etre soigneusement justifi´ ees ; la correction r´ ecompensera la rigueur, pr´ ecision et clart´ e des d´ emonstrations. Les r´ esultats du cours sont suppos´ es connus et peuvent ˆ etre utilis´ es sans d´ emonstration

(1)

Universit´ e Paris Dauphine, L3, Ann´ ee 2016-2017

Examen d’Analyse Complexe

Instructions :

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Toutes les r´ eponses doivent ˆ

etre soigneusement justifi´ ees ; la correction r´ ecompensera la rigueur, pr´ ecision et clart´ e des d´ emonstrations. Les r´ esultats du cours sont suppos´ es connus et peuvent ˆ etre utilis´ es sans d´ emonstration

`

a moins qu’elle soit explicitement demand´ ee. Les seules questions possibles durant l’examen s’adressent au professeur responsable du cours et concernent d’´ eventuelles coquilles dans le su- jet. Si besoin le professeur indiquera alors ` a l’ensemble des ´ el` eves les rectificatifs ` a apporter.

A l’issue de l’examen et au signal donn´ e par le professeur, tous les ´ el` eves doivent imm´ ediatement poser leur stylo, se lever, et rester ` a leur place jusqu’` a ce que les copies aient ´ et´ e ramass´ ees. Il n’y a pas d’exception, et en particulier il n’est pas autoris´ e de remplir nom/pr´ enom des copies intercalaires apr` es la fin de l’´ epreuve.

Question de cours.

1. Pour toute s´ erie enti` ere de terme g´ en´ eral a _n , rappeler la d´ efinition de son rayon de conver- gence R et montrer que R = sup{r, a _n r ⁿ est born´ ee}.

2. D´ efinir l’indice d’un point par rapport ` a un lacet. Calculer explicitement l’indice de 0 par rapport au lacet γ , avec γ(t) = e ^it sur t ∈ [0, 2π]

Exercice 1. Montrer que R 2π 0

dt

3+2 cos(t)+sin(t) = π. On s’attachera ` a ˆ etre le plus pr´ ecis possible dans la r´ edaction concernant d’´ eventuels calculs d’indice.

Exercice 2. Dans tout l’exercice f (z) = P

n≥0 a n z ⁿ est une fonction holomorphe d´ efinie sur C . Les deux parties sont ind´ ependantes.

1. Dans cette question on suppose que |f (z)| ≤ ^e _|z|

^|z|

pour tout z 6= 0.

(a) Montrer que pour tout r > 0 et n ∈ N on a |f ⁽ⁿ⁾ (0)| ≤ _r ^n!e

_n+1^r

.

(b) On rappelle (une forme faible de) la formule de Stirling : il existe une constante M > 0 telle que pour tout n, n! < M √

n(n/e) ⁿ . En choisissant bien r dans la question pr´ ec´ edente, montrer que f ⁽ⁿ⁾ (0) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

2. Dans cette question on suppose que f ⁽ⁿ⁾ (0) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

(a) Soit ε > 0 et N tel que |f ⁽ⁿ⁾ (0)| ≤ ε pour tout n > N . Montrer que pour tout z,

|f (z)| ≤

N

X

n=0

f ⁽ⁿ⁾ (0) n! z ⁿ

+ εe ^|z| .

(b) D´ emontrer que ^|f(z)| _e

|z|

tend vers 0 quand |z| tend vers +∞

1

(2)

Exercice 3. Le but de cet exercice est de d´ emontrer la d´ ecroissance exponentielle des coeffi- cients de Fourier pour une fonction analytique et p´ eriodique. Soit s > 0 et U = R ×] − s, s[=

{z ∈ C tel que Im(z) ∈] − s, s[} . Soit f une fonction de U dans C v´ erifiant les 4 hypoth` eses suivantes :

i) f est holomorphe sur U

ii) f est born´ ee sur U : il existe M > 0 tel que |f (z)| ≤ M pour tout z ∈ U . iii) f est 2π-p´ eriodique : pour tout z ∈ U, f (z + 2π) = f (z)

iv) f est d´ eveloppable en s´ erie de Fourier sur U : il existe une suite c _k , k ∈ Z , telle que pour tout z ∈ U , on ait f (z) = P +∞

k=−∞ c _k exp(ikz)

On admet que les c _k peuvent se calculer de la mani` ere suivante : c _k = _2π ¹ R 2π

0 f (t)e ^−ikt dt.

