1. Les pr´ ef´ erences et l’utilit´ e

Corrig´e de Micro´economie

Prof. St´ephane Saussier Universit´e Paris 11

DEUG 1`ere Ann´ee

1. Les pr´ ef´ erences et l’utilit´ e

Exercice 1

a. Ensemble de paniers de biens

Dans l’´enonc´e, on sait que

A∼B ∼D D∼L K ∼J ∼M C "B F "M F ∼G C ∼M ∼E H ∼I ∼F

On voit donc que

F ∼G∼H ∼I "C ∼E ∼J ∼K ∼M "A∼B ∼D∼L

Rappel 1 (La courbe d’indiff´erence). La courbe d’indiff´erence permet de d´e- crire graphiquement les pr´ef´erences d’un consommateur de fa¸con commode.

La courbe d’indiff´erence d´ecrit l’ensemble des paniers pour lesquels le consom-

mateur est indiff´erent. Pr´enons la panier A par exemple, l’ensemble de pa- niers qui laisse le consommateur indiff´erent est le panier B, D et L.

On peut avoir plusieurs courbes d’indiff´erence, qui r´epr´esentent les diff´erentes pr´ef´ence du consommateur. Une propri´et´e de la courbe d’indiff´erence est que les diff´erentes courbes d’indiff´erence correspondant `a des niveaux de satisfac- tion diff´erents ne peuvent pas se croiser.

x2

x1

A

Une courbe d’indiff´erence : paniers indiff´erents `aA

On a 3 courbes d’indiff´erence ici : ABDL, CEJKM et F GHI. Puisque F " C " B, alors la courbe d’indiff´erence F GHI donne au consommateur

plus de satisfaction que les paniers CEJKM, qui eux sont pr´ef´er´es par notre consommateur `a la courbe d’indiff´erence/paniers ABDL.

b. R´ epr´ esenter graphiquement les courbes d’indiff´ erence

Y

X D

A

B

L C

K

E J

M H

G

F

I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 Pr´ef´erence +

Notons ici qu’on a suppos´e que le choix du consommateur porte sur les biens divisibles.

Exercice 2

a. Vermouth et gin

«un doigt de Vermouth ou trois doigts de Gin ne me procure aucune satisfaction, mais un doigt de Vermouth et trois doigts de Gin me satisfont beaucoup »

Pour ce consommateur, le Vermouth et le Gin sont des bienscompl´ementaires.

Ainsi la courbe d’indiff´erence de ce consommateur est donn´ee par :

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Vermouth

Gin

b. Gold ou Kronenbourg

«Je ne fais pas attention si mon verre contient de la Gold ou de la Kronenbourg d`es lors qu’il s’agit de bi`ere»

Il s’agit ici donc de biens parfaitement substituables, ou des substituts par- faits. De plus, ici le taux de susbtituabilit´e est de −1.

0 1 2 3 4

Kronenbourg

Gold

c. cheveux

«Je ne couperais pas mes cheveux pour faire plaisir `a ma patronne

`

a moins qu’elle ne me paye pour cela. Mon prix serait alors de 300 euros plus 1 euro pour chaque centim`etre de mes cheveux coup´es»

Dans ce cas l`a, la courbe d’indiff´erence est alors :

Euros

Cheveux (cm) 300

d. Bi` eres et Bretzels

«J’aime la bi`ere et les bretzels. Mais apr`es 12 bouteilles, toute bouteille de bi`ere suppl´ementaire me rend malade»

On voit donc ici qu’`a partir de 12 bouteilles de bi`ere, le consomateur n’aura plus de satisfaction `a consommer des bouteilles suppl´ementaire. Apr`es 12 bouteilles de bi`ere, toute bouteille suppl´ementaire lui est ind´esirable. Le consommateur atteint un point de saturation en 12 bouteilles de bi`ere.

Bretzels

Bi`eres 12

Exercice 4

Dans l’´enonc´e, on sait queA∼B etA∼C. Si ces pr´ef´erences appartiennent au mˆeme consommateur, on devrait avoir B ∼ C, i.e. le consommateur est indiff´erent entre les 2 paniers. En plus, on sait que XB > XC etYB> YC, et que les courbes d’indiff´erence sont convexes, donc on sait que les pr´ef´erences sont strictement monotone (et strictement convexe). Alors, B "C. Or, il est impossible, avec une pr´ef´erence strictement convexe et strictement monotone, d’avoir B ∼ C et B " C. Les deux courbes n’appartiennent pas au mˆeme consommateur.

x2

x₁

Graphiquement, on choisit un point quelconqueAetC, et on essaie de placer le panier B sans que les courbes ne se croisent.

Exercice 4

Droite de budg´ et

Rappel 2 (La droite de budget). La droite de budget l’ensemble des paniers de biens(x1, x2) qui coˆutent exactementR. Ce sont des paniers qui absorbent compl`etement le revenu du consommateur.

On ´ecrit donc la droite de budget pour le consommateur : p1q1+p2q2 = R

⇔ 2q1+ 2q2 = 20

On peut facilement repr´esenter cette droite sur un planq₂◦q₁. Pour ce faire, on r´e´ecrit l’´equation ci-dessus sous forme suivante :

q2 = 10−q1

b. L’ensemble des consommations possibles

L’ensemble des consommations possibles est d´efini par {(q1, q2|2q1+ 2q2 ≤20}

Il d´efinie les paniers de biens qui sont acessibles au consommateur compte tenu de son revenu et les prix des biens.

q2

q1

10

10 La droite de budget

Ensemble de consommations possibles (6,7)

c. Revenu n´ ecessaire

Si le consommateur veut consommer 6 unit´ees de bien 1 et 7 unit´ees de bien 2, on voit que ce panier lui est inaccessible compte tenu de son revenu et les prix des bien. A prix constant, si le consommateur veut consommer ce panier de biens, il lui faut disposer un revenu R^! tel que

2×6 + 2×7 ≤ R^! 28 ≤ R^! R^! ≥26

Donc le consommateur doit disposer un revenu d’au moins 28, c’est-`a-dire que par rapport `a son revenu actuel, qu’il devrait avoir au moins 6 de plus.

d. Variation des prix

Une hausse de p2 (p2 = 3) aura pour effet un pivotement vers le bas de la droite de budget, sans changement de l’origine de son abscisse. La nouvelle droite de budget s’´ecrit :

2x1+ 3x2 = 20 x2 = 20

3 + 2 3x1

q₂

q1

10

10

20 3

SI le prix de bien 1 baisse de 2 `a 1, la nouvelle droite de budget s’´ecrit : x1+ 2x2 = 20

x2 = 10− 1 2x1

Le consommateur pourra alors consommer plus de bien 1, mais sa consom- mation de bien 2 maximale reste inchang´ee.

q2

q1

10

10 20

Une diminution du prix simultan´e de bien 1 et de bien 2 ´equivaut `a une augmentation de revenu. Dans ce cas l`a, la nouvelle droite de budget s’´ecrit :

x1+x2 = 20 x2 = 20−x1

q2

q₁ 20

20 10

10

Au prix d’avant, c’est-`a-dire p1 =p2 = 20, la variation de revenu qui aurait le mˆeme effet sur la droite de budget est une augmentation de 10.

