Th´ eor` emes limites en probabilit´ es

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XX

Th´ eor` emes limites en probabilit´ es

Table des mati` eres

1 Approximation d’une loi hyperg´eom´etrique par une loi binomiale 1 2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson 2

3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 4

4 La loi faible des grands nombres −Cas particulier 5

5 La loi faible des grands nombres −Cas g´en´eral 6

6 Le théorème de la limite centrée 9

7 Deux exercices 13

1 Approximation d’une loi hyperg´ eom´ etrique par une loi binomiale

Heuristique : On consid`ere une urne qui contient a boules blanches etb boules noires. On note N =a+b le nombre total de boules etp= a

N la proportion de boules blanches etq= b

N celle de boules noires. On tire successivementsans remise nboules de l’urne (n∈N^∗) et on noteX la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées. On reconnaˆıt alors une situation de loi usuelle :Xsuit la loi hypergéométriqueH(N, n, p).

On a donc, pour toutk∈J0, nK:

P(X=k) = C_{N p}^k C_{N q}^n−k C_Nⁿ .

Si on suppose maintenant que le nombreN total de boules est très grand devant le nombre nde boules tirées, alors on peut considérer que la proportion de boules blanches dans l’urne est quasiment inchangée après le tirage d’une desnboules.

Si l’on effectue l’approximation consistant à supposer que la proportion de boules blanches ne change pas au cours des différents tirages (elle est donc constamment égale à p), on peut aussi bien considérer que les tirages sont faitsavec remise. Mais si l’on considère que le tirage estavec remise, alors on reconnaˆıt une autre situation de loi usuelle : la loiB(n, p). On a donc, pour toutk∈J0, nK:

P(X=k)≈C_n^kp^kq^n−k.

Cette présentation heuristique et quelque peu imprécise (e.g. le sens de ≈ n’est pas clair) débouche sur un résultat mathématique qui s’énonce de fa¸con rigoureuse comme suit.

Th´eor`eme 1 : Soient a, b ∈ N^∗ et soit n ∈ N^∗. On pose N = a+b, p= a

N et q = 1−p. Pour toute suite (Xm)_m∈N^∗ de variables al´eatoires telle que :

∀m∈N^∗ Xm∼ H(mN, n, p)

(2)

on a :

m→+∞lim P(X_m=k) =C_n^k p^kq^n−k

pour tout k ∈ J0, nK. On dit que la suite de variables al´eatoires (Xm)m∈N^∗ converge en loi vers une variable al´eatoire qui suit la loiB(n, p).

Remarque :Le premier paramètre de la loi hypergéométrique de X_mtend vers +∞quandmtend vers +∞, alors quenreste fixe. Ceci est à rapprocher de l’expression le nombreN total de boules est très grand devant le nombrende boules tirées utilisée dans l’heuristique.

Une condition pratique d’approximation : Soient N, n ∈ N et soit p∈ [0,1] tel que N p ∈ N. On pose q= 1−p. SoitX une variable al´eatoire qui suit la loiH(N, n, p). On admet que si

N >10n alors l’approximation

P(X=k)≈C_n^kp^kq^n−k

est satisfaisante, pour toutk∈J0, nK. La conditionN >10nquantifie l’id´ee suivante :N est tr`es grand devant n, introduite dans l’heuristique.

Exemple : Un étang contient deux espèces de poissons : des carpes et des brochets. On compte a = 200 brochets etb= 800 carpes dans l’étang. On pêche 4 poissons et on noteX la variable aléatoire égale au nombre de brochets obtenus.

On reconnaˆıt une situation de loi usuelle :X ∼ H(N, n, p) avecN =a+b= 1000,n= 4 etp= a N = 1

5. On s’intéresse à la probabilitéP(X ≥1), i.e. à la probabilité de pêcher au moins un brochet. Notons que l’on a P(X≥1) = 1−P(X = 0).

• Calcul exact On a

P(X = 0) =C₂₀₀⁰ C₈₀₀⁴ C₁₀₀₀⁴ =

1×800×799×798×797 4!

1000×999×998×997 4!

= 800×799×798×797 1000×999×998×997 et donc :

P(X ≥1) = 1− 800×799×798×797

1000×999×998×997 '0,5910155545.

• Calcul approch´e `a l’aide de l’approximation de la loi deX par une loi binomiale (la loiB(n, p)) On calcule n

N = 4 1000 = 1

250 < 1

10. La condition d’approximation de la loi deX par la loiB(n, p) donn´ee ci-dessus est donc satisfaite.

On a donc :

P(X ≥1) = 1−P(X = 0)≈1−C₄⁰ 1

5 04

5 4

= 1− 4

5 4

= 0,5904.

