Chapitre 4 : Nombres complexes et trigonom´ etrie

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

Programme de colle du 12 au 16 octobre

Semaine 4

Cours.

Chapitre 4 : Nombres complexes et trigonom´ etrie

I. Ensemble des nombres complexes.

(1) D´ efinitions.

(2) Conjugu´ e d’un nombre complexe.

(3) Module d’un nombre complexe.

III. Nombres complexes de module un et trigonom´ etrie.

(1) Nombres complexes de module un (Formule d’Euler et de Moivre).

(2) Applications ` a la trigonom´ etrie (lin´ earisation, calcul de sommes, factorisation, polynˆ omes de Tchebichev).

IV. Forme trigonom´ etrique, argument.

V. ´ Equations alg´ ebriques dans C .

(1) Racines carr´ ees d’un nombre complexe.

(2) ´ Equation du second degr´ e ` a coefficients complexes.

V. Racines n-i` emes d’un nombre complexe.

(1) Racines n-i` emes de l’unit´ e.

(2) Racines n-i` emes d’un nombre complexe.

VI. Exponentielle complexe.

VII. Nombres complexes et g´ eom´ etrie plane.

(1) Alignement et orthogonalit´ e.

(2) Transformations remarquables du plan.

VIII. Fonctions ` a valeurs complexes.

Questions de cours.

ˆ In´ egalit´ e triangulaire dans C ainsi que le cas d’´ egalit´ e ;

ˆ Propri´ et´ es de e ^iθ ( ¯ e ^iθ , e ^i(θ+θ

⁾ , e ^−iθ ) ;

ˆ Formule de Moivre ;

ˆ Racines n-i` emes de l’unit´ e ;

ˆ D´ erivabilit´ e et d´ eriv´ ee de exp(f) o` u f est une fonction d´ erivable ` a valeurs complexes.

Pr´ evisions.

Primitives, ´ equations diff´ erentielles.

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