Exercice 6

a. Fonction d’utilit´e

Dans cet exercice, on a le fonction d’utilit´e suivante U(x1, x2) =x1x²₂

On peut donc d´efinir les courbes d’utilit´e qui sont en fait les courbes de niveau de cette fonction `a 2 variables de la mani`ere suivante :

{(x₁, x₂|k ∈R, U(x₁, x₂) =k}

Les courbes d’indiff´erences sont donc des courbes de niveau pour des valeurs d´efinies de la fonction U(x1, x2).

Pour d´esigner les courbes d’inff´erence pour un niveau d’utilit´e 4, on va ´ecrire La fonction de la mani`ere suivante :

4 =x₁x²₂

⇔x2 =

! 4

x₁ = 2

√x₁ On voit donc que

x2 x1

2 1

1 4

0.66 9

0.25 16

De la mˆeme mani`ere, pour un niveau d’utilit´e ´egal `a 16, on peut ´ecrire la fonction suivante pour la courbe d’indiff´erence :

x2 = 4

√x1

On a donc les valeurs suivantes pour les deux variables :

x2 x1

4 1

2 4

1.66 9

1 16

A partir de ces valeurs, les courbes d’indiff´erence peuvent ˆetre trac´ees sans probl`eme particulier. Il suffit de rapporter ces points sur un plan x2◦x1.

x2

X1

U(x1, x2) = 4 U(x1, x2) = 16

b. Taux marginale de substitution

Pour cette exercice, on a donc :

T MS_2,1 = U_x^!₁(x₁, x₂) U_x^!₂(x1, x2)

= x²₂ 2x₁x₂

= x2

2x1

x2

X1

U(x1, x2) = 4 U(x1, x2) = 16

Commentaires :

1. Le taux marginal de substitution est d´ecroissant en x1 le long de la courbe d’indiff´erence. Ceci signifie que le taux auquel le consommateur est prˆet `a ´echanger le bien 2 contre le bien 1 diminue au fur et `a mesure quex1augmente. En plus, le consommateur a des pr´ef´erences convexes.

2. Le TMS n’est pas constante. Elle d´epend des diff´erents paniers de biens.

Les biens ne sont pas de suubstitus parfaits.

3. Le taux marginal de substitution est partout d´efini : les deux biens ne sont pas de compl´ements.

2. Les choix de consommation

Exercice 1*

a. Calcul des ´ elasticit´ e niveau

On constate la courbe de demande pour la location de cassettes est lin´eaire avec une pente en valeur absolue de 20. On sait que l’´elasticit´e de la d´emande est d´efinie par

e_p = variation r´elative de quantit´e variation r´elative de prix

= ∆q

∆p p q

= 20p q

Donc, pour une ´elasticit´e prix ´egale `a 1, on r´esout : 1 = 20p

q q= 20p

On voit dans la table que cette condition est satisfaite pour q = 60, p = 3.

On v´erifie bien que c’est le cas de la graphique avant.

De le mˆeme fa¸con, pour une ´elasticit´e prix ´egale `a 0, on a : 0 = 20p

q p= 0

Donc, au point o`up= 0, q= 6 l’´elasticit´e est ´egale `a 0.

Calcul de l’´ elasticit´ e d’une variation

On utilise la d´efinition de l’´elasticit´e pour calculer l’´elasticit´e prix de la de- mande. On sait qu’au point q = 60, p = 3, ep = 1. De la mˆeme fa¸con, si le prix est de 4 euros, l’´elasticit´e prix de la demande devient :

ep=4 = 20 4 q(p= 4)

= 20 4 40

= 2

Donc, quand le prix passe de 3 euros `a 4 euros, l’´elasticit´e de la demande va passer de 1 `a 2. L’´elasticit´e prix de la demande en valeur absolue augmente quand le prix augmente.

c. Expliquez lit´ erairement

L’´elasticit´e prix directe de la demande mesure la variation relative de la demande suit `a une variation d’1% de prix. Au prixp= 3 euros par exemple, la demande est dite iso-´elastique, c’est-`a-dire qu’une augmentation de 1% du prix de location va entraˆıner un diminuation de 1% de la demande de location en cassettes vid´eo.

Exercice 2

L’´elasticit´e directe de la demande est l’´elasticit´e prix de la demande : elle mesure la variation de la demande suite `a une variation de 1% de prix du bien consid´er´e. Ici cette ´elasticit´e est de -1,2. Ceci signifie que quand le prix du bien augmente de 1%, la demande va diminuer de 1,2%. L’´elasticit´e revenu de la demande mesure la variation r´elative de la demande suite `a une variation de 1% du revenu. Ici cette ´elasticit´e est de -0,4, ce qui signifie que si le revenu augmente de 1%, la demande va diminuer de 0,4%. Le transport d’autobus est un bien inf´erieur.

Rappel 3 (Bien normal, inf´erieur, luxe).

demande augmente demande diminue Revenu augmente bien normal / super-

ieur

bien inf´erieur

Prix augmente bien Giffen bien normal / typique / ordinaire

Prix de l’autre bien augmente

bien substituables / concurrent

bien compl´ementaires

L’´elasticit´e crois´ee mesure la variation de la demande suite `a une variation du prix d’un autre bien. Ici, on consid`ere que le consommateur va choisir entre le transport par autobus et le transport f´erroviaire Cette ´elastict´e crois´ee est de +2,1, ce qui signifie que si le prix du transport ferroviaires augmente d’1%, alors la demande du transport par l’autobus augmente de 2,1%. On voit donc que pour les consommateurs, le transport par autobus et le transport f´erroviaire sont substituables. Les deux biens sont donc des biens concur- rents. Votre entreprise connaˆıt des pertes. Pour la sauver, vous avez besoin d’augmenter la recette, ce qui pourrait se faire en deux fa¸cons :

• faire des investissements pour ˆetre plus efficace et augmenter la capacit´e.

Cependant, l’´elasticit´e revenu du transport d’autobus est de -0,4, ce qui signifie que le transport par autobus est un bien inf´erieur. En clair, quand le revenu augmente, la demande du transport va diminuer. Sachant que dans une ´economie normale, le revenu des agents a une tendance `a augmenter,

ceci laisse pr´evoir que la demande pour l’autobus va diminuer. Il n’est donc pas int´eressant d’investir.

