

. Sif ∈L^(R), montrer que pour presque toutx∈Rl’applicationy7→K(x, y)f(y) eint´egrable.

. Montrer que l’application lin´eaireT econtinue et quekTk ≤ kKk_L(R^).

. Prouver que l’adjointT^∗deT eun op´erateur int´egral de noyau (x, y)7→K(y, x).

Remarque culturelle. L’´etude des espaces de Hilbert a ´et´e initi´ee par des queions d’exience de solutions `a l’´equationf −T(f) =g avecgfix´e etT un op´erateur int´egral `a noyau.

Corrig´e :



. D’apr`es le th´eor`eme de Fubini–Tonelli, pour presque toutx ∈ R, y 7→ |K(x, y)|^ eint´egrable.

D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz il vient alors Z

R

|K(x, y)||f(y)|dy≤ Z

R

|K(x, y)|^dy

!_/ Z

R

|f(y)|^dy

!_/

<∞.

. D’apr`es l’in´egalit´e obtenue `a la queion pr´ec´edente,

Z

R

K(x, y)f(y)dy



≤ Z

R

|K(x, y)|^dy

! Z

R

|f(y)|^dy

! .

En int´egrant cette in´egalit´e par rapport `adx,on en d´eduit que kT(f)k^

L^(R)≤ kKk_L(R^)kfk^

L^(R), d’o `u le r´esultat.

. On, ´ecrit pour f , g ∈ L^(R), et en utilisant le th´eor`eme de Fubini (les quantit´es en jeu sont int´egrables) :

hT(f), gi= Z

R^

K(x, y)f(y)g(x)dxdy= Z

R

dyf(y) Z

R

dxK(x, y)g(x)

! . On conclut en remarquant quex7→R

RdyK(y, x)g(y) eun op´erateur int´egral de noyau (x, y)7→

K(y, x)

4 – ` A chercher pour la prochaine fois

Pour pr´eparer le partiel `a venir, chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sur disponibles sur le site d’enseignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement– partie Archives p´edagogiques, puisAnnales d’examens).

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 6.} (Th´eor`eme de Fatou)On note D={z ∈ C;|z| <}. On dit qu’une fonion F : D→C e holomorphe si pour toutz∈Dla limite

y→limz,y∈D

f(y)−f(z) y−z

exie. SoitF:D→Cune fonion holomorphe born´ee. Montrer que pour presque toutt∈[,] la limite

r→lim,r<F(re^iπt) exie.

On admettra (ceci sera prouv´e dans le cours d’analyse complexe) que F edeveloppable en s´erie enti`ere en tout point deDet que siF(z) =P∞

n=a_nzⁿ ele d´eveloppement en s´erie enti`ere deF autour de, alors cette s´erie convergence normalement lorsquez=re^iθ avec< r <fix´e.

Indication. On pourra s’int´eresser `a la foniont7→P

n≥a_nrⁿe^iπntet admettre que la r´eponse `a la derni`ere queion de l’exerciceeoui.



Corrig´e : Soitf_r(t) =P

n≥a_nrⁿe^iπnt =F(re^iπt) pour≤r <ett∈R. Ceci ela s´erie de Fourier de la fonion t7→F(re^iπt) car d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee

a_nrⁿ= Z

[,]F(re^iπt)e^−iπntdt pourn≥. De plus cette derni`ere int´egrale enulle pourn <.

SoitM >tel que|F(z)| ≤M pour toutz∈D. D’apr`es l’identit´e de Parseval appliqu´ee `af_r,

∞

X

n=

|a_n|^r^n= Z

[,]

|F(re^iπt)|^dt≤M^.

En faisant tendrer →, le th´eor`eme de convergence monotone montre queP

n≥|a_n|^<∞. Il edonc l´egitime de poser

G(t) = lim

N→∞

XN n=

a_ne^iπnt, t∈R,

o `u la limite eprise dansL^, de sorte quec_n(G) =a_npourn≥etc_n(G) =pourn <.

En admettant que la r´eponse `a la r´eponse `a la derni`ere queion de l’exerciceeoui, on en d´eduit que pour presque toutt∈R,

F(re^iπt) =X

n∈Z

c_n(G)r^|n|e^iπnx −→

r→,r< G(t).

E

^{xercice 7.} (Riesz-Fr´echet-Kolmogorov : un crit`ere de compacit´e dansL^p.)On veut montrer le r´esultat suivant. Soit Ω un ouvert born´e de R et soit F un sous-ensemble born´e deL^p(Ω) (avec  ≤ p < ∞) v´erifiant :

(i) pour toutε >, il exieω⊂⊂Ωtel que sup_f∈F kfk_Lp(Ω\ω)≤ε,

(ii) pour toutε >et pour tout ω⊂⊂Ω, il exieδ ∈],di(ω,Ω^c)[ tel quekτ_hf −fk_Lp(ω) < εpour tous|h|< δetf ∈ F ;

alorsF erelativement compadansL^p(Ω) (c’e-`a-dire d’adh´erence compae dansL^p(Ω)). La nota- tionω⊂⊂Ωsignifie queωeun ouvert tel queωecompaet inclus dansΩ.

