Trigonom´ etrie et fonctions trigonom´ etriques
I - Mesure d’un angle en radians
α
O A
M
+
−
• Un cercle trigonom´etrique est un cercle de rayon 1 orient´e.
•Sur un cercle trigonom´etrique, la longueur de l’arc
⌢
AM est la mesure en radian de l’angle α :
AOM\ =
⌢
AM=α radians
× π 180
α (deg) 0 45 60 90 135 180 270 360 -60 -120
α (rad)
× 180
π
Sur un cercle re rayon R, si AOM\ =α rad, alors
⌢
AM=Rα.
Si
⌢
AM=α, alors
⌢
AM=α+ 2π≡α+ 4π≡ · · · ≡α−2π ≡α−4π≡. . .. On note
⌢
AM≡α [2π], ou
⌢
AM=α+k2π, k∈ZZ.
Propri´et´e • On appelle mesures de l’angle orient´e AOM\ = −→OA,−−→OM
tous les r´eels de la forme α+k2π, k∈ZZ.
• On appelle mesure principale de l’angle (~u, ~v) = α+k2π, k ∈ ZZ, la mesure de l’angle dans l’intervalle ]−π;π].
Exercice 1 Donner la mesure principale de :
• −5π
4 • 11π
4 • −11π
4 • −13π
4 • 27π
4 • 2005π
4 • 37π
6 • 178π
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II - Trigonom´ etrie
1) Cosinus et sinus d’un angle
D´efinition Soit x ∈IR et M le point du cercle trigonom´etrique tel que x soit une mesure de l’angle orient´e
~i,−−→OM .
Le cosinus, not´e cosx, de x est l’abscisse de M; son sinus, not´e sinx, est son ordonn´ee.
O 1
1
• M
x
cosx sinx
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Valeurs remarquables
x 0 π
6
π 4
π 3
π
2 π
sinx 0 1
2
√2 2
√3
2 1 0
cosx 1
√3 2
√2 2
1
2 0 -1
α O
M
cosα sinα
Propri´et´e Pour tout r´eel α :
• cos2α+ sin2α= 1
• −16sinα6 1 ; −16cosα 61
• cos (−α) = cosα; sin (−α) = −sinα
• cos (π−α) =−cosα ; sin (π−α) = sinα;
• cos (π+α) =−cosα ; sin (π+α) = −sinα;
• cosπ 2 −α
= sinα ; sinπ 2 −α
= cosα;
• cosπ 2 +α
=−sinα ; sinπ 2 +α
= cosα; Exercice 2 Donner les valeurs exactes de :
cos
−π 3
; sin
−π 3
; cos5π
6 ; sin5π
6 ; cos4π
3 ; sin4π
3 ; cos
−2π 3
; sin
−2π 3
; Exercice 3
1. Soitx∈[0;π] tel que cosx=−1
4. D´eterminer sinx. 2. Soitx∈
hπ 2;πi
tel que sinx= 3
5. D´eterminer cosx.
Exercice4 On posem = sin π
10. Exprimer en fonction dem: sin9π
10; sin11π
10 ; cos4π
10; sin6π 10 Exercice 5 Calculer les expressions suivantes, sans utiliser la calculatrice :
A = sin2π
5 + sin4π
5 + sin6π
5 + sin8π 5 . B = sin3π
8 + sin5π
8 + sin11π
8 + sin13π 8 . C = cos π
10 + cos2π
5 + cos3π
5 + cos9π 10 .
2) Equations trigonom´ etriques
Propri´et´e L’´egalit´e cosα = cosβ ´equivaut `a α=β+k2π ou α=−β+k2π.
L’´egalit´e sinα = sinβ ´equivaut `a α=β+k2π ou α=π−β+k2π. Exemple : cosx= cosπ
3 ⇐⇒ x= π
3 +k2π ou x=−π
3 +k2π Exercice 6
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1. R´esoudre dans IR l’´equation cosx= cosπ 6. 2. R´esoudre dans [0; 2π[ l’´equation sinx = sinπ
6 et repr´esenter ses solutions sur un cerlce trigo- nom´etrique.
3. Donner la mesure principale des solutions de l’´equation cosx=
√2 2 . Exercice 7 R´esoudre dans IR l’´equation : cos
x+ π 6
=
√3 2 . Donner la mesure principale des angles x solutions.
Exercice 8 R´esoudre dans IR l’´equation : 2 sin
2x+π 2
= 1.
Donner la mesure principale des angles x solutions.
Exercice 9 D´eterminer les racines de P(X) = 2X2−X−1.
En d´eduire les solutions de l’´equation : 2 cos2x−cosx−1 = 0.
Exercice 10 R´esoudre dans IR l’´equation : 2 cos2x−3 cosx= 2.
Exercice 11 R´esoudre dans IR l’´equation : 4 sin2
2x+ 5π 6
+ 4 sin
2x+ 5π 6
= 3.
III - Fonctions trigonom´ etriques
D´efinition La fonction cosinus est d´efinie la fonction d´efinie sur IR par x7→cos(x).
La fonction sinus est d´efinie la fonction d´efinie sur IR par x7→sin(x).
Propri´et´e • Pour tout r´eel x, cos(x+ 2π) = cosx et sin(x+ 2π) = sinx.
Les fonctions x7→cosx et x7→sinx sont p´eriodiques de p´eriode 2π.
Les courbes repr´esentatives des fonctions sinus (sinuso¨ıde) et cosinus (cosinuso¨ıde) sont inchang´ees par translation de vecteur 2π~i.
• Pour tout r´eel x, cos(−x) = cosx.
La fonction cosinus est paire, sa courbe repr´esentative admet l’axe des ordonn´ees comme axe de sym´etrie.
• Pour tout r´eel x, sin(−x) =−sinx.
La fonction sinus est impaire, sa courbe repr´esentative admet l’origine du rep`ere comme centre de sym´etrie.
−2π −3π2 −π −π2 O
π
2 π 3π2 2π
y= sinx
−2π −3π2 −π −π2 O
π
2 π 3π2 2π
y = cosx
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Propri´et´e Les fonctions sin et cos sont d´erivables sur IR avec cos′ =−sin et sin′ = cos.
Exercice 12 Calculer la d´eriv´ee de : • f(x) = 3 cos(x) • g(x) = cos3(x)
• h(x) = cos2(x) + sin2(x) •k(x) = cos(2x+ 1) • l(x) = sin
x2−3 x+ 1
Propri´et´e lim
x→0
sinx
x = 1 et lim
x→0
cosx−1 x = 0
D´emonstration: Le taux d’accroissement de la fonction sin en 0 est : τ(h) = sin(0 +h)−sin(0)
h = sin(h)
h La fonction sin est d´erivable sur IR donc aussi en 0, et en a donc,
h→0limτ(h) = lim
h→0
sin(h)
h = sin′(0) = cos(0) = 1 De mˆeme,
x→0lim
cos(h)−cos(0)
h = lim
x→0
cos(h)−1
h = cos′(0) =−sin(0) = 0
Exercice 13 ´Etudier les fonctions d´efinies par les expressions :
f(x) = cosx+xsinx , g(x) =−ln (cosx) , et h(x) = cos
2x+ π 4
.
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