• augmenter le prix du transport. En effet, la recette ´etant d´efinie par R=pq

On voit donc qu’une augmentation de prix va permettre d’augmenter la recette. Cependant, une augmentation de prix va ´egalement entraˆıner une modification de la demande. Supposons que le prix et la quantit´e se mo- difient et deviennent respectivement p+δp et q+ ∆q, alors la nouvelle recette est ´egale `a

R^! = (p+ ∆p)(q+ ∆q)

= pq+q∆p+p∆q+ ∆p∆q

En soustrayant R deR^!, on a donc

∆R = q∆p+p∆q+ ∆p∆q

≈ q∆p+p∆q

si le valeurs de ∆p et ∆q sont petites. On voit donc que

∆R

∆p =q+p∆q

∆p

Donc, pour que la recette augmente suite `a une variation du prix, il faut que :

∆R

∆p ≥ 0

⇔ q+p∆q

∆p ≥ 0

⇔ p∆q

∆p ≥ −q

⇔ p

q

∆q

∆p ≥ −1

⇔ e_p ≥ −1

L’´elasticit´e-prix est une grandeur n´egative, donc il faut multiplier par −1 les deux cˆot´es, on obtient donc la condition suivante :

⇔ −ep ≤ 1

⇔ |ep| ≤ 1

Pour que la recette augmente suite `a une augmentation du prix, il faut que l’´elasticit´e-prix en valeur absolue soit inf´erieur `a l’unit´e. C’est un r´esultat attendu : en effet, quand le prix augmente de 1%, et que l’´elasticit´e-prix en valeur absolu est superieur `a l’unit´e, alors la demande va baisser plus que proportionellement par rapport au prix. En revanche, si la demande est in´elastique, i.e. avec une ´elasticit´e-prix en valeur absolue inf´erieur `a 1, alors la demande se modifie peu suite `a une modification des prix. Ainsi pour que l’augmentation du prix ait un impact positif sur la recette, il faut que la demande ne baisse pas trop, d’o`u la condition que la demande soit peu ´elastique. Ici, on voit donc qu’une augmentation du prix n’aura pas un impact positif sur la recette de l’entreprise, car la demande du transport par autobus est ´elastique. Quand on augmente le prix, la demande va diminuer plus que proportionellement, ce qui entraˆıne au contraire une diminution de la recette. De plus, il faut tenir compte de la concurrence avec le transport f´erroviaire. En effet, cette ´elasticit´e crois´ee indique que le transport f´erroviaire est un bienconcurrent avec le transport par autobus.

En augmentant le prix de l’autobus, on risque de faire baisser encore plus la demande, et donc d’essuyer plus de pertes.

La seule solution possible pour l’entreprise est donc de modifier l’offre.

Exercice 3

On a la demande de bien 1 qui s’´ecrit : x1 = R²

2p1+ 0,5p2−0,2p3

Afin d’´etudier la nature de ce bien avec les autres biens li´es, il faut d´eterminer les ´elasticit´es de la demande par rapport au revenu, et aux prix.

On calcule d’abord l’´elasticit´e-revenu de bien 1 : ex1/R = ∂x1

∂R R x1

= 2R

2p1+ 0,5p2−0,2p3

R x1

= 2R²

2p₁+ 0,5p₂−0,2p₃ 1 x₁

= 2R²

2p1+ 0,5p2−0,2p3

2p1+ 0,5p2−0,2p3

R²

= 2

On voit que si le revenu augmente de 1%, la demande de bienX1va augmenter de 2%.X1 est un bien normal de luxe de fa¸con iso´elastique. On utilise le terme iso´elastique quand l’´elasticit´e est constante le long de la courbe de demande.

On calcule ensuite l’´elasticit´e-prix de bien X1 : ex1/p1 = ∂x₁

∂p1

p₁ x1

= −2R²

(2p1+ 0,5p2−0,2p3)²

p1(2p1+ 0,5p2−0,2p3) R²

= −2p1

2p₁+ 0,5p₂−0,2p₃)

= −2p₁x₁ R²

On voit donc que cette ´elasticit´e est n´egative (car p1 >0,x1 >0 etR² >0).

La demande du bien X1 diminue quand le prix p1 augmente. Il s’agit donc d’un bien typique/ordinaire non iso´elastique.

On calcule ensuite l’´elasticit´e crois´ee de bien X1 par rapport `ap2 : ex1/p2 = ∂x1

∂p₂ p2

x₁

= −0,5R²

(2p1+ 0,5p2−0,2p3)²

p2(2p1+ 0,5p2−0,2p3) R²

= −0,5p2x1

R²

Cette ´elasticit´e est de signe n´egatif. La demande du bien X1 diminue donc quand le prix du bienX2 augmente de 1%. On peut donc voir que le bienX2

est un bien compl´ementaire au bien X1 qui est non iso´elastique.

On calcule l’´elasticit´e crois´ee du bien X1 par rapport au bien X3 : ex1/p3 = ∂x1

∂p3

p3

x1

= 0,2R²

(2p1+ 0,5p2−0,2p3)²

p3(2p1+ 0,5p2−0,2p3) R²

= 0,2p3x1

R²

Cette ´elasticit´e est de signe positif. La demande du bien X1 augmente avec le prix du bien X3 varie de 1%. X1 est donc un substitut deX3, de fa¸con non iso-´elastique.

Exercice 4

Les pr´ef´erences d’un consommateur sont repr´esent´ees par la fonction d’utilit´e suivante :

U(x1, x2) = 6x^0,25₁ x^0,75₂

a. Les fonctions de demande des biens

On suppose en g´en´eral que le consommateur cherche `a maximiser sa fonction d’utilit´e sous contrainte budg´etaire. On sait en plus que sa fonction d’utilit´e atteint son maximum, ´etant donn´ee sa contrainte budg´etaire quand le taux marginal de substitution est ´egale au rapport des prix.

Le contraite budg´etaire du consommateur s’´ecrit : p₁x₁+p₂x₂ ≤R

A l’optimum, cette contrainte est satur´ee. C’est-`a-dire que le consommateur va d´epenser la totalit´e de son revenu dans la consommation des biens. L’op- timum se trouve donc sur la droite de budget, qui est :

p1x1+p2x2 =R

On sait en outre qu’`a l’optimum, le taux marginal de substitution est ´egal au rapport des prix. Ceci nous donne :

T MS = p1

p₂

∂U(x1, x2/∂x1

∂U(x1, x2/∂x2

= p1

p2

6×0,25x⁻₁^0,75x^0,75₂ 6×0,75x^0,25₁ x^−0,25₂ = p₁

p2

x2

3x₁ = p1

p₂ p2x2 = 3p1x1

Sachant que le panier optimum se trouve sur la droite de budget, il suffit de

rapporter cette ´equation sur dans la droite de budget, ce qui nous donne : p1x1+ 3p1x1 =R

x^∗₁ = R 4p1

De la mˆeme fa¸con, on aura : 1

3p2x2 +p2x2 =R x^∗₂ = 3R

4p2

On constate que le prix du bien 1 n’aura pas d’impact direct sur le prix du bien 2 pour ce consommateur, et vice-versa. Les deux biens ne sont ni des biens concurrents, ni des biens compl´ementaires.

b. Elasticit´ e revenu du bien 1

On calcule l’´elasticit´e revenu du bien 1 qui est d´efini comme suit : ex1/R = ∂x1

∂R R x₁

= 1

4p1

R x1

= 1 >0

On voit donc que le bien 1 est un bien normal/superieur car l’´elasticit´e revenu de ce bien est positive. En effet, ceci indique la demande de bien 1 augmente lorsque le revenu du consommateur augmente. C’est un bien dont la demande est iso´elastique.

c. Elasticit´ e prix du bien 2

L’´elasticit´e prix du bien 2 est donn´e par ex2/p2 = ∂x2

∂p2

p2

x2

= −3R 4p²₂

p2

x2

= −1<0

On voit que l’´elasticit´e prix du bien 2 est n´egative, ce qui implique que la demande de bien 2 diminue suite `a une augmentation du prix de bien 2.