2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson

Théorème 2 : Soitλ > 0, soitN ∈N^∗ et soit (p_n)_n∈_N^∗ une suite d’éléments de ]0,1[ telle que np_n →

n→+∞λ (e.g. la suite (pn)_n∈_N^∗ d´efinie parpn= λ

n pour toutn∈N^∗). Pour toute suite (Xn)_n∈_N^∗ de variables al´eatoires telle que :

∀n∈N^∗ X_n∼ B(n, p_n) on a :

n→+∞lim P(X_n=k) =e^−λ λ^k k!

(3)

pour toutk∈N. On dit que la suite de variables al´eatoires (X_n)_n∈_N^∗ converge en loi vers une variable al´eatoire qui suit la loiP(λ).

Preuve :Soitk∈Net soitn∈N^∗ tel quek≤n.

P(Xn=k) =C_n^k p^k_n (1−pn)^n−k = n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)

k! p^k_n(1−pn)^n−k

= n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1) k!

n^k

n^k p^k_n(1−pn)^n−k

= 1

k!

n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)

n^k (npn)^k (1−pn)^n−k. On a donc :

P(X_n=k) = 1 k!

n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)

n^k (np_n)^k(1−p_n)^n−k. (1)

On a :

ktermes

z }| { n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)

n^k =n

n×n−1

n ×n−2

n ×. . .×n−k+ 1 n et donc

n→+∞lim

n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)

n^k = 1. (2)

Comme la fonctionx7→x^k est continue surR(en particulier enλ) et comme lim

n→+∞np_n=λ, on a :

n→+∞lim (npn)^k =λ^k. (3)

Passons `a l’´etude du comportement asymptotique de la suite ((1−pn)^n−k)_n∈_N^∗. On remarque tout d’abord que :

∀n∈N^∗ (1−pn)^n−k =e(n−k) ln(1−pn). (4)

Ensuite, dep_n = 1

n×np_n pour toutn∈N^∗ et de lim

n→+∞np_n=λ, on d´eduit que la suite (p_n)_n∈_N^∗ converge et que :

n→+∞lim pn= 0. (5)

Comme lim

n→+∞pn = 0 et ln(1 +x) ∼

x→0x, on a :

ln(1−pn) ∼

n→+∞−pn

et par suite :

(n−k) ln(1−p_n) ∼

n→+∞−(n−k)p_n=−np_n+kp_n. (6)

De lim

n→+∞np_n =λet de (5), on d´eduit que :

n→+∞lim −npn+kp_n=−λ. (7)

De (6) et (7), on tire alors :

n→+∞lim (n−k) ln(1−pn) =−λ. (8)

La fonction exponentielle ´etant continue surR(en particulier en−λ) on a alors :

n→+∞lim e(n−k) ln(1−pn)

| {z }

=(1−pn)^n−k(cf. (4))

=e^−λ. (9)

(4)

Enfin, en rassemblant les r´esultats (1), (2), (3) et (9), on obtient : P(X_n=k) →

n→+∞

1

k!×1×λ^k×e^−λ=e^−λ λ^k k!.

Q.E.D.

Une condition pratique d’approximation : Soient n∈N^∗ et soitp∈[0,1]. On pose λ=np. Soit X une variable al´eatoire qui suit la loiB(n, p). On admet que si

n≥30 ; p≤0,1 ; λ=np≤10 alors l’approximation

P(X =k)≈e^−λ λ^k k!

est satisfaisante, pour toutk∈J0, nK. Les conditionsn≥30,p≤0,1,np≤10 quantifient les id´ees suivantes :

nest grand,pest petit etnp n’est pas trop grand.

Exemple :Une boˆıte contient 1000 jetons dont 10 sont blancs et tous les autres noirs. On effectue 500 tirages au hasard avec remise et on noteX la variable aléatoire égale au nombre de jetons blancs tirés.

On reconnaˆıt alors une situation de loi usuelle :X suit la loi binomialeB(n, p), avecn= 500 etp= 10

1000 = 0,01.

On s’intéresse à la probabilité deP(X = 0), i.e. à la probabilité de ne tirer aucun jeton blanc.

• Calcul exact On a

P(X = 0) =C₅₀₀⁰ 0,01⁰0,99⁵⁰⁰= 0,99⁵⁰⁰'0,00657048.

• Calcul approché à l’aide de l’approximation de la loi deX par une loi de Poisson (la loiP(λ) avecλ=np) On a n= 500≥30,p= 0,01<0,1 etλ=np= 5≤10. La condition d’approximation de la loi deX par la loi P(λ) donnée ci-dessus est donc satisfaite.

