Partie II. Propri´ et´ es des coefficients du binˆ ome

Corrig´ e du Devoir Surveill´ e N ^◦ 2

Partie I. Analyse combinatoire Exercice 1 : Jeu de cartes

NotonsJ le jeu de 52 cartes etE=C(13,J) l’ensemble des parties `a 13 ´el´ements de J. 1. Card E= ⁵²₁₃

N 2. a. Soit A l’ensemble des mains contenant au moins un pique. Pour d´enombrer Ail est pr´ef´erable de calculer cardinal de son compl´ementaire dansE, c’est-`a-dire le sous ensemble form´e des mains ne contenant pas de piques. Il est clair queCard {EA= ³⁹₁₃

. D’o`u Card A= 52

13

− 39

13

N b. Soit B l’ensemble des mains contenant au plus un pique. Remarquons que B = B0∪B1 o`u Bi est le

sous-ensemble deE form´e des mains contenant exactement ipiques.

i. D’apr`es la question pr´ec´edenteCard B0= ³⁹₁₃ ii. Pour d´enombrerB1 on peut raisonner par ´etapes :

• je choisis une carte `a pique ¹³₁

possibilit´es

• je choisis douze cartes non piques ³⁹₁₂

possibilit´es D’o`uCard B1= + ¹³₁

× ³⁹₁₂ .

Au totalCard B=Card B0tB1

=Card B0+Card B1= 39

13

+ 13

1

× 39

12

N c. NotonsC la partie deE form´ee des mains contenant un as et au plus deux piques.

Je raisonne discute suivant que la main contient ou pas l’as de pique:

avec as de pique La main peut contenir un pique ou deux piques exactement avec un seul pique il y a un seul choix possible pour le pique puis ³⁶₁₂

possibilit´es pour les autres cartes.

avec deux piques il y a un seul choix possible pour l’as de pique , puis ¹²₁

possibilit´es pour l’autre pique, puis ³⁶₁₁

possibilit´es pour choisir les onze derni`eres cartes, qui ne sont ni des piques, ni des as.

Au total, il y a 36

12

+ 12

1

× 36

11

mains contenant l’as de pique et au plus deux piques.

sans as de pique La main peut contenir aucun pique, un pique ou deux piques exactement.

sans pique Il y a ³₁

choix possibles pour l’as, puis ³⁶₁₂

choix possibles pour les douze cartes qui ne sont, ni des as , ni des piques.

avec un seul pique Il y a ³₁

choix possibles pour l’as, puis ¹²₁

choix possibles pour le pique, puis

36 11

choix possibles pour les onze cartes qui ne sont ni des piques ni des as.

avec deux piques Il y a ³₁

choix possibles pour l’as, puis ¹²₂

choix possibles pour les piques, puis

36 10

choix possibles pour les dix cartes qui ne sont ni des piques ni des as.

Au total, il y a 3

1

× 36

12

+ 3

1

× 12

1

× 36

11

+ 3

1

× 12

2

× 36

10

mains contenant un as et au plus deux piques qui ne contiennent pas l’as de pique.

Finalement Card C=

36 12

+ 12

1

× 36

11

+ 3

1

× 36

12

+ 3

1

× 12

1

× 36

11

+ 3

1

× 12

2

× 36

10

. N

Exercice 2 : Jeu de chiffres et de lettres

1. L’ensemble des codes possibles estE={A, B, C} × {1, . . . ,9}⁴. Il y a donc 3×9⁴ codes diff´erents. N 2. a. SoitA={codes avec le chiffre7}. Plutˆot que de d´enombrer directementA, je d´enombre son compl´ementaire :

{^EA={A, B, C} × {1,2,3,4,5,6,8,9}⁴

Il est clair queCard {^EA= 3×8⁴, d’o`u finalementCard A= 3×(9⁴−8⁴). N

1

b. Soit B={codes `a chiffres pairs}={A, B, C} × {2,4,6,8}<sup>4</sup>. D’o`uCard B= 3×4⁴. N c. SoitC={codes `a chiffres diff´erents}={A, B, C}×A(4,F9). D’apr`es les r`egles de calculs pour les cardinaux

des produits cart´esiens, il vient :