Le bien 2 est donc un bien de type/ordinaire/normal dont la demande est iso´elastique.

3. L’´ echange

Exercice 1

On a deux consommateurs qui ont les fonctions d’utilit´es suivantes respecti- vement :

UA(q1, q2) = q2

UB(q1, q2) = 2q1+Q2

et les dotation initiales q_A⁰ = (7; 5) et q⁰_B(4; 2).

a. Courbe d’indiff´ erence

De la fonction d’utilit´e de l’agent A on voit que le consommateur est indif- f´erent par rapport au bien 1. Son utilit´e augmente uniquement avec le bien 2.

De la fonction d’utilit´e de l’agent B , on voit que pour ce consommateur, le bien 1 et le bien 2 sont des substituts parfaits. Ce qui compte pour le consommateur, c’est le nombre total des deux biens qu’il consomme.

Les courbes d’indiff´erence pour le consommateur A sont donn´ees par le gra- phique suivant :

q2

q1

UA(7; 5) = 5

Les courbes d’indiff´erence pour le consommateur B sont donn´ees par le gra- phique suivant :

Ici, on voit donc que les utilit´es des agents vont augmenter s’ils ´echangent leurs biens.

q2

q1

UB(4; 2) = 5

b. TMS et rapport de prix

Pour ´etudier ceci, on utilise les r´esultats de la th´eorie du consommateur pr´ec´edement ´etudi´ee. On sait qu’`a l’optimum, le TMS devrait ˆetre ´egal au rapport des prix.

Pour l’agent A, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 s’´ecrit : T MS_2/1^A = U_q^!₁(q1, q2)

U_q^!₂(q1, q2)

= 0

1

= 0

Donc, le consommateur est prˆet `a renoncer `a 0 bien 2 pour augmenter sa consommation du bien 1, tout en restant sur la mˆeme courbe d’indiff´erence.

Le rapport des prix ^p_p¹

2 expriment le taux d’´echange objectif (que le consom- mateur obtiendra sur le march´e) du bien 1 par rapport au bien 2. Donc, si

p1

p2 > T MS_2/1^A alors le consommateur A a int´erˆet d’´echanger, car il obtient plus de bien 2 par rapport `a ce qu’il est prˆet `a renoncer pour l’obtenir. Le

consomateur A est un demandeur de bien 2 et un offreur de bien 1.

Pour le consommateur B, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 est : T MS_2/1^B = U_q^!₁(q1, q2)

U_q^!₂(q1, q2)

= 2

= 21

Donc pour augmenter sa consommation d’une unit´e de bien 1, le consomma- teur B est prˆet `a renoncer `a 2 unit´es de bien 2. On a de la mˆeme fa¸con,

• si ^p_p¹₂ >2, alors le consommateur B devrait renoncer `a plus de 2 unit´es de bien 2 contre 1 unit´e suppl´ementaire de bien1 : il n’a pas int´erˆet a renoncer

`a la consommation du bien 2. Il est donc demandeur du bien 2 et offreur du bien 1 pour ces prix.

• si ^p_p¹₂ > 2, alors pour obtenir 1 unit´e suppl´ementaire du bien 1, il devrait renoncer `a moins de bien 2 qu’il est prˆet `a le faire. Donc il a int´erˆet `a renoncer `a la consommation du bien 2 pour augmenter sa consommation de bien 1. Pour ces prix, le consommateur B est demandeur de bien 1 et offreur du bien 2.

c. Int´ erˆ et ` a l’´ echange

On a vu que

• le consommateur Aest un offreur de bien 1 et un demandeur de bien 2. Si le rapport des prix est tel que ^p_p¹

2 >0, il aura plus de bien 2 et il sera plus satisfait.

• le consommateur B est prˆet `a renoncer `a du bien 2 pour augmenter sa consommation de bien 1 si ^p_p¹

2 <2. Il augmentera ainsi son niveau d’utilit´e.

En revanche, si ^p_p¹

2 >2, alors il pr´ef`ere augmenter sa consommation de bien 2 et diminuer sa consommation du bien 1. Son niveau d’utilit´e sera plus grand dans ce cas.

Ces 2 agents ont int´erˆet `a ´echanger si 2 > <sup>p</sup><sub>p</sub><sup>1</sup><sub>2</sub> > 0. Les deux agents gagnent alors en niveau d’utilit´e par rapport `a la consommation de leurs paniers initiaux. On voit que d`es lors les TMS sont diff´erents. Les agents `a int´erˆet `a

´echanger.

En revanche, si ^p_p¹

2 >2, les deux agents sont demandeurs de bien 2 et offreurs du bien 1. Il n’y a aucun ´echange possible.

d. Les diff´ erents paniers

Au prix p = (1; 1), on est dans la fourchette o`u les deux agents `a int´e- rˆet `a ´echanger. Le consommateur A est demandeur de bien 2 alors que le consommateur B est offreur du bien 2 et demandeur du bien 1. Il y aura donc ´echange.

Au prix p = (6; 2), le rapport de prix est de 3. A ce prix, les deux agents sont des demandeurs de bien 2 et offreurs de bien 1. Il n’y aura donc pas d’´echange, car les deux agents n’ont pas de gain `a tirer de l’´echange.

On voit donc quel’´echange peut avoir lieu si et seulement si elle augmente les utilit´es des deux agents.

Exercice 1**

On a ici une ´economie form´e de 2 agents et 2 biens. L’agent 1 et 2 ont la fonction d’utilit´e suivante :

U1(qx, qy) = 3qy

U2(qx, qy) = 5qx

Les agents sont dot´es initialement de ¹₂ de chaque bien.

a. Tracer les courbes d’indiff´ erence dans la boˆıte d’Ed- geworth

On remarque d’abord que les fonctions d’utilit´e de chaque agent ne dependent que d’un seul bien. Ainsi l’agent 1 est neutre au bien x et l’agent 2 est neutre au bien y. Les courbes d’indiff´erence vont ˆetre des lignes, horizontales ou verticales.

La boˆıte d’Edgeworth est un outil graphique permettant de repr´esenter les dotations et les pr´ef´erences de 2 agents afin d’´etudier les diff´erents r´esultats de l’´echange.

Uneallocation est une paire de paniers de consommation. Une allocation est dite r´ealisable si la quantit´e totale consomm´ee de chaque bien est ´egale `a la quantit´e totale disponible. Ici la quantit´e totale disponible

• de bien x est ¹₂ +¹₂ = 1

• de bien y est ¹₂ +¹₂ = 1

Donc l’ensemble des allocations r´ealisables est carat´eris´e par q_x¹, q_x², q_y¹, q_y² tel que

• q_x¹+q_x² = 1

• q_y¹+q_y² = 1

La «taille»de la boˆıte d’Edgeworth est d´etermin´ee donc par les quantit´es disponibles de chaque bien dans l’´economie.

qy

q_x

Agent 1

Agent 2

Dotation initiale

C

E

b. Allocation initiale Par´ eto optimal ?