1. Exemple Dans cette question uniquement, s = 1 et f(z) = e ^iz . V´ erifier que les 4 hypoth` eses sont satisfaites.

2. Pr´ eliminaire Pour tout k on consid` ere sur U la fonction g _k (z) = f(z)e ^−ikz . Montrer que pour tout k ∈ Z, g k est holomorphe et 2π-p´ eriodique.

3. Soit 0 < s ⁰ < s, on consid` ere le chemin γ s

⁰

form´ e des 4 segments [0, 2π], [2π, 2π + is ⁰ ], [2π + is ⁰ , is ⁰ ], [is ⁰ , 0], parcourus une seule fois dans cet ordre(et donc dans le sens trigo- nom´ etrique). Soit k ∈ Z .

(a) Justifier le fait que R

γ

_s0

g _k (z)dz = 0.

(b) Montrer que R

[0,2π] g k (z)dz = 2πc k . (c) Justifier pr´ ecis´ ement pourquoi R

[2π,2π+is

⁰

] g ^(k) (z)dz + R

[is

⁰

,0] g ^(k) (z)dz = 0.

(d) Montrer que R

[2π+is

⁰

,is

⁰

] g _k (z)dz

≤ 2πM e ^ks

⁰

. (e) En d´ eduire que |c _k | ≤ M e ^ks .

(f) Montrer qu’on a ´ egalement |c _k | ≤ M e ^−ks . Indication : trouver un autre chemin judi- cieux sur lequel int´ egrer g _k .

Au final on a donc d´ emontr´ e que |c _k | ≤ M e ^−|k|s : on vient de d´ emontrer la d´ ecroissance exponentielle des coefficients de Fourier avec k en fonction de la largeur d’analyticit´ e s.

4. Application : en d´ eduire qu’une fonction 2π-p´ eriodique analytique et born´ ee sur C est constante (on n’a ´ evidemment pas le droit d’invoquer le th´ eor` eme de Liouville).

5. Question bonus (` a traiter si et seulement s’il vous reste du temps) :

Soit h(z) = 1/(10 − cos z). Donner une majoration explicite des coefficients de Fourier de la fonction h ` a l’aide du travail effectu´ e pr´ ec´ edemment.

Indication : Choisir un domaine sur lequel la fonction h est holomorphe et born´ ee, v´ erifier les hypoth` eses sur h, et d´ eduire un facteur de d´ ecroissance exponentielle des coefficients.

On ne demande absolument pas d’ˆ etre optimal, plusieurs r´ eponses sont possibles.

2

etre soigneusement justifi´ ees ; la correction r´ ecompensera la rigueur, pr´ ecision et clart´ e des d´ emonstrations. Les r´ esultats du cours sont suppos´ es connus et peuvent ˆ etre utilis´ es sans d´ emonstration

Universit´ e Paris Dauphine, L3, Ann´ ee 2016-2017

Examen d’Analyse Complexe

Instructions :

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Toutes les r´ eponses doivent ˆ

etre soigneusement justifi´ ees ; la correction r´ ecompensera la rigueur, pr´ ecision et clart´ e des d´ emonstrations. Les r´ esultats du cours sont suppos´ es connus et peuvent ˆ etre utilis´ es sans d´ emonstration

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Question de cours.

1. Pour toute s´ erie enti` ere de terme g´ en´ eral a n , rappeler la d´ efinition de son rayon de conver- gence R et montrer que R = sup{r, a n r n est born´ ee}.

