ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 25 septembre 2003
Programme de colles S4
NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ´etoil´es doivent ˆetre sues
D´ emonstration par r´ ecurrence
Th´eor`eme.— Th´eor`eme de la r´ecurrence
SoientP une propri´et´e des entiers naturels, etn0∈N. Les ´enonc´es suivants sont ´equivalents :
• P(n0)
∀n≥n0
, P(n) ⇐⇒
• ∀n≥n0
, P(n)⇒P(n+ 1) Exemple?.—
1. Montrer que pour tout entier naturel non nuln, 1 +· · ·+n= (1/2)n(n+ 1).
2. Montrer que la fonctionf :R\ {1} →Rd´efinie parf(x) = 1−3x
x−1 est infiniment d´erivable, et calculer pour toutn∈Nsa d´eriv´eeni`eme.
3. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 et pour tout n-uplet (a1, . . . , an) de r´eels sup´erieurs ou
´
egaux `a 1 ,
2n−1(a1× · · · ×an+ 1)≥(a1+ 1)× · · · ×(an+ 1).
Calculs de sommes
Proposition?.— Pour toutn∈N?,
n
X
k=1
k= n×(n+ 1)
2 ,
n
X
k=1
k2= n×(n+ 1)×(2n+ 1)
6 ,
n
X
k=1
k3= n2×(n+ 1)2
4 .
Proposition?.— ∀(a, b)∈ C2,∀n∈N, an+1−bn+1 = (a−b)×
n
X
k=0
ak.bn−k.En particulier, pour tout nombre complexez∈C\ {1},
n
X
k=0
zk =1−zn+1 1−z .
D´ enombrements
D´efinition : Soit E un ensemble. On dit que E est fini s’il est en bijection avec un intervalle d’entiersFn. L’entiern, s’il existe est unique. On l’appelle lecardinaldeE. On noteCard E=n.
Th´eor`eme.— SoientE et F des ensembles finis,A, B ∈P(E) des parties deE. Alors
1
1. SiE etF sont disjoints,E∪F est fini etCard (E∪F) =Card E+Card F.
2. Card (E∪F) =Card E+Card F−Card (E∩F).
3. Card (E\A) =Card E−Card A 4. Card (B\A) =Card B−Card (A∩B) 5. E×F est fini etCard (FE) = (Card F)Card E.
6. L’ensembleFE des applications deE versF est fini etCard (FE) = (Card F)CardE. 7. L’ensembleP(E) des parties deE est fini etCard P(E)
= 2n.
Commentaires :Les d´emonstrations ne sont pas exig´ees, mais quelquesindicationsde d´emonstration seraient les bienvenus ...
Proposition.— Th´eor`eme des bergers
SoitEet F deux ensembles finis etf :E →F une application surjective deEsurF. On suppose que (∃p∈N?) (∀y∈F),Card f¯1({y})
=p. Alors Card E=pCard F.
Proposition.— Formule du crible ou formule de Poincar´e Si (Ai)1≤i≤n est une famille finie de parties d’un ensemble E, alors
Card
n
[
i=1
Ai
=
n
X
k=1
(−1)k+1 X
1≤i1<···<ik≤n
Card Ai1∩ · · · ∩Aik
Propri´ et´ es des coefficients du binˆ ome
D´efinition : Soient n, p ∈N tels que0 ≤p≤n. On appellecombinaison de p ´el´ements de En
toute partie deEn de cardinalp. Le nombre de combinaisons dep´el´ements dansEn est not´e n
p
.
Th´eor`eme.— Soientn∈Net 0≤p≤n. Alors n
p
= n!
p! (n−p)!.
Th´eor`eme?.— Pour tousn, p∈N, tels que 0≤p≤n, les coefficients du binˆome v´erifient
a n
p
= n
n−p
b n+ 1
p+ 1
= n+ 1
p+ 1
× n
p
c n+ 1
p+ 1
= n
p
+ n
p+ 1
Savoir-faire?.—Construction du triangle de Pascal.
Th´eor`eme.— Formule du binˆome de Newton
∀n ∈N, ∀(x, y)∈C2, (x+y)n =
n
X
k=0
n k
xkyn−k
Corollaire?.— Les np
v´erifient les relations suivantes :
n
X
k=0
n k
= 2n, et si n≥1
n
X
k=0
(−1)k n
k
= 0.
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