Une allocation est dite Par´eto optimale s’il n’existe pas d’autre allocation r´ealisable qui am´eliore le bien-ˆetre d’un agent sans d´et´eriorer le bien-ˆetre des autres agents. On rappelle que si les taux marginal de substitution de tous les agents sont ´egaux, alors l’allocation est Par´eto optimale dans le cas des pr´ef´erences normales.

Dans cet exercice, les agents n’ont pas de pr´ef´erences normales (i.e. pr´ef´e- rences convexes). En effet, il est facile de constater que pour l’agent 1, le T MS_q¹_2,q1 est ´egal `a 0, alors que celui de l’agent 2 est +∞. Il n’est donc pas possible d’appliquer le crit`ere de l’´egalit´e des TMS pour v´erifier l’optimalit´e d’une allocation ici.

On voit que l’agent 1 ne se soucie que du bienyalors que l’agent 2 ne se soucie que de bien x. Donc tout transfert de bien yde l’agent 2 permet d’am´eliorer le niveau d’utilit´e de l’agent 1, sans que le niveau d’utilit´e se d´et´eriore pour l’agent 2. De la mˆeme fa¸con, tout transfert de bienxde l’agent 1 vers l’agent 2 permet d’augmenter le niveau d’utilit´e de l’agent 2, sans que le niveau d’utilit´e de l’agent 1 en soit d´et´eriorer. Donc tout ´echange du bien x contre le bienyentre les deux agents permet d’am´eliorer le niveau d’utilit´e des deux agents simultan´ement. On en d´eduit que l’allocation initiale des biens n’est pas Par´eto optimale.

c. Courbe des contrats

La courbe des contrats est l’ensemble des allocations qui sont optimales au sens de Par´eto dans une boˆıte d’Edgeworth. Cette appelation d´ecoule de l’id´ee que tous les contrats finaux r´esultant du processus d’´echange doivent ˆetre situ´es dans le’n ensemble de Pareto, car si ce n’est pas le cas, alors il est possible d’exploiter encore des gains des ´echanges.

Dans notre cas, on peut facilement reprendre le raisonnement entam´e pr´e- c´edemment. Il est facile `a voir que seul le point C en haut `a gauche de la boˆıte d’Edgeworth peut ˆetre optimal au sens de Pareto. L’agent 1 consomme alors 1 unit´e de bien y et l’agent 2 consomme une unit´e de bien x. Ce point constitue donc la courbe des contrats.

d. Allocation concurentielle et rapport d’´ echange

L’allocation concurrentielle est l’allocation telle que la quantit´e totale que les agents d´esirent acheter ou vendre aux prix en vigueur est ´egale `a la quantit´e totale disponible. Le rapport d’´echange concurrentiel ou le prix de march´e, est alors l’ensemble de prix tel que chaque consommateur choisisse, parmi les paniers accessibles, celui qu’il pr´ef`ere et que les choix de tous les consomma- teurs soient compatibles dans le sens o`u la demande est ´egale `a l’offre sur chaque march´e.

Ici le seul point d’´equilibre est le point C indiqu´e ci-dessus. Le rapport de prix d’´equilibre est donn´e par la pente du segment CE, qui est ´egale `a 1.

Exercice 2**

a. TMS pour les diff´ erents dotations des biens

On note pour l’agent i, sa dotation de bien (q₁ⁱ, qⁱ₂),i=A, B. Pour un agent i, i=A, B, le T MS_2,1ⁱ est donn´e par le rapport des utilit´es marginales :

T MS_2,1ⁱ (q₁ⁱ, qⁱ₂) = U_q^!_1,i(q1, q2) U_q^!_2,i(q1, q2)

= qⁱ₂ qⁱ₁

b. Montrer l’´ egalit´ e des rapports d’allocation optimale

On va ´ecrire les dotationsq1 etq2 qui sont r´eparties entre les deux individus : q1 = q₁^A+q₁^B

q2 = q₂^A+q₂^B

Donc la somme des dotations en diff´erents biens entre les deux individus est

´egale `a la ressource disponible dans l’´economie.

On sait en plus qu’`a l’optimum, il faut que le TMS des deux individus soient

´egaux (sinon ils auraient avanatge `a convenir d’un troc entre les biens) : T MS<sub>2,1</sub><sup>A</sup> =T MS<sub>2,1</sub><sup>B</sup> , d’o`u on a

q₂^A q₁^A = q^B₂

q^B₁

On sait en plus que lorsque deux fractions sont ´egales, elles sont ´egales `a la fraction obtenue en additionnant les numerateurs et les d´enominateurs. Par exemple si

2 3 = 4

6 alors

2 3 = 4

6 = 2 + 4 3 + 6 = 6

9

Il en r´esulte donc

q₂^A

q₁^A = q₂^B q₁^B

= q₂^A+q₂^B q₁^A+q₁^B

= q₂ q

c. Repr´ esentation graphique

q₁

q₂ 60

6 Agent A

Agent B

la ligne des optima de Pareto

d. Utilit´ e de l’agent B=49

Ici, on cherche `a d´eterminer le niveau d’utilit´e de l’agent A quand le niveau d’utilit´e de l’agent B est ´egal `a 49. La dotation (q^B₁, q^B₂) qui procure un niveau d’utilit´e 49 est donc

49 = q^B₁q₂^B Or on sait en plus qu’`a l’optima on a

q₂^B = q₂ q1

q^B₁ Donc on en d´eduit que

q2

q1

(q₂^B)¹ = 49 q₁^B= 7

!q1

q2

Les dotations de l’agent A sont alors :

q₁^A = q1 −q₁^B q₂^A = q2 −q₂^B

d’o`u l’utilit´e de l’agent A `a l’optimum : UA = q₁^Aa^A₂

= (q1−q₁^B)(q2−q₂^B)

= (q2−7

!q1

q2

)(q2− q2

q1

q₁^B)

e. D´ eterminer l’allocation Par´ eto optimale parmi les al- locations

Pour calculer le niveau d’utilit´e de A pour les trois allocations, et tel que le niveau d’utilit´e de l’agent B est ´egal `a 49, on a employ´e successivement les formules calcul´ees ci-dessus :

q₁^B = 7

!q₁ q2

q₂^B = q2

q1

q₁^B q₁^A=q1−q₁^B q₂^A=q2−q₂^B U_A=q^A₁q₂^A

Le tableau suivant retrace les calculs num´eriques :

q1/q2 q^B₁ q^B₂ q₁^A q₂^A UA env.

Cas I 0,0476 1,53 32,13 2,47 51,87 128

Cas II 0,5 3,5 14,0 4,5 18 81

Cas III 0,1 2,21 22,14 3,79 37,86 143

Le cas II est ´evidemment la solution optimale permettant `a l’individu B un niveau d’utilit´e de 49. Le niveau d’utilit´e de l’individu A est alors d’environ 143.