On a donc :

P(X= 0)≈e⁻⁵5⁰

0! =e⁻⁵'0,00673794.

3 In´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev

Heuristique : Soit X une variable aléatoire admettant une variance (et donc une espérance). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (qui n’est pas, à proprement parler, un théorème limite) permet de donner un sens quantitatif à la remarque suivante.

Plus l’écart-type (ou la variance) est faible, plus la distribution de probabilités est concentrée autour de l’espérance mathématique.

Théorème 3 (inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

∀ε >0 P(|X−E(X)| ≥ε)≤ V(X) ε² .

Exemple :On jette un dé cubique équilibré dont 5 faces sont blanches et une face rouge. On jette le dé jusqu’à l’obtention de la face rouge et on noteX la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués.

On reconnaˆıt un schéma de Bernoulli que l’on répète de fa¸cons indépendantes jusqu’à l’obtention d’un succès.

Un succès dans le schéma de Bernoulli correspond à l’obtention de la face rouge lors d’un lancer et la probabilité de succès est 1

6.X suit donc une loi géométrique de paramètrep= 1 6.

(5)

Par cons´equent X admet une variance (et donc une esp´erance) et on a : E(X) =1

p = 6 et V(X) = q p² = 30.

On s’intéresse à l’événement s’écarter au moins de 10 de la valeur moyenne, i.e. à l’événement [|X−6| ≥10].

Notons que :

[|X−6| ≥10] = [X−6≥10]∪[X−6≤ −10] (∀x∈R ∀A∈R⁺ |x| ≥A⇐⇒(x≥Aoux≤ −A))

= [X ≥16]∪ [X≤ −4]

| {z }

∅carX(Ω)=N^∗

= [X ≥16].

Donc l’événement [|X−6| ≥ 10] s’écrit aussi effectuer au moins 16 lancers avant d’avoir la face rouge. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (appliquée avecε= 10) on a la majoration suivante :

P(effectuer au moins 16 lancers avant d’avoir la face rouge) =P(|X−6| ≥10)≤ 30

100 = 0,3.

4 La loi faible des grands nombres − Cas particulier

Heuristique : On dispose d’une pièce équilibrée. On la lancen fois (n∈N^∗) et pour touti∈J1, nK, on note Xi la variable aléatoire égale à 1 si l’on a obtenu PILE aui-ème lancer et égale à 0 sinon.

La variable al´eatoireSn=

n

X

i=1

Xi=X1+X2+. . .+Xnest ´egale au nombre de PILE obtenus lors desnlancers.

La variable al´eatoire

Xn= 1 n Sn=

n

X

i=1

Xi

n = X1+X2+. . .+Xn

n

donne la fr´equence d’apparition de PILE lors desnlancers.

En effectuant des simulations `a l’aide d’un ordinateur, on peut constater que, pour n grand, les valeurs prises parXn sont voisines de1

2, mais que de l´eg`eres fluctuations apparaissent. Aussi est-il assez tentant de dire que(Xn) converge vers 1

2. Pour donner un sens précis à cette intuition, il convient tout d’abord de préciser ce que signifie converger pour une suite de variables aléatoires.

Une d´efinition possible de convergence est la suivante. On dit que (X_n)converge en probabilit´e vers 1

2 si pour toutε >0 on a :

(∗) P

X_n−1 2

≥ε

n→+∞→ 0.

On démontrera cette convergence en probabilité (résultat appelé loi faible des grands nombres) dans la partie suivante, dans une plus grande généralité.

Soitε >0. Comme l’´ev´enement contraire de

X_n−1 2

≥ε

est

Xn−1 2

≥ε

=

Xn−1 2

< ε

= 1

2 −ε < Xn< 1 2+ε

l’assertion (∗) est ´equivalente `a

P 1

2−ε≤Xn≤1 2 +ε

n→+∞→ 1.

On a donc en particulier pourε= 10⁻⁶ (par exemple) :

P 0,499999≤Xn≤0,500001

n→+∞→ 1.

Remarque :Il faut bien comprendre ce que signifie la convergence en probabilit´e deXnvers 1

2 : il est toujours possiblequ’un écartεsoit dépassé pour de très grandes valeurs den, mais c’est de plus en plus improbable.

(6)

5 La loi faible des grands nombres − Cas g´ en´ eral

Contexte :Dans toute cette partie, on consid`ere une suite de variables al´eatoiresX1, X2, X3, . . . , Xn, . . .deux

`

a deux indépendantes et de même loi. Pour tout n∈N^∗, on introduit deux nouvelles variables aléatoires : Sn=

n

X

i=1

Xi =X1+X2+. . .+Xn et Xn= 1

n Sn= 1 n

n

X

i=1

Xi=X1+X2+. . .+Xn

n .