Card C= 3×A⁴₉. N

d. Soit D = {codes `a liste de chiffres strictement croissante} = {A, B, C} ×C(4,F9). D’apr`es les r`egles de calculs pour les cardinaux des produits cart´esiens, il vient :Card D= 3×

9 4

. N

Partie II. Propri´ et´ es des coefficients du binˆ ome

Exercice 1 : Formule de Van der Monde

Soient n, p, q des nombres entiers tels quen ≤pet n≤q. On consid`ere un ensemble E `a p+q ´el´ements, et F ⊂E une partie deE `a p´el´ements. On noteC(n, p+q) l’ensemble des parties `a n´el´ements de E.

1. Card C(n, p+q) = p+q

n

= (p+q)!

n! (p+q−n)! N

2. D´enombronsC(n, p+q) ={A∈P(E)|Card A=n} en discutant suivant la valeur k∈[[0, p]] du cardinal de l’intersectionA∩F.

• je choisis une partieD deF `a k´el´ements, _k^p

possibilit´es.

• je choisis une partieG`an−k´el´ements de Equi ne rencontre pasF _n−k^q

possibilit´es.

A=D∪Gest une partie deE`a n´el´ements dontk exactement sont ´el´ements de F.

Au total, Card C(n, p+q) =

p

X

k=0

p k

q n−k

. N

3. D’apr`es les deux questions pr´ec´edentes, nous avons :

p+q n

=

p

X

k=0

p k

q n−k

. En particulier, prenons

p=q=n, il vient : 2n

n

=

n

X

k=0

n k

n n−k

=

n

X

k=0

n k

2

. N

4. a. Soientpetkdes entiers tels que 2≤k≤p, d’apr`es le propri´et´es des coefficients du binˆome, nous avons :

’

p k

= p k

p−1 k−1

= p(p−1) k(k−1)

p−2 k−2

N b. Soit p≥2.

p

X

k=0

k(k−1) p

k ²

=

p

X

k=2

k(k−1) p

k

× p

k

=

p

X

k=2

p(p−1) p

k

× p−2

k−2

= p(p−1)

p

X

k=0

p k

× p−2

k−2

=p(p−1)

p

X

k=0

p k

× p−2

p−k

Dans la derni`ere expression, on reconnaˆıt la somme calcul´ee `a la question 3. avecq=p−2 etn=p.

Par cons´equent

p

X

k=0

k(k−1) p

k 2

=p(p−1)

2p−2 p

. N

Exercice 2 : Un calcul de somme

Soitn∈N^?, on calculeS=

n

X

k=0

kA^k_n n^k. 1. S=

n

X

k=0

kA^k_n n^k =

n

X

i=0

(n−i)Aⁿ⁻ⁱ_n nⁿ⁻ⁱ =

n

X

i=0

(n−i)n!

i!

nⁱ nⁿ = n!

nⁿ

n

X

i=0

(n−i)nⁱ

i! N

2. Par cons´equentS= n!

nⁿ n

n

X

i=0

nⁱ i! −

n

X

i=0

inⁱ i!

! .

2

3. D’o`u finalement :

S = n!

nⁿ n

n

X

i=0

nⁱ i! −

n

X

i=0

inⁱ i!

!

= n!

nⁿ n

n

X

i=0

nⁱ i! −

n

X

i=1

inⁱ i!

!

= n!

nⁿ n

n

X

i=0

nⁱ i! −n

n

X

i=1

nⁱ⁻¹ (i−1)!

!

= n!

nⁿ⁻¹

n

X

i=0

nⁱ i! −

n−1

X

i=0

nⁱ i!

!

= n!

nⁿ⁻¹ nⁿ

n! =n..

N

Partie III. D´ enombrements

Exercice 3 : Nb de p -listes (A

)

de P (E) tq S

i=1

A

= E

Soitn∈N^?un entier non nul et E un ensemble de cardinaln.