4. La firme n´ eoclassique, technologie, contraintes techniques et les coˆ uts

Exercice 1*

On consid`ere une entreprise et deux facteurs de production : le travail not´e L et le capital not´eK, les deux mesur´es en heures d’utilisation. On a dans le tableau le volume produits pour certaines valeurs d’utilisation des facteurs.

a. Productivit´ e marginale du travail,K=10

On appelle la productivit´e marginale du travail le suppl´ement d’output ob- tenu par unit´e additionnelle de travail. Formellement, on a

∆Q

∆L = f(L+ ∆L, K)−f(L, K))

∆L

Dans l’exercice, en consid´erantK = 10, quand on passe de 35 `a 36 heures de

travail, le volume produit passe de 149 `a 151, d’o`u P mL(35,10) = 151−149

36−35

= 2

1 = 2

quand on passe de 36 `a 38 heures, le volume produit passe de 151 `a 154, d’o`u P m_L(36,10) = 154−151

2 = 1,5

La productivit´e marginale de travail pour une utilisation de 10 heures de capital quand les heures de travail passent de 35 `a 38 est en moyenne 1,75.

b. Productivit´ e marginale de travail, K=16

Pour une utilisation de 16 heures de capital,

L Q Variation Rapport P mL

31 158 6 8 6

32 166 14 4,66 6,3

35 180 3 3 3,83

36 183 4 2 2,5

38 187 5 1 1,5

42 192

43 193 3 0,75

47 196 2 0,25 0,5

On constate donc que la productivit´e marginale d´ecroit avec le travail. Il s’agit d’une carat´eristique habituelle de la plupart des processus de production.

Notons qu’ici les autres facteurs de production (ici K) sont maintenus `a un niveau constant.

c. Calcul du TMST direct

Le taux marginal de susbtitution technique mesure le taux auquel la firme doit substituer un input par l’autre tout en maintenant constante la quantit´e d’output. Formellement,

T MST(K,L) =−∆L

∆K = P m_K P mL

qui est l’expression du taux de substitution technologique du capital par le travail.

Pour cette exercice, quand on passe de L=38 et K=12 `a L=38 et K=13, le taux marginal de substitution technologique est de

T MST =−∆L

∆K = 2

d. Calcul du TMST par la productivit´ e marginale

On va calculer le TMST `a partir des productivit´es marginales.

Au point L=32 et K=16,

P mL(32,16) = 6,3 P mK(32,16) = 1

2(171−166

1 + 166−162

1 ) = 4,5 T MSTK = 4,5

6,3 = 0,7

Pour rester sur la mˆeme isoquante, on doit substituer 0,7 heures de travail `a 1 heure d’utilisation de capital.

Au point L=36 et K=13,

P mL(36,13) = 1

2(170−166

2 + 166−165

1 ) = 1,5 P mK(36,12) = 1

2(172−166

1 + 166−162 1 ) = 5 T MSTK = 5

1,5 = 3,3

On remarque pour ce couple d’inputs, le niveau d’outputs est de 166 aussi.

Au point L=47 et K=11,

P m_L(47,11) = 1

2(168−166

4 + 166−164

4 ) = 0,5 P mK(47,11) = 1

2(172−166

1 + 166−160 1 ) = 6 T MSTK = 5

1,5 = 12

Auxiliairement, on constate ´egalement une productivit´e marginale du capital d´ecroissante.

On constate que en K=13, il y a un ´ecart sensible entre TMST et le rapport des productivit´es marginales (2-=3,3). Ceci est dˆu au fait les variations ici ne sont pas assez petites pour l’approximation par le calcul des d´eriv´ees.

Au fur et `a mesure que le capital augmente, on constate ´egalement une d´e- croissance de la TMST en K.

e. Graphique

Exercice 2

La fonction de production s’´ecrit Q(K, L) = (3K^0,5+ 2L^0,5)².

a. Productivit´ e moyennes

La productivit´e moyenne d’un facteur est la quantit´e d’outputs en moyenne par unit´e de facteur de production. Il s’agit donc de mesurer combien d’out- puts en moyenne 1 unit´e de facteur de production peut produire. Il suffit donc de diviser la quantit´e totale produite par la quantit´e totale de facteur

utilis´e. La productivit´e moyenne du travail est donc, P Mo_L= Q(K, L)

L = (3K^0,5+ 2L^0,5)² L

De la mˆeme fa¸con, la productivit´e moyenne du capital est donc, P Mo_K = Q(K, L)

K = (3K^0,5+ 2L^0,5)² K

b. Productivit´ es marginales

La productivit´e marginale d’un facteur est le suppl´ement de quantit´e produite suite `a une unit´e suppl´ementaire de ce facteur utilis´e dans la production.

C’est donc, si on passe `a la limite, la d´eriv´ee de la fonction de production par rapport `a ce facteur. Ainsi la productivit´e marginale du travail est

P mL = ∂Q(K, L)

∂L

= 2L^−0,5(3K^0,5+ 2L^0,5)

De la mˆeme fa¸con, la productivit´e marginale du capital est P mL = ∂Q(K, L)

∂L

= 3K^−0,5(3K^0,5+ 2L^0,5)

c. Rendement d’´ echelle

Le rendement d’´echelle mesure de combien la quantit´e produite va ˆetre mul- tipli´ee si on multiple par la mˆeme proportion tous les facteurs de production.

Si le niveau d’outputs double quand les inputs ont doubl´e, alors on parle de

rendements d’´echelle constants. Si le niveau d’outputs font plus que doubler quand tous les inputs ont doubl´e, alors on parle de rendements d’´echelle crois- sants. Pour ´etudier le rendement d’´echelle de cette fonction de production, supposons qu’on multiple par λ le capital et le travail, o`uλ >1 :

Q(λK, λL) = [3(λK)^0,5+ 2(λL)^0,5]²

= [3λ^0,5K^0,5+ 2λ^0,5L^0,5]²

= [λ^0,5(3K^0,5+ 2L^0,5)]²

= λ(3K^0,5+ 2L^0,5)²

= λQ(K, L)

On voit que la technologie est caract´eris´ee par des rendements d’´echelle constants.

d. TMST

On peut facilement calculer le TMST `a partir de productivit´es marginales : T MSTK = P mL

P mK

= 2K^0,5 3L^0,5

On note qu’ici, qu’on a ce qu’on appelle une fonction CES, qui a la forme g´en´erale suivante :

f(K, L) = (αK^ρ+βL^ρ)^1/ρ

avec α > 0, β > 0 et ρ < 1. Ce type de fonction est caract´eris´ee par le fait qu’elles sont homog`enes de degr´e 1 (rendements d’´echelle constants) et qu’elles ont une ´elasticit´e de substitution constante.

Exercice 3

On pr´etend parfois qur la profession de taxi est une activit´e `a rendements constants. L’output de l’activit´e : le nombre de kilom`etres par jour (par exemple). L’input de l’activit´e : conducteur de taxi (travail), voiture On voit donc qu’en augmentant les inputs dans la mˆeme proportion, on voit que l’output produit va augmenter dans la mˆeme proportion. Ainsi, cette activit´e est caract´eris´ee par des rendements d’´echelles constants. En effet, si on augmente D’une unit´e voiture et chaffeur, a priori on est capable de doubler le nombre de kilom`etres des trajets par jours.