2. D´ efinir l’indice d’un point par rapport ` a un lacet. Calculer explicitement l’indice de 0 par rapport au lacet γ , avec γ(t) = e it sur t ∈ [0, 2π]

Exercice 1. Montrer que R 2π 0

dt

3+2 cos(t)+sin(t) = π. On s’attachera ` a ˆ etre le plus pr´ ecis possible dans la r´ edaction concernant d’´ eventuels calculs d’indice.

Exercice 2. Dans tout l’exercice f (z) = P

n≥0 a n z n est une fonction holomorphe d´ efinie sur C . Les deux parties sont ind´ ependantes.

1. Dans cette question on suppose que |f (z)| ≤ e |z|

pour tout z 6= 0.

(a) Montrer que pour tout r > 0 et n ∈ N on a |f (n) (0)| ≤ r n!e

.

(b) On rappelle (une forme faible de) la formule de Stirling : il existe une constante M > 0 telle que pour tout n, n! < M √

n(n/e) n . En choisissant bien r dans la question pr´ ec´ edente, montrer que f (n) (0) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

2. Dans cette question on suppose que f (n) (0) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

(a) Soit ε > 0 et N tel que |f (n) (0)| ≤ ε pour tout n > N . Montrer que pour tout z,

|f (z)| ≤

N

X

n=0

f (n) (0) n! z n

+ εe |z| .

(b) D´ emontrer que |f(z)| e

tend vers 0 quand |z| tend vers +∞

1

Exercice 3. Le but de cet exercice est de d´ emontrer la d´ ecroissance exponentielle des coeffi- cients de Fourier pour une fonction analytique et p´ eriodique. Soit s > 0 et U = R ×] − s, s[=

{z ∈ C tel que Im(z) ∈] − s, s[} . Soit f une fonction de U dans C v´ erifiant les 4 hypoth` eses suivantes :

i) f est holomorphe sur U

ii) f est born´ ee sur U : il existe M > 0 tel que |f (z)| ≤ M pour tout z ∈ U . iii) f est 2π-p´ eriodique : pour tout z ∈ U, f (z + 2π) = f (z)

iv) f est d´ eveloppable en s´ erie de Fourier sur U : il existe une suite c k , k ∈ Z , telle que pour tout z ∈ U , on ait f (z) = P +∞

k=−∞ c k exp(ikz)

On admet que les c k peuvent se calculer de la mani` ere suivante : c k = 2π 1 R 2π

0 f (t)e −ikt dt.

1. Exemple Dans cette question uniquement, s = 1 et f(z) = e iz . V´ erifier que les 4 hypoth` eses sont satisfaites.

2. Pr´ eliminaire Pour tout k on consid` ere sur U la fonction g k (z) = f(z)e −ikz . Montrer que pour tout k ∈ Z, g k est holomorphe et 2π-p´ eriodique.

3. Soit 0 < s 0 < s, on consid` ere le chemin γ s

form´ e des 4 segments [0, 2π], [2π, 2π + is 0 ], [2π + is 0 , is 0 ], [is 0 , 0], parcourus une seule fois dans cet ordre(et donc dans le sens trigo- nom´ etrique). Soit k ∈ Z .

(a) Justifier le fait que R

γ

g k (z)dz = 0.

(b) Montrer que R

[0,2π] g k (z)dz = 2πc k . (c) Justifier pr´ ecis´ ement pourquoi R

[2π,2π+is

] g (k) (z)dz + R

[is

,0] g (k) (z)dz = 0.

(d) Montrer que R

[2π+is

,is

] g k (z)dz

≤ 2πM e ks

. (e) En d´ eduire que |c k | ≤ M e ks .

(f) Montrer qu’on a ´ egalement |c k | ≤ M e −ks . Indication : trouver un autre chemin judi- cieux sur lequel int´ egrer g k .

Au final on a donc d´ emontr´ e que |c k | ≤ M e −|k|s : on vient de d´ emontrer la d´ ecroissance exponentielle des coefficients de Fourier avec k en fonction de la largeur d’analyticit´ e s.

