ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 4 octobre 2004
Programme de colles S5
NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ´etoil´es doivent ˆetre sues
Ensembles finis
D´efinition : SoitE un ensemble. On dit queE est finis’il est en bijection avec un intervalle d’entiers Fn. L’entier n, s’il existe est unique. On l’appelle lecardinaldeE. On note Card E=n.
Th´eor`eme.— SoitE un ensemble fini etA∈P(E) une partie deE. Alors 1. A est un ensemble fini etCard A≤Card E,
2. A=Esi et seulement siCard A=Card E.
Corollaire?.— Soitf une application d’un ensembleE vers un ensemblefiniF. 1. L’ensemble image f(E) est fini et Card f(E)≤Card F.
2. Card f(E) =Card F si et seulement si f est surjective.
Corollaire.— Soitf une application d’un ensemblefiniE vers un ensembleF.
1. L’ensemble image f(E) est fini et Card f(E)≤Card E.
2. Card f(E) =Card E si et seulement si f est injective.
Th´eor`eme?.— Soient E et F deux ensembles finistels queCard E=Card F etf :E →F une application. Alors, les assertions suivantes sont´equivalentes
f est injectivessi f est surjectivessi f est bijective.
D´ enombrements
Th´eor`eme.— SoientE et F des ensembles finis,A, B ∈P(E) des parties deE. Alors
1. SiE et F sont disjoints, E∪F est fini etCard (E∪F) =Card E+Card F.
2. Card (E∪F) =Card E+Card F−Card (E∩F).
3. Card (E\A) =Card E−Card A 4. Card (B\A) =Card B−Card (A∩B) 5. E×F est fini etCard (FE) = (Card F)CardE.
6. L’ensembleFE des applications deE versF est fini etCard (FE) = (Card F)Card E. 7. L’ensembleP(E) des parties deE est fini etCard P(E)
= 2n.
Commentaires :Les d´emonstrations ne sont pas exig´ees, mais quelques indicationsde d´emonstration a l’aide d’un sch´ema par exemple seraient les bienvenus ...
Th´eor`eme.— Th´eor`eme des bergers
SoitEetF deux ensembles finis etf :E→F une application surjective deEsurF. On suppose que (∃p∈N?) (∀y∈ F),Card f¯1({y})
=p. Alors
Card E=pCard F
Savoir-faire : utiliser le th´eor`eme des Bergers pour d´enombrerE et pour d´enombrer F.
Th´eor`eme.— Formule du crible ou formule de Poincar´e Si (Ai)1≤i≤n est une famille finie de parties d’un ensembleE, alors
Card
n
[
i=1
Ai
=
n
X
k=1
(−1)k+1 X
1≤i1<···<ik≤n
Card Ai1∩ · · · ∩Aik
1
Analyse combinatoire
Les mod`eles usuels doivent ˆetre parfaitement maˆıtris´es. Notons En un ensemble `a n´el´ements. On peut ranger ces mod`eles canoniques dans le tableau suivant :
Nombre Objets Notation
np est le nombre de
• tirages successifs avec remise dep´el´ements deEn
• listes `a r´ep´etition de p´el´ements deEn
• applications deFp dansEn
En
p
Apn est le nombre de
• tirages successifs sans remise dep´el´ements deEn
• listes dep´el´ements distincts de En
• applications injectives deFp dansEn
A(p, En)
n p
est le nombre de
• tirages simultan´es sans remise dep´el´ements deEn
• listes strictement croissantes dep´el´ements deEn
• parties `ap´el´ements de En
C(p, En)
Th´eor`eme?.— Pour tous (n, p)∈N2
Card Enp
= np
Card A(p, En) = Apn = n!
(n−p)! si 0≤p≤net 0 sinon.
Card C(p, En) = n
p
= n!
p!(n−p)! si 0≤p≤net 0 sinon.
Exemple.—
n 0
= 1 n
1
=n.
Propri´ et´ es des coefficients du binˆ ome
Th´eor`eme?.— Pour tous (n, p)∈N2, n
p
= n
n−p
n+ 1 p+ 1
= n+ 1 p+ 1 ×
n p
n+ 1 p+ 1
= n
p
+ n
p+ 1
Savoir-faire?.—Construction du triangle de Pascal.
Th´eor`eme.— Formule du binˆome de Newton
∀n ∈N, ∀(x, y)∈C2, (x+y)n=
n
X
k=0
n k
xkyn−k
Corollaire?.— Les np
v´erifient les relations suivantes :
n
X
k=0
n k
= 2n, et sin≥1
n
X
k=0
(−1)k n
k
= 0.
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