Exercice 4

L’investissement n´ecessaire `a la r´ealisation d’une capacit´e de production dans une fourchette [500; 100] est d´efini par la relation :

I = 10000X^0,7

a. Graphique et le coˆ ut marginal de l’investissement

Graphiquement, on peut repr´esenter cette relation comme suivante :

I

500 X

Le coˆut marginal de l’investissement est donn´e par l’expression : Im(X) = ∂I(X)

∂X

= ∂aX^b

∂X

= abX^b−1

On peut d`es lors calculer l’investissement de son coˆut marginal pour les va- leurs respectives de 500 et 1000. Pour un niveau de capacit´e de 500, l’inves- tissement n´ecessaire est de :

I(500) =a(500)^b = 7,75×10⁵ et le coˆut marginal est alors :

Im(500) =abX^b−1 = 1,085×10³

Pour un niveau de capacit´e de 1000, l’investissement n´ecessaire est alors : I(1000) = a(1000)^b = 1,259×10⁶

et le coˆut marginal est alors :

Im(1000) = abX^b−1 = 881,248

On voit donc qu’au fur et `a mesure que la capacit´e augmente, le niveau d’in- vestissement n´ecessaire augmente ´egalement. Le coˆut marginal d’investisse- ment diminu au fur et `a mesure. Le coˆut marginal de l’investissement est d´ecroissant : une augmentation de l’investissement va augmenter la capacit´e de production `a une taux d´ecroissant.

b. Effets d’apprentissage

On consid`ere une activit´e dans laquelle les effets d’apprentissage conduisent

`a une reduction de la quantit´e de travail n´ecessaire `a la production d’un bien donn´e, d’autant plus important que le nombren de ce bien, d´ej`a produit, est

´elev´e. Cet effet d’apprentissage se traduit par la relation suivante : hn=h1(n)^b

o`uhn repr´esente la quantit´e d’heures de travail pour la production de l’unit´e n.

On cherche la valeur de b telle que le doublement de la quantit´e produite se traduit par une baisse de 20% de la quantit´e de travail n´ecessaire par unit´e. Sans effets d’apprentissage, pour produire en total 2n unit´es, il faut 2nh1 unit´e de travail. Aves l’effet d’apprentissage, en produisant 2n unit´e en totale, la quantit´e de travail n´ecessaire est alorsh1(2n)^b. A 20% d’´economies, on a donc :

0,8×h1 = h1(2)^b b = ln 0,8 ln 2

= −0,322

De fa¸con g´en´eral, pour une ´economie de (1−k) en terme d’heures de travail li´ee `a des effets d’apprentissage, on a :

b(k) = lnk ln 2

c. Loi de progr` es ` a 80%

Avec une ´economie de 20%, il faudra pour l’unit´e n = 10, une quantit´e de travail h(10,−0,322) = 4,76·10⁴.

Exercice

On a une fonction de coˆut qui s’´ecrit

C(Q) =Q²+ 3Q+ 20 avec Q le volume produit.

a. Allure des coˆ uts

De la forme de la fonction de coˆut, on pourra d´ej`a en d´eduire que la courbe du coˆut total sera croissante et convexe. La courbe de coˆut marginal est croissante et lin´eaire, alors que la courbe de coˆut variable moyen est, elle aussi, lin´eaire. En ce qui concerne la courbe du coˆut moyen de long terme, elle sera en forme de U.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

Q Coˆut

b. Les autres coˆ uts

Le coˆut marginal est alors

Cm(Q) = ∂CT(Q)

∂Q = 2Q+ 3

Le coˆut moyen est donn´e par

CM(Q) = CT(Q)

Q =Q+ 3 + 20 Q

Le coˆut variable total est

CV T(Q) =Q²+ 3Q

Le coˆut variable moyen est alors

CV M(Q) =Q+ 3

On voit donc le coˆut marginal est bien croissant. Il coupe la courbe de coˆut moyen de long terme au point o`u ce dernier est minimum. Il en est de mˆeme en ce qui concerne le coˆut variable moyen. Le coˆut total moyen est en forme de U car il y a des coˆut fixes. Le coˆut variable moyen, quant `a lui, est croissant.

5. Les coˆ uts de production

Exercice 0

a. Coˆ ut moyens et marginaux de long terme

Le coˆut moyen (coˆut unitaire) est le coˆut total de production divis´e par la quantit´e totale.

CMo(y) = CT(y) y Qx = 100−8px−9py

o`u px est le prix du bien X etpy est le prix du bien Y.

Le coˆut marginal est le suppl´ement de coˆut de production engendr´e par la production d’une unit´e suppl´ementaire d’output.

Cma(y) = CT(y+ ∆y)

∆y ≈ ∂CT(y)

∂y

Pour cette exercice, on a le tableau suivant :

Production Coˆut Total CMo ∆Q Rapport Cma

0 0 -

32 32 (32)

1 32 32

16 1 24

2 48 24

34 34 25

3 82 27,33

58 58 46

4 140 35

88 88 73

5 228 45,6

124 124 106

6 352 58,67 124

b. Courbes des coˆ uts

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q Coˆut (×10)

On constate donc que

1. le coˆut moyen d´ecroˆıt avant de croˆıtre. La courbe de coˆut moyen est en forme de U.

2. le coˆut marginal est croissant

c. Coˆ ut moyen minimal

Le coˆut moyen de long terme est minimal pour un niveau de production Q= 2.

d. Cma=CMo

Le coˆut marginal de long terme est ´egal au coˆut moyen de long terme pour le niveau de production tel que ce dernier est minimum. Ici, le coˆut marginal de long terme est ´egal au coˆut moyen de long terme pour le niveau de production Q= 2.

Exercice 1

a. Coˆ ut marginal en Q=15

De 14 `a 15, le coˆut augmente de C1 = 800 = 22890−22090. De 15 `a 19, la production augmente de 4 unit´es (=19-15), alors que le coˆut augmente de 3670 = 26560−22890, doncC2 = 3670/4 = 917 environs.

Le coˆut marginal pour Q= 15 peut alors ˆetre estim´e par la moyenne de ces r´esultats, soit 858.

b. Calcul de coˆ uts moyens

Le tableau suivant indique les r´esultats. On note Q le niveau de production, C(Q) le coˆut total, ^∆C_∆Q le coˆut marginal dans les zones interm´ediaires et CM(Q) le coˆut moyen.

Q C(Q) ^∆C_∆Q CM(Q) 14 22090

800 1577

15 22890

917 1526

19 26560

1080 1397

22 29800

1216 1354

25 33700

1310 1338

26 34700

1406 1336

29 38800

1540 1344

32 43800

1640 1362

33 45040

1705 1370

35 48650

1870 1390

40 58000 1450

c. Graphique

Le coˆut moyen est en forme de U, et le coˆut marginal est croissant. Ces deux cas peuvent ˆetre consid´er´es comme ´etant normaux.

Le coˆut moyen est minimum autour deQ= 26. Il coupe visiblement le coˆut marginal dans cette zone, ce qui est absolument g´en´eral.

d. Approximation coˆ ut marginal et coˆ ut fixe

Le coˆut marginal est approximativement lin´eaire. Donc on pourra lui donner une forme approximative qui s’´ecrit :

Cm(Q) =aQ+b

o`u a est la pente de la courbe de coˆut marginal, etb est une constante.