On suppose queX1 admet une variance (et donc une esp´erance). On pose µ=E(X1) ; σ=σ(X1) (´ecart type deX1).

On a donc V(X1) =σ². Comme les variables aléatoires X1, X2, X3, . . . , Xn, . . . ont la même loi, les variables X₂, X₃, . . . , X_n, . . .possèdent elles aussi une variance (et donc une espérance) et on a

∀i∈N^≥2 E(X_i) =µ; σ(X_i) =σ; V(X_i) =σ². (10)

Lemme 4 (esp´erances de Sn et deXn) :On a :

E(Sn) =n µ et E(Xn) =µ.

Preuve :Soitn∈N^∗. On a :

E(S_n) = E(X₁+X₂+. . .+X_n)

= E(X₁) +E(X₂) +. . .+E(X_n) (linéarité de l’espérance)

= µ+µ+. . .+µ

| {z }

ntermes

(cf. (10))

= n µ d’o`u

E(X_n) = E 1

n S_n

= 1

n E(Sn) (cf. formuleE(aX+b) =aE(X) +b)

= 1

n n µ (carE(Sn) =µ)

= µ.

Q.E.D.

Lemme 5 (variances de Sn et deXn) :On a :

V(Sn) =n σ² et V(Xn) = σ²

n (doncσ(Xn) = σ

√n).

Preuve :Soitn∈N^∗. On a :

V(S_n) = V(X₁+X₂+. . .+X_n)

= V(X1) +V(X2) +. . .+V(Xn) (X1, X2, . . . , Xn sont deux `a deux ind´ependantes)

= σ²+σ²+. . .+σ²

| {z }

ntermes

(cf. (10))

= n σ²

(7)

d’o`u

V(X_n) = V 1

n S_n

= 1

n² V(S_n) (cf. formuleV(aX+b) =a²V(X))

= 1

n² n σ² (carV(S_n) =nσ²)

= σ² n.

Q.E.D.

Théorème 6 (loi faible des grands nombres) :Dans le contexte précédent, i.e. si X1, X2, X3, . . . , Xn, . . . est une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes, de même loi, admettant une variance (et donc une espérance), alors on a pour toutε >0 :

P

X_n−µ ≥ε

n→+∞→ 0

oùµdésigne l’espérance commune des variables aléatoiresX1, X2, X3, . . . , Xn, . . .et oùXn=X1+X2+. . .+Xn

n pour toutn∈N^∗. On dit que la suite de variables al´eatoires (Xn)n∈N^∗ converge en probabilit´e versµ.

Preuve : Soit ε > 0. Soit n ∈ N^∗. On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable Xn pour obtenir :

P

X_n−E(X_n) ≥ε

≤V(Xn)

ε² . (11)

A l’aide des deux lemmes pr´` ecédents, l’inégalité (11) se réécrit : P

Xn−µ) ≥ε

≤ σ² n ε².

De cette inégalité et du fait qu’une probabilité est positive ou nulle, on déduit : 0≤P

X_n−µ) ≥ε

≤ σ² n ε².

De cette dernière inégalité, du fait que lim

n→+∞

1

n = 0 et du théorème d’encadrement, on déduit que : P

Xn−µ ≥ε

n→+∞→ 0.

Q.E.D.

Remarque : Dans le cas o`u toutes les variables al´eatoiresXi (i∈ N^∗) suivent la loi B 1

2

, la loi faible des grands nombres donne le résultat (∗) énoncé dans la partie 4.

Corollaire 7 (application de la loi faible des grands nombres `a la loi binomiale) :Soit p∈]0,1[ et soit (Yn)_n∈N^∗ une suite de variables al´eatoires telle que :

∀n∈N^∗ Yn∼ B(n, p).

On a pour toutε >0 :

P

1 nYn−p

≥ε

n→+∞→ 0.

Preuve : On introduit une suite de variables al´eatoires X₁, X₂, X₃, . . . , X_n, . . . mutuellement ind´ependantes, qui suivent toutes la loiB(p).

Soit n ∈ N^∗. On pose S_n = X₁+X₂+. . .+X_n. Comme les variables al´eatoires X₁, X₂, X₃, . . . , X_n sont

(8)

mutuellement indépendantes, on sait queS_n ∼ B(n, p) (cf. cours sur les couples de variables aléatoires discrètes).

