2 Morphologie math´ ematique binaire

Exercices sur la morphologie math´ ematique

Isabelle Bloch

1 Propri´ et´ es d’op´ erations morphologiques

Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses ?

vraie fausse 1 l’´erosion d’une fonction est croissante par rapport `a la

fonction `a ´eroder

2 l’´erosion d’une fonction est croissante par rapport `a l’´el´ement structurant

3 l’´erosion d’une image `a niveaux de gris bouche des

≪ vall´ees^≫

4 un filtre altern´e s´equentiel est croissant 5 un filtre altern´e s´equentiel est idempotent

6 un filtre altern´e s´equentiel est extensif

7 un ensemble convexe est invariant par fermeture par un ´el´ement structurant compact convexe

8 un ensemble convexe est invariant par ouverture par un ´el´ement structurant compact convexe

9 une ´erosion de taille 3 suivie d’une ´erosion de taille 2 est ´equivalente `a une ´erosion de taille 5

10 une ouverture de taille 3 suivie d’une ouverture de taille 2 est ´equivalente `a une ouverture de taille 5

2 Morphologie math´ ematique binaire

2.1 Ouverture morphologique

Dessiner l’ouverture de l’ensemble X de la figure 1 par l’´el´ement structurantB. Est-ce que le r´esultat d´epend du choix de l’origine de B? (indiqu´ee par une croix sur l’´el´ement structurant).

2.2 S´election d’objets

Une image binaire contient des disques de diam`etre 5, des disques de diam`etre 10, des segments de longueur 5, des segments de longueur 10 et des segments de longueur 15, les seg- ments pouvant avoir des orientations diff´erentes. Quelles sont les op´erations qui permettent :

B

Figure 1 – Op´erations ensemblistes.

– de supprimer uniquement les disques de diam`etre 5 ? – de supprimer tous les disques (et seulement les disques) ? – de s´electionner les segments de longueur 15 ?

3 Morphologie math´ ematique ` a niveaux de gris

La figure 2 pr´esente une fonction f d´efinie en dimension 1, et un ´el´ement structurant B. Tracer la fonction r´esultant de la dilatation def parB, son ´erosion, son ouverture et sa fermeture.

Donner le nombre de minima et maxima r´egionaux def, de l’´erod´eEB(f) def parB et de l’ouverturefBdef parB, ainsi que le nombre de pics d´etect´es par chapeau haut-de-forme avec cet ´el´ement structurant.

Tracer la reconstruction def en prenant la fonctiongd´efinie parg(x) = max(0, f(x)−2) comme marqueur. Interpr´eter le r´esultat obtenu.

4 Relation entre morphologie math´ ematique binaire et mor- phologie math´ ematique ` a niveaux de gris

Etant donn´ee une fonction (repr´esentant une image `a niveaux de gris) d´efinie surRⁿ, on peut en d´eduire une famille d’ensembles binaires appel´es sections (ou seuils) de hauteur t, d´efinis par :

ft={x∈Rⁿ|f(x)≥t}.

Etablir la relation entre le dilat´e de la section de hauteur t, D(ft, B), et la section de hauteurt du dilat´e def,D(f, B)t, o`u B est un ´el´ement structurant binaire quelconque.

x f(x)

élément structurant (segment horizontal centré) B

centre de B

x f(x)

élément structurant (segment horizontal centré) B

centre de B

Figure2 – Fonction f.

1. Montrer que la dilatation fonctionnelle commute avec le supremum, c’est-`a-dire, pour toutes fonctionsf et get tout ensemble (´el´ement structurant) B, on a :

D(f ∨g, B) =D(f, B)∨D(g, B) o`uf ∨g est d´efini par∀x,(f ∨g)(x) = max[f(x), g(x)].

2. Montrer que pour l’infimum, on a l’in´egalit´e :

D(f∧g, B)≤D(f, B)∧D(g, B).

Trouver un contre-exemple simple pour lequel cette in´egalit´e est stricte (l’´egalit´e n’est pas v´erifi´ee).

6 Adjonctions et op´ erateurs alg´ ebriques

Soit un treillis (T,≤) (≤ relation d’ordre partiel, telle que∀(x, y)∈ T,∃x∨y et∃x∧y dansT). Le treillis est dit complet si toute famille d’´el´ements (finie ou non) poss`ede un plus petit majorant et un plus grand minorant.

On appelle dilatation alg´ebrique un op´erateur qui commute avec le sup du treillis et

´erosion alg´ebrique un op´erateur qui commute avec l’inf du treillis :

∀(xi)∈ T, δ(∨ixi) =∨iδ(xi)

∀(xⁱ)∈ T, ε(∧ⁱxi) =∧ⁱε(xⁱ) Une paire d’op´erateur (ε, δ) est une adjonction sur (T,≤) si :

∀(x, y), δ(x)≤y⇔x≤ε(y)

1. Montrer que si (ε, δ) est une adjonction, alors pour tousx, x^′, yon aδ(x)∨δ(x^′)≤y⇔ δ(x∨x^′)≤y. En d´eduire queδ est une dilatation alg´ebrique. On montre de mˆeme que εest une ´erosion alg´ebrique.

2. Montrer que δ est croissante.

3. Montrer que

– εδ≥Id etδε≤Id(o`uId d´esigne la fonction identit´e sur le treillis), – εδε=εetδεδ=δ,

– εδεδ=εδ etδεδε=δε.

7 Ouvertures alg´ ebriques

On appelle ouvertur alg´ebrique dans un treillis une op´eration croissante, idempotente et anti-extensive. Soient γ₁ etγ₂ des ouvertures alg´ebriques. Montrer l’´equivalence entre :

1. γ₁≤γ₂

2. γ₁γ₂ =γ₂γ₁ =γ₁

3. Inv(γ₁)⊆Inv(γ₂) o`u Inv d´esigne le domaine d’invariance.

Indication : on montrera que 1 ⇒ 2⇒ 3 ⇒ 1. On rappelle qu’une ouverture γ s’exprime `a partir de son domaine d’invariance parγ(x) =W

{y ∈Inv(γ), y≤x}.

8 Analyse d’une image

Imaginer et d´ecrire le plus pr´ecis´ement possible une m´ethode de segmentation des cellules de la figure 3 `a partir des op´erateurs vus en cours. L’algorithme devra fournir une image binaire des cellules et ´eliminer les petits points sombres.

Comment supprimer les cellules qui touchent le bord de l’image `a partir du r´esultat binaire de segmentation ?

Comment s´eparer les cellules qui sont connexes ?

Comment s´electionner les cellules qui ont un noyau sombre ? Comment ´etudier la distribution de tailles des cellules ?

Figure 3 – Image de cellules.