On sait que le pente peut ˆetre estim´ee par a= ∆C

∆Q

Ici, quand le production augmente de 14,5 `a 37,5, le coˆut marginal augmente

de 800 `a 1870, d’o`u le coˆut marginal augmente en moyenne de 1870−800

37,5−14,5 = 46,5 par unit´e suppl´ementaire de produit.

On a donc

Cm(Q) = 46,5Q+b Il reste `a d´eterminer la constante.

On sait de plus que la courbe de coˆut marginal coupe la courbe de coˆut moyen au point o`u le coˆut moyen est minimum. On voit que pour Q= 26, le coˆut moyen est minimum : CM(26) = 1336. Puisque les deux courbes se coupent

`a ce point, on sait qu’au point Q= 26, Cm(26) = 1336. On a donc : Cm(26) = 46,5×26 +b = 1336

⇔b = 126

d’o`u le coˆut marginal est aproximativement donn´e par Cm(Q) = 46,5Q+ 126

Sachant que le coˆut marginal est obtenu en d´erivant la fonction de coˆut total par rapport au quantit´e produite. Il en r´esulte que :

CT(Q) =

"

Q

Cm(x)∂x

= 46,5

2 Q²+ 126Q+c

o`u c est la constante de l’int´egration, ou bien, le coˆut fixe (car le coˆut fixe est la partie du coˆut qui ne d´epend pas de la quantit´e produite).

Pour estimer le coˆut fixe, i.e. la constante de l’int´egration, il suffit de prendre n’importe que niveau de production et de r´esoudre l’´equation qui en r´esulte.

Par exemple, pour Q= 26, le coˆut total est de 34700, d’o`u CT(26) = 23,25×(26)²+ 126×26 +CF = 34700

CF = 16000

Les coˆuts fixes repr´esentent donc environ la moiti´e du coˆut total autour de Q = 26. Cette part consid´erable explique la d´ecroissance du coˆut moyen jusqu’`a cette valeur.

Exercice 2

On a une fonction de coˆut qui s’´ecrit

C(Q) =Q²+ 3Q+ 20 avec Q le volume produit.

a. Allure des coˆ uts

De la forme de la fonction de coˆut, on pourra d´ej`a en d´eduire que la courbe du coˆut total sera croissante et convexe. La courbe de coˆut marginal est croissante et lin´eaire, alors que la courbe de coˆut variable moyen est, elle aussi, lin´eaire. En ce qui concerne la courbe du coˆut moyenne de long terme, elle sera en forme de U.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

Q Coˆut

b. Les autres coˆ uts

Le coˆut marginal est alors

∂CT(Q) 60

Le coˆut moyen est donn´e par

CM(Q) = CT(Q)

Q =Q+ 3 + 20 Q

Le coˆut variable total est

CV T(Q) =Q²+ 3Q

Le coˆut variable moyen est alors

CV M(Q) =Q+ 3

On voit donc le coˆut marginal est bien croissant, et qu’il coupe la courbe de coˆut moyen de long terme au point o`u ce dernier est minimum. Il en est de mˆeme en ce qui concerne le coˆut variable moyen. Le coˆut total moyen est en forme de U car il y a des coˆut fixes. Le coˆut variable moyen, quant `a lui, est croissant.

Exercice 3

Exercice 4

On a une fonction de production CES qui s’´ecrit : Q(K, L) = (2K²+ 2L²)^1/2

Le prix des facteurs est de w= 10 pour le travail et r = 70 pour le capital.

Le coˆut fixe est ´egal `a 30.

L’objectif de cet exercice est de trouver la fonction de coˆut total `a prtir de la fonction de production. On appelle la fonction de coˆut total la fonction qui associe le coˆut minimum pour produire un niveau d’output donn´e.

a. Sentier d’expansion

La fonction de coˆut se d´eduit de l’´equation du sentier d’expansion, de la fonction de production et de l’equation du coˆut.

On sait que l’entreprise cherche `a maximiser son profit. Si elle est price- taker, alors elle va d´eterminer le niveau d’output qui maximiserait son profit.

L’´equation du profit s’´ecrit :

π=pQ−wL−rK−30

Si une entreprise maximise ses profits et choisit un niveau d’output, elle doit minimiser son coˆut de production pour ce niveau d’output. S’il n’en ´etait pas ainsi, alors il existerait une autre fa¸con plus ´economique de produire cette quantit´e d’output, et l’entreprise ne maximise alors pas son profit au d´epart.

Ainsi, pour un niveau d’output donn´e, on sait que le probl`eme de la firme

est de minimiser son coˆut de production :

maxK,L wL+rK + 30 s.t. Q(K, L) =Q

Pour un niveau donn´e de production, et compte tenu des prix des facteurs de production, la firme va choisir la combinaison des facteurs de telle fa¸con que le coˆut de production sera minimum. Cette combinaison optimale est donn´e par l’´egalit´e de la productivit´e marginale des facteurs et le prix de facteur :

pP mL(K, L) =w= 0,5(2K²+ 2L²)^−0,54L pP mK(K, L) = r= 0,5(2K²+ 2L²)^−0,54K

En effet, si la productivit´e marginale de facteur est plus grande que le prix que l’entreprise va payer, alors l’entreprise aura int´erˆet `a en acheter plus.

elle est capable de produire marginalement plus que ce que cette unit´e sup- pl´ementaire de facteur lui coˆute. Dans le cas contraire, elle aura int´erˆet `a diminuer la quantit´e du facteur utilis´ee.

En terme ´equivalent, la quantit´e du travail et de capital utilis´ee optimales pour un niveau de production donn´e est telle que le TMST est ´egale au rapport des prix :

P mK(K, L)

P mL(K, L) = 0,5(2K²+ 2L²)^−0,54K 0,5(2K²+ 2L²)^−0,54L = K

L = 70 10 En d’autres termes, K = 7L. C’est le sentier d’expansion.

b. Fonction de coˆ ut

On a alors, si l’entreprise respecte cette combinaison optimal des facteurs, avec une quantit´e L de travail, l’entreprise est capable de produire :

Q=Q(K(L), L) = [2(7L)²+ 2L²]^0,5 = (98L² + 2L²)^0,5 = 10L

Or, pour un niveau de production donn´e, l’entreprise devrait utiliser L= 0,1Q

quantit´e de travail.

De la mˆeme fa¸con, on trouve

K = 7×0,1Q= 0,7Q

Ainsi, l’´equation du coˆut s’´ecrit :

C(K, L) = wL+rK + 30

Or, sachant que l’entreprise `a combiner de fa¸con optimal le travail et le capital pour un niveau de production donn´e, on a alors la fonction de coˆut suivante :

CT(Q) = C(K(Q), L(Q))

= 70×0,7Q+ 10×0,1Q+ 30

= 50Q+ 30

c. Coˆ ut marginal, moyen

Une fois que la fonction de coˆut est trouv´ee, il est facile de connaˆıtre le coˆut marginal et le coˆut moyen. Le coˆut marginal est tout simplement ici :

Cm(Q) = ∂CT(Q)

∂Q = 50 et le coˆut moyen est

CM(Q) = CT(Q)

Q = 50 +30 Q