La variable al´eatoireS_n ayant mˆeme loi queY_n, on a :

∀ε >0 P

1 nY_n−p

≥ε

=P

1 nS_n−p

≥ε

. (12)

Soitε >0. On rappelle que l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loiB(p) estp. La loi faible des grands nombres, appliquée à la suite de variables aléatoiresX1, X2, X3, . . . , Xn, . . .donne :

P

1 nSn−p

≥ε

=P

Xn−µ ≥ε

n→+∞→ 0. (13)

De (12) et (13), on d´eduit alors que : P

1 nYn−p

≥ε

n→+∞→ 0.

Q.E.D.

Application de la loi faible des grands nombres (un premier pas vers les statistiques)¹

On s’intéresse au nombre de véhicules se présentant à un poste de péage donné entre 18h et 22h le dimanche.

On a effectué un comptage durantnsemaines consécutives. Le nombre obtenu pour lei-ème dimanche est noté x_i (i∈J1, nK). On souhaite faire des prévisions à partir de cesndonnées :

x1, x2, . . . , xn.

On introduit pour cela la variable aléatoire X égale au nombre de véhicules passant au poste de péage entre 18h et 22h le dimanche. Comme il s’agit de compter un flux pendant un temps donné, on peut supposer queX suit une loi de Poisson. On suppose donc qu’il existeλ >0 tel queX ∼ P(λ).

On explique maintenant comment estimerλà l’aide des nombresx1, x2, . . . , xn.CommeX ∼ P(λ), on a l’iden- titéE(X) =λ. Le paramètreλcherché est donc égal à l’espérance deX.

On introduitnvariables aléatoiresX₁, X₂, . . . , X_n deux à deux indépendantes, de même loi queX, i.e. suivant toutes la loi de Poisson de paramètreλ. D’après la loi faible des grands nombres, on sait que la probabilité que

Xn =X1+X2+. . .+Xn

n

soit proche de λ(l’espérance commune des variables aléatoires X1, X2, . . . , Xn) est forte (i.e. voisine de 1), sinest très grand. En considérant que (x1, x2, . . . , xn) est une valeur possible dun-uplet de variables aléatoires (X1, X2, . . . , Xn) (i.e. qu’il existeω∈Ω tel quexi=Xi(ω) pour touti∈J1, nK), alors on obtient que

x1+x2+. . .+xn

n

est tr`es probablement voisin deλ, sin est tr`es grand². Dans la suite, on note λemp (valeur empirique de λ) le nombre

λemp= x1+x2+. . .+xn

n .

L’étude précedente met en exergue un lien, assez intuitif, entre la moyenne empirique λemp et l’espérance mathématique deX, aussi appelée parfois valeur moyenne deX.

On peut, par exemple, utiliser ce qui précède pour estimer la probabilité qu’il y ait moins de 5 voitures qui se présentent au péage considéré entre 18h et 22h le dimanche à venir :

P(X ≤5) =e^−λ

5

X

k=0

λ^k

k! 'e^−λ^emp

5

X

k=0

λ^k_emp

k! =e^−λ^emp 1 +λemp+λ²_emp

2 +λ³_emp

6 +λ⁴_emp

24 +λ⁵_emp 120

! .

1. Cette application peut ˆetre omise lors de la premi`ere lecture.

2. On pourrait appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour donner un sens précis à cette expression.

(9)

6 Le th´ eor` eme de la limite centr´ ee

Heuristique : On considère une suite de variables aléatoires X1, X2, X3, . . . , Xn, . . . mutuellement (et donc deux à deux) indépendantes et de même loi. Pour toutn∈N^∗, on introduit la variable aléatoireSn définie par :

S_n=

n

X

i=1

X_i=X₁+X₂+. . .+X_n.

On se propose ici d’étudier le comportement asymptotique de la suite de variables aléatoires (Sn)_n∈N^∗. Commen¸cons par étudier les espérances et les variances des variables aléatoiresSn (n∈N^∗).

On suppose queX1 admet une variance (et donc une esp´erance). On pose µ=E(X1) ; σ=σ(X1) (´ecart type deX1).

On a donc V(X1) =σ². Comme les variables aléatoires X1, X2, X3, . . . , Xn, . . . ont la même loi, les variables X₂, X₃, . . . , X_n, . . .possèdent elles aussi une variance (et donc une espérance) et on a

∀i∈N^≥2 E(Xi) =µ; σ(Xi) =σ; V(Xi) =σ². (14)

Ce contexte est voisin de celui envisagé dans la partie 5. La différence réside dans l’hypothèse d’indépendance, plus forte ici. Les lemmes 4 et 5 donnent :

∀n∈N^∗ E(Sn) =n µ; V(Sn) =n σ².