1. NotonsRl’ensemble des couples (A, B)∈P(E)×P(E) de parties deEtelles queA∪B =E. Pour d´enombrer R, je discute suivant la valeurk∈[[0, n]] du cardinal deA:

• je choisis une partieAdeE `ak´el´ements ⁿ_k

possibilit´es

• je choisis une partieB deE telle queA∪B=E, c’est-`a-dire une partieB qui contient{EA.

Une telle partieB peut s’´ecrire B={EA∪D, o`uD ⊂A est une partie deA. De plusB est enti`erement d´etermin´ee par la donn´ee deD.

Il y a donc autant de possibilit´es pour choisirB qu’il y a de parties dansA, 2^k possibilit´es.

FinalementCard R=

n

X

k=0

n k

2^k = 3ⁿ d’apr`es la formule du binˆome de Newton. N 2. NotonsF ={0,1}²\ {(0,0)}et F^E l’ensemble des applications deE versF.

a. Comme Card F = 3, il r´esulte des r`egles de calculs ´el´ementaires sur les cardinaux queCard F^E = 3ⁿ. N b. Soit ϕl’application d´efinie parϕ

R → F^E

(A, B) 7→ (1IA,1IB) .

i. Montrons queϕest bien d´efinie. Tout d’abord, l’application ˜ϕqui `a tout couple (A, B) de parties deE associe (1IA,1IB)∈ {0,1}²E

est bien d´efinie et bijective d’apr`es les propri´et´es des fonctions indicatrices.

D’autre part, si (A, B)∈ R, montrons par l’absurde que l’application (1IA,1IB) ne prend jamais la valeur (0,0).Supposonsau contraire qu’il existe un ´el´ementxdeEpour lequel (1I_A(x),1I_B(x)) = (0,0).

Par d´efinition du produit cart´esien, cela signifie que 1I_A(x) = 0 et 1I_B(x) = 0. Ainsix /∈A et x /∈B, i.e.x /∈A∪B. Ce quicontredit le fait queA∪B=E. Finalement nous avons d´emontr´e que∀(A, B)∈ R, ∀x∈E, (1I_A(x),1I_B(x))∈F.

ii. Montrons que ϕ est bijective. Comme ˜ϕ est injective, ϕ l’est aussi aa fortiori. Montrons que ϕ est surjective. Soit (f, g)∈F^E. Comme ˜ϕest surjective, il existe un couple (A, B) de partie deEtelles que f = 1IA etg= 1IB. Montrons parl’absurdeque (A, B)∈R. Supposonsau contraire que (A, B)∈/ R.

Il existe donc un ´el´ementxdeEtel quex /∈A∪B, alors f(x), g(x)

= indA(x), indB(x)

= (0,0) ce

qui contredit le fait que (f, g) est `a valeurs dansF. N

c. Comme ϕ:R→F^E est bijective, il en r´esulte que Card R=Card F^E= 3ⁿ N 3. NotonsR₃ l’ensemble des triplets (A, B, C) de parties deE tels que A∪B∪C=E et F₃={0,1}³\ {(0,0,0}.

On consid`ere alors l’application :

ϕ3 : R3 → F₃^E (A, B, C) 7→ (1IA,1IB,1IC)

On montre comme pr´ec´edemment que l’applicationϕ₃ est bijective, par cons´equent

Card R₃=Card F₃^E= 7ⁿ. N

4. NotonsRp l’ensemble desp-listes (Ai)1≤i≤p de parties deE telles que

p

[

i=1

Ai=E etFp={0,1}^p\ {(0, . . . ,0)}.

On consid`ere l’application :

˜

ϕ_p : P(E)^p → {0,1}^pE (Ai) 7→ (1IA₁, . . . ,1IA_p)

3

Cette application v´erifie

(1) ∀(A_i)∈P(E)^p,∀x∈E 1I_A1(x), . . . ,1I_Ap(x)

= 0, . . . ,0

⇐⇒ x /∈

p

[

i=1

A_i.

L’´equation (1) permet de v´erifier que cette application ˜ϕ_p induit une bijection not´e ϕ_p de R_p sur F_p^E. Ainsi Rp'F_p^E. CommeCard Fp= 2^p−1, il r´esulte des r`egles de calcul ´el´ementaires sur les cardinaux que

. Card Rp = (2^p−1)ⁿ. N

4