Nombres complexes et trigonom´etrie

Nombres complexes et trigonom´etrie

1 Ensemble des nombres complexes 2

1.1 D´efinition . . . . 2 1.2 Conjugu´e d’un nombre complexe . . . . 2 1.3 Module d’un nombre complexe . . . . 3 2 Nombres complexes de module 1 et trigonom´etrie 5 2.1 Nombres complexes de module 1 . . . . 5 2.2 Application `a la trigonom´etrie . . . . 6

2.2.1 Lin´earisation des puissances de cosinus et sinus . . . . 6 2.2.2 Factorisation par l’angle de l’arc moiti´e . . 7 2.2.3 Calculs de sommes de cosinus et sinus . . . 7 2.2.4 Polynˆomes de Tchebichev . . . . 7 3 Forme trigonom´etrique, argument 8 4 Equations alg´´ ebriques dans C 9 4.1 Racines carr´ees d’un nombre complexe . . . . 9 4.2 Equation du second degr´´ e `a coefficients complexes 10 5 Racines n-i`emes d’un nombre complexe 11 5.1 Racinesn-i`emes de l’unit´e . . . . 11 5.2 Racinesn-i`emes d’un complexe . . . . 12

6 Exponentielle complexe 13

7 Nombres complexes et g´eom´etrie plane 13 7.1 Alignement et orthogonalit´e . . . . 13 7.2 Transformations remarquables du plan . . . . 14 8 Fonctions `a valeurs complexes 14

Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ematiques en sup´erieures PCSI au Lyc´ee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

1 Ensemble des nombres complexes

1.1 D´efinition

D´efinition.

On appelle ensemble des nombres complexeset on noteC, l’ensemble des nombres de la formea+ibo`u aet bsont des r´eels et o`ui un ´el´ement qui v´erifiei²=−1.

Dans cet ensemble, on d´efinit une loi + et une loi ×par :

(a+ib) + (a⁰+ib⁰) = (a+a⁰) +i(b+b⁰) et (a+ib)×(a⁰+ib⁰) = (aa⁰−bb⁰) +i(ab⁰+a⁰b)

Remarque. Rpeut ˆetre vu comme un sous-ensemble deCen identifiantx∈Ravec le nombre complexex+i0.

En particulier, les lois + et×d´efinies surCprolongent l’addition et la multiplication usuelles surR.

Soitz∈C. Alors il existe un unique couple (a, b)∈R² tel que z=a+ib.

Propri´et´e 1

Preuve. En effet si (a, b) et (a⁰, b⁰) sont tels quez=a+ib=a⁰+ib⁰, alors (a−a⁰) =i(b⁰−b). En ´elevant au carr´e, on obtient (a−a⁰)²=−(b⁰−b)², et donca=a⁰ et b=b⁰. D´efinition.

Soitz=a+ib∈C. On dit quez a pour´ecriture alg´ebriquea+ibet on d´efinit:

ˆ asapartie r´eellequ’on noteraRe(z),

ˆ bsa partie imaginairequ’on noteraIm(z).

Si a= 0, on dira quez=ibest imaginaire pure. On noteraiRl’ensemble des imaginaires pures.

(1) Soientz, z⁰∈C. Alors: z=z⁰ ⇔Re(z) =Re(z⁰) et Im(z) =Im(z⁰).

(2) L’applicationf : (a, b)7→z=a+ibr´ealise une bijection deR²surC. Propri´et´e 2

Interpr´etation g´eom´etriqueCette bijection nous permet d’identifier leplan complexeau plan usuel muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,~i,~j) :

On associe `a z=a+ib∈Cun unique pointM du plan de coordonn´ees (a, b), et un unique vecteur~v tel que

~v=a~i+b~j. On dit quez est l’affixedu pointM et du vecteur~v, et on ´ecritM(z) et~v(z).

On notera que, pourA(z) et B(z⁰) deux points du plan, l’affixe du vecteur AB~ estz⁰−z.

Exemple. Soitz=a+ib∈Ctel quea²+b² = 1. Montrer que siz6= 1, alors _1−z^1+z est un nombre imaginaire pur.

1.2 Conjugu´e d’un nombre complexe

D´efinition.

Soitz=a+ib∈C. On appelleconjugu´edezle nombre complexeztel que z=a−ib.