On remarque que siµest non nul, alors la suite numérique (E(S_n))_n∈_N^∗diverge vers un infini et que siσest non nul, ce que l’on supposera désormais, alors la suite numérique (V(S_n))_n∈_N^∗diverge vers +∞. Ces deux faits nous incitent à penser qu’il y a plutôtdivergence queconvergence de la suite de variables aléatoires (S_n)_n∈_N^∗. Pour parer à cela, on va appliquer une transformation affine à chacune des variables aléatoiresSn (n∈N^∗) de fa¸con à ce que leur espérance soit nulle (on dira qu’elles sont centrées) et à ce que leur variance soit égale à 1 (on dira qu’elles sont réduites). Pour toutn∈N^∗, on pose :

S_n^∗ =Sn−n µ

√n σ .

En utilisant les résultats précédents sur la variance et l’espérance deS_n (n∈N^∗) et les formulesE(aX+b) = aE(X) +b etV(aX+b) =a²V(X) on vérifie que :

∀n∈N^∗ E(S_n^∗) = 0 ; V(S^∗_n) = 1.

On s’intéresse donc plutôt à présent au comportement asymptotique de la suite de variables aléatoires (S_n^∗)_n∈N^∗ qu’à celui de la suite de variables aléatoires (Sn)_n∈N^∗.

Pour comprendre ce qui se passe considérons un cas particulier : celui où les Xn suivent la loi de Bernoulli de paramètre 1

2. On peut se représenter la suiteX1, X2, . . . , Xn, . . .comme la suite des résultats d’un jeu de PILE ou FACE répété indéfiniment avec une pièce équilibrée. Pour visualiserle comportement asymptotique de la suite de variables aléatoiresS₁^∗, S₂^∗, . . . , S^∗_n, . . .on peut représenter les lois de celles-ci à l’aide de diagrammes en barres.

La vidéo de la partie Le théorème centralde la page web, réalisée par Jean-Pierre Kahane (professeur à l’Uni- versité Paris Sud et membre de l’Académie des Sciences), d’adresse

http://images.math.cnrs.fr/La-courbe-verte-en-cloche.html

nous montre une courbe, celle de la densité de la loi normale centrée réduiteN(0,1), i.e. de la fonction ϕ:t7→ 1

√2π e⁻^t

2 2

et l’´evolution du diagramme en barres de la loi deS_n^∗ pournvariant de 1 `a 32.

Il semble, d’après cette vidéo, que la somme des aires des barres représentant la loi deS_n^∗ tende vers l’aire sous la courbe représentant la fonctionϕquandntend vers +∞. On peut en fait observer ce phénomène au-dessus

(10)

de chaque intervalle I d’extrémitésa, b∈ R: la somme des aires des barres dont la base est contenue dans I tend vers l’aire sous la courbe représentant la fonctionϕau dessus deI quandntend vers +∞.

Autrement dit, on peut conjecturer que :

∀a, b∈Rtels quea < b P(a≤S_n^∗≤b) →

n→+∞

Z b a

ϕ(t)dt= 1

√2π Z b

a

e⁻^t

2

2 dt (15)

en s’appuyant sur l’interprétation géométrique de l’intégrale. Cette conjecture peut être reformulée de plusieurs manières. On en expose deux ci-dessous.

• SoitY une variable al´eatoire de loiN(0,1). Alors (15) se reformule comme suit :

n→+∞P(a≤Y ≤b) (16)

• Soit Φ la fonction de r´epartition deY, i.e. la fonction Φ :R→R; x7→ 1

√ 2π

Z x

−∞

e⁻^t

2 2 dt.

Bien que l’on ne sache pas calculer explicitement les valeurs de cette fonction, on dispose d’une table de valeurs (approchées) de Φ (cf. page 3 de la feuille d’exercices n˚19). Alors (15) de réécrit

n→+∞Φ(b)−Φ(a) (17)

en appliquant la relation de Chasles pour les intégrales généralisées.

Les conjectures (15), (16) et (17) sont vraies et sont non seulement valables pour l’exemple considéré ici (le nombre de PILE obtenus dans un jeu de PILE ou FACE indéfiniment répété, avec une pièce équilibrée), mais aussi dans une grande généralité. C’est le contenu du théorème suivant.

Théorème 8 (de la limite centrée) :Soit (X_n)_n∈_N^∗une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi. On suppose que ces variables possèdent une variance (donc une espérance). On note µ leur espérance commune etσleur écart-type commun, supposé non nul. Pour toutn∈N^∗, on introduit la variable aléatoireS_n définie par :

S_n=

n

X

i=1

X_i =X₁+X₂+. . .+X_n et la variable centrée³réduite⁴associée :

S_n^∗ =Sn−n µ

√n σ .