. Fixonsε >etω⊂⊂Ω. Soit (ρ_n)_n≥une approximation de l’unit´e telle que chaqueρ_nede classe C^∞ et de support inclus dans [−/n,/n]. Pourf ∈ F, on note ˜f la fonionf prolong´ee `a toutR par.

(a) Montrer en utilisant le th´eor`eme d’Ascoli que pour toutn≥, la familleF_n={( ˜f∗ρ_n)|ω:f ∈ F } erelativement compae dansL^p(ω).

(b) Montrer que pour toutnassez grand, sup

f∈F

kf˜∗ρ_n−fk

L^p(ω)≤ε.

(c) En d´eduire que l’ensembleF_|ω peut ˆetre recouvert par un nombre fini de boules deL^p(ω) de rayonε.

. Conclure.

Corrig´e :

. On noteM un majorant deF dansL^p(Ω).



(a) Soitn≥fix´e. On noteF_n⁰ ={( ˜f ∗ρ_n)|ω:f ∈ F }Tout d’abord on aF_n⁰⊂ C(ω,R). De plus, pour toutx∈ω, d’apr`es l’in´egalit´e de Jensen (appliqu´ee `a la mesure de probabilit´eρ_n(y)dy), on a

f˜∗ρ_n(x) =

Z

R

|f˜(x−y)|^pρ_n(y)dy

!_/p

≤ (kρ_nk_∞)^/pkfk

L^p(Ω)

≤ (kρ_nk_∞)^/pM.

DoncF⁰

n eune famille born´ee deC(ω,R). Et pourx, x⁰ ∈ω, on a

|f˜∗ρ_n(x)−f˜∗ρ_n(x⁰)| = Z

R

f˜(y)(ρ_n(x−y)−ρ_n(x⁰−y))dy

≤ kρ_n⁰k_∞|x−x⁰| Z

R

|f˜|dλ

≤ kρ_n⁰k_∞|x−x⁰|kfk_Lp(Ω)λ(Ω)^−/p

= C_n|x−x⁰|.

DoncF_n⁰eune famille ´equicontinue deC(ω,R). D’apr`es le th´eor`eme d’Ascoli,F_n⁰ erelative- ment compae dansC(ω,R). Or pourg∈ C(ω,R), on ag|ω∈L^p(ω) etkg|ωk_Lp(ω)≤(λ(ω))^/pkgk_∞. Donc l’injeion deC(ω,R) dansL^p(ω) econtinue. Ainsi,F_nerelativement compae dans L^p(ω).

(b) Soitδassoci´e `aεetωpar la propri´et´e (ii). Soitn_≥δ^−. Pourn≥n_,f ∈ F etx∈ω, on a

f˜∗ρ_n(x)−f(x)

p =

Z

R

f˜(x−y)−f(x)

ρ_n(y)dy

p

≤ Z

R

f˜(x−y)−f(x)

pρ_n(y)dy

= Z

[−/n,/n]

|f(x−y)−f(x)|^pρ_n(y)dy, donc d’apr`es le th´eor`eme de Fubini-Tonelli,

kf˜∗ρ_n−fk^p

L^p(ω) ≤ Z

ω

Z

[−/n,/n]

|f(x−y)−f(x)|^pρ_n(y)dy dx

= Z

[−/n,/n]

Z

ω

|f(x−y)−f(x)|^pdx ρ_n(y)dy

= Z

[−/n,/n]

kτ_yf −fk^p

L^p(ω)ρ_n(y)dy

≤ ε^p Z

[−/n,/n]

ρ_n(y)dy

= ε^p. On a donc montr´e que pourn≥n_,

sup

f∈F

kf˜∗ρ_n−fk_Lp(ω)≤ε.

(c) La familleF_n

erelativement compae dansL^p(ω) donc on peut la recouvrir par un nombre fini de boules de rayonε. D’apr`es la queion (b), ces mˆemes boules de rayonεrecouvrentF.



. CommeL^p(Ω) ecomplet, il suffit de montrer queF peut ˆetre recouvert par un nombre fini de boules de rayonεpour toutε >. Soitε >. Alors il exieω⊂⊂Ωtel que sup_f∈F kfk_Lp(Ω\ω)≤ε/.

Et d’apr`es la queion (),F_|ω peut ˆetre recouvert par des boulesB(g_i, ε/), i=, . . . , k (deL^p(ω)).

On noteG_i les fonionsg_i prolong´ees `aΩ par. Alors les boulesB(G_i, ε), i=, . . . , k (deL^p(Ω)) recouvrentF.

Fin