Remarque. Dans le plan complexe, les points images M(z) et M⁰(z) sont donc sym´etriques par rapport `a l’axe (Ox).

Soientz, z⁰ ∈C. Alors:

(1) z=z (2) z+z⁰=z+z⁰ (3) z×z⁰=z×z⁰. En particulier, siz⁰6= 0, alors (_z^z0) = ^z

z⁰ et pour toutα∈R,αz=αz.

Propri´et´e 3

Preuve. On le montre par un calcul direct pour le produit. Le quotient s’en d´eduit alors directement.

Soitz∈C. Alors:

(1) Re(z) = z+z

2 (2) Im(z) =z−z

2i (3) z∈R⇔ z=z (4) z∈iR⇔ z=−z.

Propri´et´e 4

Exemple. Soitz=a+ib∈Ctel que a²+b²= 1.

1. Montrer quez= ¹_z.

2. En d´eduire que siz6= 1, alors ^1+z_1−z ∈iR.

1.3 Module d’un nombre complexe

D´efinition.

Soitz=a+ib∈C. On appellemoduledez le nombre r´eel positif not´e|z|et d´efini par :

|z|=p a²+b².

Remarque. Le module prolonge naturellement la notation de valeur, c’est `a dire que le module d’un nombre r´eel est ´egal `a sa valeur absolue.

Soitz, z⁰∈C. Alors:

(1) |z|= 0⇔z= 0 ;

(2) |Re(z)| ≤ |z| et|Im(z)| ≤ |z|; (3) |z|=|z|;

(4) |zz⁰|=|z||z⁰|, et siz⁰6= 0,|_z^z0|=_|z^|z|0|. Propri´et´e 5

Preuve.

Pour z∈C,zz=|z|². Ainsi siz6= 0, y= z

|z|² v´erifiey×z=z×y= 1. On l’appelle inverse dez.

Propri´et´e 6

Preuve. On ´ecritz=a+ib, avec (a, b)∈R². Alorszz= (a+ib)(a−ib) =a²+b²=|z|². Le reste s’en d´eduit

ais´ement.

Pour toutz₁, z₂∈C,

||z1| − |z2|| ≤ |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

En particulier,|z1+z2|=|z1|+|z2| ⇔z2 = 0 ou∃ α∈ R+, z1 =αz2, c’est `a dire que les points O, M1(z1) et M2(z2) sont align´es sur une mˆeme demi-droite d’origineO.

Propri´et´e 7(in´egalit´e triangulaire)

Preuve. D´emontrons la premi`ere in´egalit´e triangulaire. On a, avec la proposition pr´ec´edente,

|z1+z2|²= (z1+z2)(z1+z2) =z1z1+z1z2+z2z1+z2z2=|z1|²+z1z2+z1z2+|z2|²

=|z₁|²+ 2<(z₁z₂) +|z₂|²≤ |z₁|²+ 2|<(z₁z₂)|+|z₂|²≤ |z₁|²+ 2|z₁z₂|+|z₂|²

≤ |z1|²+ 2|z1| × |z2|+|z2|²≤ |z1|²+ 2|z1| × |z2|+|z2|²= (|z1|+|z2|)². Ainsi, comme la fonction racine carr´ee est croissante, on obtient|z1+z₂| ≤ |z1|+|z2|.

Pour la deuxi`eme in´egalit´e triangulaire, il faut montrer que −|z<sub>1</sub>−z<sub>2</sub>| ≤ |z<sub>1</sub>| − |z<sub>2</sub>| ≤ |z<sub>1</sub>−z<sub>2</sub>|. L’in´egalit´e de gauche ´equivaut `a |z₂| ≤ |z₁−z₂|+|z₁| c’est-`a-dire |z<sub>1</sub>+ (z<sub>2</sub>−z<sub>1</sub>)| ≤ |z<sub>1</sub>|+|z<sub>2</sub>−z<sub>1</sub>|. Cette in´egalit´e est vraie par la proposition pr´ec´edente. L’in´egalit´e de droite ´equivaut `a |z1| ≤ |z1−z2|+|z2| c’est-`e-dire

|z2+ (z1−z2)| ≤ |z2|+|z1−z2|, qui est aussi vraie par la proposition pr´ec´edente. On a donc le r´esultat souhait´e.