On note Φ la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, i.e. la fonction Φ définie par :

Φ :R→R; x7→ 1

√2π Z x

−∞

e⁻^t

2 2 dt.

Alors pour toutx∈R, on a :

FS_n^∗(x) =P(S_n^∗ ≤x) →

n→+∞Φ(x).

On dit que la suite de variables al´eatoires (S_n^∗)_n∈_N^∗ converge en loi vers la loiN(0,1).

Corollaire 9 :On conserve les notations et les hypothèses de l’énoncé du théorème de la limite centrée. Soient a, b∈Rtels quea < b.

1. P(S_n^∗≤b) →

n→+∞Φ(b) 2. P(S_n^∗< b) →

n→+∞Φ(b)

3. i.e. d’esp´erance nulle 4. i.e. de variance 1

(11)

3. P(a≤S_n^∗) →

n→+∞1−Φ(a) 4. P(a < S_n^∗) →

n→+∞1−Φ(a) 5. P(a≤S_n^∗≤b) →

n→+∞Φ(b)−Φ(a) 6. P(a < S_n^∗≤b) →

n→+∞Φ(b)−Φ(a) 7. P(a≤S_n^∗< b) →

n→+∞Φ(b)−Φ(a) 8. P(a < S_n^∗< b) →

n→+∞Φ(b)−Φ(a)

El´´ ements de preuve : La propriété 1 est une simple reformulation du théorème de la limite centrée. La propriété 4 se déduit de 1. par passage au complémentaire. La propriété 6 se déduit de 1. et du fait que :

]− ∞, b] =]− ∞, a] ∪

disjointe

]a, b].

Les autres propri´et´es sont admises.

Remarque :Soita >0. Comme Φ(−a) = 1−Φ(a) (cf. exercice 264 de la feuille d’exercices n˚9), on a P(−a≤S_n^∗≤a) →

n→+∞Φ(a)−Φ(−a) = 2Φ(a)−1.

Corollaire 10 (application du théorème de la limite centrée à la loi binomiale) : Soient p∈]0,1[ et q= 1−p. Soit (Y_n)_n∈_N^∗ une suite de variables aléatoires telle que :

∀n∈N^∗ Yn∼ B(n, p).

On pose pour toutn∈N^∗ :

Tn= Y_n−n p

√n p q . Alors pour toutx∈R, on a :

FT_n(x) =P(Tn≤x) →

n→+∞Φ(x)

et les propriétés du corollaire 9 obtenues en rempla¸cant partout S_n^∗ parTn restent vraies. On dit que la suite de variables aléatoires (Tn)_n∈N^∗ converge en loi vers la loiN(0,1).

Preuve :On procède de fa¸con analogue à ce que l’on a fait pour montrer le corollaire 7. On introduit une suite de variables aléatoiresX1, X2, X3, . . . , Xn, . . .mutuellement indépendantes, qui suivent toutes la loi B(p).

Soit n ∈ N^∗. On pose Sn = X1+X2+. . .+Xn. Comme les variables aléatoires X1, X2, X3, . . . , Xn sont mutuellement indépendantes, on sait queSn ∼ B(n, p) (cf. cours sur les couples de variables aléatoires discrètes).

La variable al´eatoireSn ayant mˆeme loi queYn, on a :

∀x∈R P(Tn ≤x) =P

Y_n−n p

√n p q ≤x

=P

S_n−n p

√n p q ≤x

. (18)

Soitx∈R. On rappelle que l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loiB(p) estpet que sa variance est p q. La variable aléatoire S_n^∗ centrée réduite associée à S_n dans l’énoncé du théorème de la limite centrée est donc :

S_n^∗= Sn−n E(X1)

√np

V(X₁) =Sn−n p

√n p q . (19)

D’apr`es (18) et (19), on a donc :

FT_n(x) =P(Tn≤x) =P(S_n^∗≤x) =FS_n^∗(x). (20) De (20) et du théorème de la limite centrée, on déduit alors :

n→+∞Φ(x)

(12)

Q.E.D.

Exemple :Un joueur lance une pièce équilibrée. Lorsqu’il obtient PILE, il gagne 1e et lorsqu’il obtient FACE, il perd 1 e. On se propose d’estimer le nombre maximal de lancers à effectuer pour que ce joueur ait une probabilité de plus de 95% de perdre au plus 20e, en utilisant une approximation par la loi normale.

Soitn∈N^∗. On suppose qu’on a effectuénlancers. On note Yn la variable aléatoire égale au nombre de PILE obtenus. On reconnaˆıt une situation de loi usuelle :Yn ∼ B(n, p). SoitGnle gain algébrique du joueur. On a la relation :

Gn= 1Yn−1 (n−Yn) = 2Yn−n carn−Yn est le nombre de parties perdues.