4. Application : en d´ eduire qu’une fonction 2π-p´ eriodique analytique et born´ ee sur C est constante (on n’a ´ evidemment pas le droit d’invoquer le th´ eor` eme de Liouville).

5. Question bonus (` a traiter si et seulement s’il vous reste du temps) :

Soit h(z) = 1/(10 − cos z). Donner une majoration explicite des coefficients de Fourier de la fonction h ` a l’aide du travail effectu´ e pr´ ec´ edemment.

Indication : Choisir un domaine sur lequel la fonction h est holomorphe et born´ ee, v´ erifier les hypoth` eses sur h, et d´ eduire un facteur de d´ ecroissance exponentielle des coefficients.

On ne demande absolument pas d’ˆ etre optimal, plusieurs r´ eponses sont possibles.

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1. Pour toute s´ erie enti` ere de terme g´ en´ eral a _n , rappeler la d´ efinition de son rayon de conver- gence R et montrer que R = sup{r, a _n r ⁿ est born´ ee}.

2. D´ efinir l’indice d’un point par rapport ` a un lacet. Calculer explicitement l’indice de 0 par rapport au lacet γ , avec γ(t) = e ^it sur t ∈ [0, 2π]

n≥0 a n z ⁿ est une fonction holomorphe d´ efinie sur C . Les deux parties sont ind´ ependantes.

1. Dans cette question on suppose que |f (z)| ≤ ^e _|z|

(a) Montrer que pour tout r > 0 et n ∈ N on a |f ⁽ⁿ⁾ (0)| ≤ _r ^n!e

n(n/e) ⁿ . En choisissant bien r dans la question pr´ ec´ edente, montrer que f ⁽ⁿ⁾ (0) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

2. Dans cette question on suppose que f ⁽ⁿ⁾ (0) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

(a) Soit ε > 0 et N tel que |f ⁽ⁿ⁾ (0)| ≤ ε pour tout n > N . Montrer que pour tout z,

f ⁽ⁿ⁾ (0) n! z ⁿ

+ εe ^|z| .

(b) D´ emontrer que ^|f(z)| _e

iv) f est d´ eveloppable en s´ erie de Fourier sur U : il existe une suite c _k , k ∈ Z , telle que pour tout z ∈ U , on ait f (z) = P +∞

k=−∞ c _k exp(ikz)

On admet que les c _k peuvent se calculer de la mani` ere suivante : c _k = _2π ¹ R 2π

0 f (t)e ^−ikt dt.

1. Exemple Dans cette question uniquement, s = 1 et f(z) = e ^iz . V´ erifier que les 4 hypoth` eses sont satisfaites.

2. Pr´ eliminaire Pour tout k on consid` ere sur U la fonction g _k (z) = f(z)e ^−ikz . Montrer que pour tout k ∈ Z, g k est holomorphe et 2π-p´ eriodique.

3. Soit 0 < s ⁰ < s, on consid` ere le chemin γ s

form´ e des 4 segments [0, 2π], [2π, 2π + is ⁰ ], [2π + is ⁰ , is ⁰ ], [is ⁰ , 0], parcourus une seule fois dans cet ordre(et donc dans le sens trigo- nom´ etrique). Soit k ∈ Z .

g _k (z)dz = 0.

] g ^(k) (z)dz + R

,0] g ^(k) (z)dz = 0.

] g _k (z)dz

≤ 2πM e ^ks

. (e) En d´ eduire que |c _k | ≤ M e ^ks .

(f) Montrer qu’on a ´ egalement |c _k | ≤ M e ^−ks . Indication : trouver un autre chemin judi- cieux sur lequel int´ egrer g _k .

Au final on a donc d´ emontr´ e que |c _k | ≤ M e ^−|k|s : on vient de d´ emontrer la d´ ecroissance exponentielle des coefficients de Fourier avec k en fonction de la largeur d’analyticit´ e s.