Supposons avoir ´egalit´e : |z1+z2|=|z1|+|z2|. On a donc ´egalit´e partout dans les in´egalit´es pr´ec´edente, et Re(z1z2) =|Re(z1z2)|= |z1z2|. Ainsi, Re(z1z2)∈ R+ et Re(z1z2)² =|z1z2|² =Re(z1z2)²+Im(z1z2)² donc Im(z1z2) = 0. Finalement, le nombrez1z2est donc un r´eel positifαet son conjugu´ez2z1aussi. Siz16= 0, alors z2=z2z1z1

|z₁|² = _|z^α

1|²z1, donc en posantλ=_|z^α

1|² ∈R+,z2=λz1.

R´eciproquement, siz₁= 0 ou siz₂=λz₁ avecλ∈R+, on v´erifie facilement qu’on a ´egalit´e.

Interpr´etation g´eom´etrique du module.

Dans le plan complexe, si on noteM(z) ou~v(z), alors|z|repr´esente la distanceOM ou la norme du vecteur~v.

SiM⁰(z⁰) d´esigne un autre point,|z⁰−z|repr´esentera la distanceM M⁰.

L’in´egalit´e triangulaire peut s’interpr´eter g´eom´etriquement de la mani`ere suivante : si z et z⁰ repr´esentent les affixes de deux vecteurs~uet~u⁰ alors : ||~u+~u⁰|| ≤ ||~u||+||~u⁰||.

~i x y

~j

0

~ u

~ u⁰

~u+~u⁰

Le cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e triangulaire correspond au cas o`u les vecteurs~uet u~⁰ sont colin´eaires de mˆeme sens.

Soitω∈Cetr∈R^∗+.

ˆ L’ensemble des pointsM(z) du plan tels que|z−ω|=rest le cercle de centreω et de rayonr.

ˆ L’ensemble des points M(z) du plan tels que|z−ω|< r (resp. |z−ω| ≤r) est le disque ouvert (resp.

ferm´e) de centreω et de rayonr.

disque ouvert (c’est `a dire ne contenant pas les points du cercle) contrairement au disque ferm´e.

2 Nombres complexes de module 1 et trigonom´etrie

2.1 Nombres complexes de module 1

D´efinition.

On appellecercle trigonom´etriqueet on noteUl’ensemble des nombres complexes de module 1 : U={z∈C/|z|= 1}.

Remarque. z∈U⇔z= ¹_z. D´efinition.

Si θest un r´eel, on notee^iθ le nombre complexe d´efini pare^iθ= cosθ+isinθ

Exemples.

ˆ e^2iπ = 1,e^iπ =−1.

ˆ e^iπ2 =i, e^−iπ2 =−i.

(1) Pour toutθ∈R,e^iθ appartient `aU.

(2) Tout nombre complexe de module 1 peut s’´ecriree^iθ o`u θ∈R AinsiU={e^iθ ;θ∈R}.

Propri´et´e 8

Remarque. Le r´eel θest de plus unique si on imposeθ∈[0,2π[ ouθ∈[−π, π[.

Preuve.

(1) Soitθ∈R, alors|e^iθ|²= cos²θ+ sin²θ= 1. Ainsi|e^iθ|= 1 et{e^iθ ;θ∈R} ⊂U.

(2) R´eciproquement, soitz∈U. On ´ecrit zsous la forme a+ibavec (a, b)∈R². Comme|z|= 1,a²+b²= 1.

On a alors a² ≤ 1, donc a ∈ [−1,1]. Or, pour tout x ∈ [−1,1], il existe (un unique) t ∈ [0, π] tel que x=cos(t) (t= arccos(x)).

On en d´eduit que b² = 1−a² = 1−cos²t = sin²t donc b = ±sint. Comme t ∈ [0, π], sint ≥ 0. Si b ≥ 0, b = sint, et on pose θ = t, de sorte que z = cost+isint = e^it. Sinon on pose θ = −t et z=a+ib= cost−isint= cosθ+isinθ=e^iθ. On a doncU⊂ {e^iθ;θ∈R}.

Ainsi,U={e^iθ ;θ∈R}.

(1) ∀θ∈R, e^iθ=e^−iθ

(2) ∀(θ, θ⁰)∈R², e^iθe^iθ0 =e^i(θ+θ0) (3) ∀θ∈R, e^−iθ = 1

e^iθ

(4) ∀(θ, φ)∈R², e^iθ=e^iφ ⇐⇒ θ≡φ [2π]

. Propri´et´e 9

Preuve.