On cherche doncn∈N^∗ tel que l’in´egalit´e

(I) : P(Gn ≥ −20)≥0,95

soit valide. Notons que la variable al´eatoireTn introduite dans le corollaire 10, s’´ecrit ici :

Tn=

Yn−n 2 rn

4 carp=q=1

2.

L’idée consiste à exprimer l’événement [Gn≥ −20] en fonction deTnpour pouvoir ensuite appliquer le corollaire 10 et ainsi donner une valeur approchée de la probabilitéP(Gn≥ −20).

On a :

[Gn≥ −20] = [2Yn−n≥ −20] =h Yn−n

2 ≥ −10i

=





 Yn−n

2 rn

4

≥ −10 1 rn

4







=

Tn ≥ −20

√n

et donc :

P(G_n≥ −20) =P

T_n ≥ −20

√n

= 1−P

T_n<−20

√n

. (21)

D’apr`es le corollaire 10, on a : P

Tn<−20

√n

n→+∞→ Φ

−20

√n

. (22)

Comme l’énoncé nous y invite, on interprète (22) par une approximation : P

T_n <−20

√n

≈Φ

−20

√n

.

Grâce à cette approximation et à (21), (I) se réécrit : 1−Φ

−20

√n

≥0,95.

ou encore :

(I⁰) : Φ 20

√n

≥0,05

car Φ(−x) = 1−Φ(x) pour toutx∈R(cf. exercice 264 de la feuille d’exercices n˚19).

La fonction Φ est d´erivable (donc continue) surRet pour toutx∈Ron a Φ⁰(x) = 1

√2π e⁻^x²² >0. La fonction Φ est donc strictement croissante surR. De plus, puisque Φ est une fonction de r´epartition, on a :

(13)

D’après le théorème de la bijection, la fonction Φ réalise donc une bijection de R sur ]0,1[ et sa bijection réciproque Φ⁻¹: ]0,1[→Rest strictement croissante sur ]0,1[. En conséquence :

(I⁰)⇐⇒ 20

√n ≥Φ⁻¹(0,95).

Or d’apr`es la table de valeurs (approch´ees) de Φ (cf. page 3 de la feuille d’exercices n˚19), on a : Φ⁻¹(0,95)≈1,65.

En conséquence, une valeur approchée du nombre n cherché est donnée par la plus grande des solutions de l’inéquation :

√20

n ≥1,65.

On trouve ainsi :n≈146.

Remarque conclusive : L’approximation de la loi deTnpar la loi normale nous a permis de résoudre, en utilisant la table de valeurs (approchées) de Φ, l’inéquation

P(Gn ≥ −20)≥0,95 d’inconnuen∈N^∗ initiale, peu évidente à résoudre de fa¸con exacte.

Corollaire 11 (application du théorème de la limite centrée à la loi de Poisson) : Soitλ > 0. Soit (Y_n)_n∈_N^∗ une suite de variables aléatoires telle que :

∀n∈N^∗ Y_n∼ P(n λ).

On pose pour toutn∈N^∗ :

Tn =Yn−n λ

√n λ . Alors pour toutx∈R, on a :

n→+∞Φ(x)

et les propriétés du corollaire 9 obtenues en rempla¸cant partout S_n^∗ parT_n restent vraies. On dit que la suite de variables aléatoires (T_n)_n∈_N^∗ converge en loi vers la loiN(0,1).

Preuve :Analogue `a celle du corollaire 10, laiss´ee en exercice.

7 Deux exercices

Exercice 1 :On réalise 400 fois une expérience de Bernoulli (i.e. une expérience avec pour résultat 0 ou 1) dont la probabilité de succès est 4

5 (i.e. telle que la probabilit´e d’obtenir 1 est 4

5). On suppose que les 400 expériences sont deux à deux indépendantes. On noteX le nombre de succès obtenus.

1. Quel est la loi de X?

2. Donner l’esp´erance et la variance deX.

3. Donner un minorant de la probabilit´eP(300< X <400).

Exercice 2 :Soitn∈N^∗ et soitX une variable al´eatoire suivant la loiB

n,1 3

. 1. Pr´eciser l’esp´erance et la variance deF = X

n. 2. D´eterminern∈N^∗ tel que

P(|F−E(F)|<10⁻²)≥0,98 de deux mani`eres :

(a) en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; (b) en utilisant une approximation par une loi normale.

3. Comparer les r´esultats obtenus en 2.(a) et 2.(b).