L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚1
Nombres complexes, trigonom´ etrie et formule du binˆ ome
Exercice 1 :Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants.
z1= 3−i
2−3i z2= 2−2i
(1 +i)2 z3= (5i−3)4 2i+ 3
Exercice 2 :Trouver le module et un argument de chacun des nombres complexes ci-dessous.
z1=−1−i z2= 7−7i√
3 z3=−27i z4= 1 +i√
3 i−1
!5
Exercice 3 :R´esoudre dansCles ´equations suivantes.
(E1) : (1 + 2i)z−(i−1) =iz−3 (E2) : z2−z+ 1 = 0 (E3) : 4z2−12z+ 25 = 0
Exercice 4
1. Justifier que l’´equation
(E) : z2−6 cosπ 6
z+ 9 = 0 admet, dansC, deux solutions distinctes.
2. ´Ecrire les deux solutions de (E), not´eesz1 etz2, sous forme exponentielle.
3. Soit (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e du plan. On noteM1 (respectivementM2) l’image de z1 (respecti- vementz2) dans le plan muni du rep`ere (O;−→u ,−→v). Expliquer pourquoiM1 etM2sont situ´es sur le cercle de centre O et de rayon 3.
Exercice 5 :Soitθun nombre r´eel appartenant `a ]0;π[.
1. Justifier que l’´equation
(E) : z2−2θ+1cos(θ) + 22θ= 0 admet, dansC, deux solutions distinctes.
2. Donner le module et un argument de chacune des solutions de (E).
3. On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→u ,−→v) et on consid`ere les pointsA et B dont les affixes sont les solutions de (E). D´eterminer θde mani`ere `a ce queOAB soit un triangle ´equilat´eral.
Exercice 6 :Soit le polynˆomeP(x) =x3−2x2+x−2.
1. Pourquoi peut-on factoriserP(x) par x−2 ? 2. Factoriser P(x) parx−2.
3. R´esoudre l’´equationP(x) = 0 dansC.
1
Exercice 7 :Le but de cet exercice est de r´esoudre, dansR, l’´equation (E) : cos(x) =
√6 +√ 2
4 .
1. Calculer la valeur de sin2(x), puis celle de sin2(2x), lorsquexest solution de (E).
2. En d´eduire l’ensemble des solutions de (E).
F Exercice 8
1. Soitx∈[0; 2π[. D´eterminer le module et un argument dez1= 1−cos(x) +isin(x).
2. D´eterminer le module et un argument dez2=p 2−√
3 +ip 2 +√
3. On pourra s’inspirer de l’exercice 7.
Exercice 9
1. R´esoudre dansRl’´equation cos2(x)−sin2(2x) = 0.
2. R´esoudre dans [0; 2π[ l’in´equation 2 cos2(x)−3 cos(x) + 1≥0.
3. R´esoudre dansRl’in´equation 4 cos2(x) + 8 sin(x)<7.
F Exercice 10
1. (a) D´eterminer l’ensemble solutionS1 ⊂R de l’´equation cos(x) = 0 et l’ensemble solution S2 ⊂R de l’´equation cos(2x) = 0.
(b) Donner une expression de cos(2x) en fonction de tan(x) pourx∈R\ S1. (c) Donner une expression de sin(2x) en fonction de tan(x) pourx∈R\ S1.
(d) Donner une expression de tan(2x) en fonction de tan(x) pourx∈(R\ S1)∩(R\ S2).
2. D´eduire de ce qui pr´ec`ede la valeur de tanπ 12
.
Exercice 11 :Lin´eariser cos4(x), sin5(x), sin3(x) cos4(x) pourx∈R.
Exercice 12
1. Soitx∈R. Exprimer cos(3x) en fonction de cos(x).
2. R´esoudre l’´equation : 4u3−3u=
√3 2 .
Exercice 13 :R´esoudre dansRles ´equations trigonom´etriques suivantes.
(E1) : sin(x)+sin(5x) = sin(3x) (E2) : √
3 cos(x)−sin(x) =√
2 (E3) : sin(x)−cos(x) =
√6 2
Exercice 14
1. Pourquoi existe-t-il un uniqueα∈]−π;π] tel que 3 5 −4
5i=eiα?
2. D´ecrire `a l’aide deαl’ensemble des solutions dans Rde l’´equation trigonom´etrique 3 cos(x)−4 sin(x) = 5
2.
2
Exercice 15 : Ecrire de deux mani`´ eres (formule du binˆome et mise sous forme trigonom´etrique) le nombre (1 +i)n+ (1−i)n, o`un∈N∗.
Exercice 16 :Soitn∈N∗.
1. D´evelopper (1 +x)n par la formule du binˆome.
2. En rempla¸cantxpar 1,−1,i et−i, ´evaluer les quantit´es suivantes.
S1= 1 +Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+. . . S2= 1−Cn1+Cn2−Cn3+Cn4+. . . S3= 1−Cn2+Cn4−Cn6+. . . S4=Cn1−Cn3+Cn5−Cn7+. . .
On pourra commencer par ´ecrire chacune des sommesS1,S2,S3 etS4 `a l’aide du symbole Σ.
F Exercice 17
1. Soitx∈R. CalculerS1=
n
X
k=0
Cnkcos(kx).
2. Soient x∈]0; 2π[ ety∈R. CalculerS2=
n
X
k=0
cos(kx+y).
3. Soient x∈Ret a∈R\ {1}. CalculerS3=
n
X
k=0
akcos(kx).
Exercice 18 :R´esoudre dansCles ´equations suivantes.
(E1) : z2=−3 + 4i (E2) : z2=i (E3) : z2=−5−12i (E4) : z2= 2 + 2i
Exercice 19
1. Calculer (1 + 2i)4.
2. R´esoudre l’´equation complexez4=−7−24i. On poseraZ=z2pour d´ebuter la r´esolution.
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