(1) Pour tout r´eel θ, on a : e^iθ= cosθ+isinθ= cosθ−isinθ= cos−θ+isin−θ=e^−iθ.

(2) Consid´erons deux r´eelsθet θ⁰. On a:

e^iθe^iθ0 = (cosθ+isinθ)(cosθ⁰+isinθ⁰) = (cosθcosθ⁰−sinθsinθ⁰) +i(cosθsinθ⁰+ sinθcosθ⁰)

= cos(θ+θ⁰) +isin(θ+θ⁰) =e^i(θ+θ0). (3) On en d´eduit quee^iθe^−iθ=eⁱ⁰= 1, donce^−iθ= _e¹_iθ.

(4) L’´egalit´ee^iθ=e^iφ ´equivaut `ee<sup>i(θ−φ)</sup>= 1. Celle-ci a lieu si et seulement si cos(θ−φ) = 1 et sin(θ−φ) = 0, ce qui revient `e dire queθ−φest un multiple entier en 2π.

Exemple. Exprimer `a l’aide de radicaux cos(₁₂^π) et sin(₁₂^π) en notant que π

12 = pi 3 −π

4. On a d’apr`es la remarque sugg´er´ee :

exp(iπ/12) = exp(iπ/3−iπ/4) = exp(iπ/3) exp(−iπ/4).

Il en r´esulte que :

cos(π/12) +isin(π/12) = 1 2 +i

√3 2

! √ 2 2 −i

√2 2

!

=

√3 + 1 2√

2 +i

√3−1 2√

2 . Par identification, on en d´eduit :

cos(π/12) =

√3 + 1 2√

2 et sin(π/12) =

√3−1 2√

2 .

∀θ∈R, cosθ= e^iθ+e^−iθ

2 et sinθ=e^iθ−e^−iθ 2i Propri´et´e 10(Formules d’Euler)

Preuve. Ces formules sont ´evidentes `a partir de la d´efinition dee^iθ.

Pour θ∈Retn∈Z, (e^iθ)ⁿ =e^inθ ou encore par d´efinition dee^iθ : (cosθ+isinθ)ⁿ = cosnθ+isinnθ Propri´et´e 11(Formule de Moivre)

Preuve. Montrons par r´ecurrence surn∈Nla propri´et´eP(n) : “(e^iθ)ⁿ=e^inθ”.

On a (e^iθ)⁰= 1 =eⁱ⁰ doncP(0) est vraie.

Soitn∈Ntel queP(n) soit vraie. Alors (e^iθ)ⁿ⁺¹= (e^iθ)ⁿe^iθ =e^inθe^iθ(par hypoth`ese de r´ecurrence) =e^i(n+1)θ. Ainsi,P(n+ 1) est vraie.

En conclusion, pour toutn∈N,P(n) est vraie.

Pourn∈Z\N,e^inθ= 1

e^−inθ = 1

(e^iθ)⁻ⁿ = (e^iθ)ⁿ.

2.2 Application `a la trigonom´etrie

2.2.1 Lin´earisation des puissances de cosinus et sinus

IPour lin´eariser une expression trigonom´etrique cos^kxsin^lx(en combinaison lin´eaire de termes en cos(αx) ousin(βx)), on proc`ede comme suit :

(1) On utilise les formules d’Euler pour changer cosxetsinxen termes avece^ix ete^−ix. (2) On d´eveloppe compl`etement, avec le binˆome de Newton.

(3) On regroupe les termes deux `a deux conjugu´es pour reconnaˆıtre des cos(αx)ousin(βx).

Exemples. Lin´eariser cos⁵(x) et cos²(x) sin³(x).

2.2.2 Factorisation par l’angle de l’arc moiti´e

IPour factoriser une expression du typee^iθ+e^iθ0, on pensera `a factoriser par l’angle moiti´e, c’est `a dire par e^iθ+θ

0

2 ) et `a utiliser ensuite la formule d’Euler.

Exemples. Factoriser les expressions suivantes :

ˆ pour t∈R, 1 +e^it;

ˆ pour p, q∈R, cos(p) + cos(q).

2.2.3 Calculs de sommes de cosinus et sinus

ILes nombres complexes sont utiles pour le calcul de sommes de cosinus on sinus car mieux vaut consid´erer des sommes avecexp(iθ)qu’aveccos(θ)ousin(θ)isol´ement.

Exemple. Calculer les sommes

n

P

k=0

cos(kt) et

n

P

k=0

sin(kt) Pourx∈Rnon congru `a 0 modulo 2π,e^ix6= 1 donc on a :

n

X

k=0

cos(kx) +i

n

X

k=0

sin(kx) =

n

X

k=0

e^ikx=

n

X

k=0

(e^ix)^k (par la formule de Moivre)

= 1−e^ix(n+1)

1−e^ix = e^ix(n+1)/2(e^−ix(n+1)/2−e^ix(n+1)/2) e^ix/2(e^−ix/2−e^ix/2)

=e^ixn/2

−2isin_(n+1)x

2

−2isin ^x₂ =e^ixn/2

sin_(n+1)x

2

sin ^x₂

D’o`u

n

X

k=0

cos(kx) =Re(e^ixn/2)

sin_(n+1)x

2

sin ^x₂ = cos(xn/2)

sin_(n+1)x

2

sin ^x₂ et

n

X

k=0

sin(kx) =Im(e^ixn/2)

sin_(n+1)x

2

sin ^x₂ = sin(xn/2)

sin_(n+1)x

2

sin ^x₂ .

2.2.4 Polynˆomes de Tchebichev

IPour transformer cos(nx) ou sin(nx) en un polynˆome en cosou en sin, on proc`ede comme suit : (1) On ´ecritcos(nx) =Re (e^ix)ⁿ

=Re((cosx+isinx)ⁿ) grˆace `a la formule de Moivre.

(2) On d´eveloppe avec le binˆome de Newton.

(3) On ne garde que la partie r´eelle (ou imaginaire dans le cas d’un sinus).

Exemple. Exprimer cos(6x) en fonction de cos(x).

Pourx∈R, on a On a cos(6x) =Re(e^6ix)

=Re((cosx+isinx)⁶)

=Re(cos⁶(x) + 6icos⁵xsin(x)−15 cos⁴(x) sin²(x)−20icos³(x) sin³(x) + 15 cos²(x) sin⁴(x) + 6icos(x) sin⁵(x)−sin⁶(x))

= cos⁶(x)−15 cos⁴(x)(1−cos²(x)) + 15 cos²(x)(1−cos²(x))²−(1−cos²(x))³

= cos⁶(x)−15 cos⁴(x) + 15 cos⁶(x) + 15 cos²(x)−30 cos⁴(x) + 15 cos⁶(x)

−1 + 3 cos²(x)−3 cos⁴(x) + cos⁶(x)

= 32 cos⁶(x)−48 cos⁴(x) + 18 cos²(x)−1

3 Forme trigonom´etrique, argument

Soitz∈C^∗, alors il existe (r, θ)∈R^∗+×Rtel quez=re^iθ. r=|z| etθest unique modulo 2π.

Propri´et´e 12(Forme polaire ou trigonom´etrique)

Preuve. Existence : Commez6= 0, on peut poser z₁= _|z|^z . Comme|z₁|= 1, il existeθ∈Rtel quez₁ =e^iθ. Ainsiz=re^iθ avecr=|z|.

Unicit´e : Si on a (r, r⁰, θ, θ⁰)∈R^∗+×R^∗+×R×R tel quez =re^iθ =r⁰e^iθ0, alorsr =|z| =r⁰, puise^iθ =e^iθ0

doncθ≡θ⁰ [2π].

D´efinition.

On appelleargumentdez∈C^∗tout r´eelθtel que z

|z| =e^iθ. On le note arg(z).

Remarques.

ˆ Le nombreθn’est pas unique.

ˆ Si θ0 est un argument dez∈C^∗, tous les arguments dezsont de la formeθ+ 2kπ,k∈Z.

ˆ Si on imposeθ∈[0,2π[ ouθ∈[−π, π[, θest unique.

ˆ z=z⁰ ⇐⇒

|z|=|z⁰|

arg(z)≡arg(z⁰) [2π]

Interpr´etation g´eom´etrique. Dans le plan complexe, si on noteM(z), alorsArg(z) repr´esente une mesure de l’angle orient´e (~i,−−→

OM).

Et de la mˆeme fa¸con, siM⁰(z⁰) d´esigne un autre point,Arg(z⁰−z) repr´esentera une mesure de l’angle orient´e (~i,−−−→

M M⁰).

Lemme. Si z1=r1e^iθ1 et z2=r2e^iθ2, alors : z1z2=r1r2e^i(θ1+θ2) 1

z1

= 1 r1

e^−iθ1 z2

z1

= r2

r1

e^i(θ2−θ1).

(1) ∀z∈C^∗, arg(z)≡arg(z) [2π] ;

(2) Siz etz⁰∈C^∗, arg(zz⁰)≡arg(z) + arg(z⁰) [2π] ; (3) Siz etz⁰∈C^∗, arg _z^z0

≡arg(z)−arg(z⁰) [2π] ; (4) Siz∈C^∗ etn∈Z, arg(zⁿ)≡narg(z) [2π] ; (5) Siz∈C^∗ , arg(−z)≡π+ arg(z) [2π].

Propri´et´e 13

Soitz∈C^∗. On a:

(1) z∈R⇔Arg(z) = 0 [π] (2) z∈R+⇔Arg(z) = 0 [2π] (3) z∈iR⇔Arg(z) = π 2 [π]

Propri´et´e 14

Exemples. Ecrire les formes trigonom´´ etriques des nombres complexes suivants :

ˆ z=ae^iθ=

(ae^iθ sia >0 (−a)e^i(θ+π) sia <0

ˆ Pour θ∈]−π, π[, z= 1 +e^iθ= 2 cos(θ/2)e^iθ/2 avec cos(θ/2)>0.

ˆ Pour θ∈]0,2π[,z= 1−e^iθ= 2isin(θ/2)e^iθ/2= 2 sin(θ/2)e^i(θ+π)/2 avec sin(θ/2)>0.

Calculer (1 +i)¹⁵¹⁵. (^1515π₄ = 378π+^3π₄)

Si (a, b)∈R²\{(0,0)}, il existe (A, ω)∈R^∗+×Rtel que pour toutt∈R,acost+bsint=Acos(t−ω).

Propri´et´e 15

Preuve. Pour t∈R, on a

acost+bsint=ae^it+e^−it

2 +be^it−e^−it

2i = a−ib

2 e^it+a+ib 2 e^−it. Notonsz= ^a+ib₂ 6= 0 etz=re^iω sa forme polaire (avecr∈R^∗+ et ω∈R), alors

acos(t) +bsint=ze^it+ze^−it=re^−iωe^it+re^iωe^−it=r(e^i(t−ω)+e^−i(t−ω)) = 2rcos(t−ω)

et on a le r´esultat voulu en posantA= 2r.

Remarque. Une telle fonction t 7→ acost+bsint est appel´ee signal sinuso¨ıdal. Physiquement, le r´eel A repr´esente son amplitude, etω sa phase. Comme vu dans la preuve, l’amplitude est le module de a+ibet la phase son argument.

4 Equations alg´´ ebriques dans C

4.1 Racines carr´ees d’un nombre complexe

D´efinition.

On appelle racine carr´ee d’un nombre complexez tout nombre complexeuv´erifiantu²=z.

Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carr´ees oppos´ees.

Propri´et´e 16

Preuve. On ´ecritzsous la formere^iθet on cherche une racine carr´eeudezsous la formese^iβ, avec (r, s)∈R^∗+

et (β, θ)∈R².

Alors u² = z si et seulement si s²e^2iβ = re^iθ si et seulement si

s² = r et 2β ≡θ [2π]

si et seulement si

s=√

retβ≡ ^θ₂ [π]

si et seulement si u=√

re^iθ/2ouu=√

re^i(θ/2+π)=−√ re^iθ/2

. On a donc le r´esultat

voulu.

Remarque. La notation√ est r´eserv´ee aux nombres r´eels positifs.

I Pour d´eterminer l’´ecriture alg´ebrique des racines carr´ees d’un nombre complexe, on proc`edera comme suit : on cherche les racines de z = a+ib sous la forme u = x+iy. L’´equation u<sup>2</sup> = z donne le syst`eme x²−y²=a

2xy=b en identifiant parties r´eelle et imaginaire. On pensera syst´ematiquement `a ajoute l’´equation

|u|²=|z| ⇔x²+y²=√

a²+b² pour trouver les valeurs dex² ety². On prend ensuite les racines carr´ees, en faisant attention aux signes relatifs de xety, donn´e par l’´equation 2xy=b.

Exemples. D´eterminer les racines carr´ees de 1 +i.