2/a) Montrer que U n n est croissante

Texte intégral

(1)b-mehdi.jimdo.com. Suites réelles. Lycée Secondaire Ali Zouaoui. 4 Sc-T 2. Exercice n° 01 : On considère la suite U n n définie par 1/ Montrer que. U 0  1  2U n  3  U n 1  U  2 ; n    n. 0 <U n < 3 ; n  .. 2/a) Montrer que U n n est croissante . b) En déduire que U n n est convergente et calculer. lim U n .. n . 3/ Soit la suite V n n définie par V n  U n . 3 ; n   Un  3. a) Montrer que V n n est une suite géométrique et qu’elle est convergente. b) Calculer U n en fonction de. n et. retrouver. lim U n .. n . Exercice n° 02 : On considère la suite U n n définie par Soit la suite V n n définie par.  U0  1   U1  2 U  n 2  3U n1  2U n ; n  . V n  U n 1 U n. ; n  . 1/ a) Montrer que V n n est une suite géométrique. b) Déterminer 2/ Calculer. Vn n 1. S n  V i i 0. en fonction de. n. puis calculer. lim V n. n . .. puis en déduire U n en fonction de n .. Exercice n° 03 : n. Soit U n  . k 1. 1 n k. 1/ Calculer U 1 ; U 2 et U 3 .. Année Scolaire 2007/2008. 1. Prof : Faleh Abdessattar.

(2) b-mehdi.jimdo.com. Suites réelles. Lycée Secondaire Ali Zouaoui. n U n  n 2. 2/ a) Montrer que b) En déduire. 4 Sc-T 2. ; n  * .. lim U n .. n . 3/ On pose V n  U n n. Montrer que V n n est convergente et donner sa limite. *. Exercice n° 04 : Soit la suite U n  définie sur. . U 0  1. par : . U n 1  U n  4  2 ; n   . 1/ Montrer que U n  est minorée par 0 . 2/ Montrer que. sgn U n U n 1   sgn U n . 3/ En déduire que U n n est décroissante. Que peut-on déduire ? 4/ Calculer. lim U n .. n . Exercice n° 05 : On considère la suite réelle définie par.  U 0 réel donné  1 U n U  1 ; n   n 1  2  1  U n . 1/ Déterminer U 0 pour que U n n soit constante. 2/ On prend. U 0  1, 0. a) Montrer que , pour tout b) Montrer que , pour tout c) On pose. k . n   , 1 <U n < 0. et que U n n est décroissante.. n   , 0 < 1  U n 1 . 1 U n 1 U 02. .. 1 1 U 02. Année Scolaire 2007/2008. 2. Prof : Faleh Abdessattar.

(3) b-mehdi.jimdo.com. Suites réelles. Lycée Secondaire Ali Zouaoui. Montrer que , pour tout. n   , 0 < 1 U n 1  1 U 0  k n. 4 Sc-T 2. .. En déduire que U n n admet une limite l que l’on déterminera. Exercice n° 06 : Soit la suite U n n définie par 1/ Montrer que U n  1. U 0  1  1  U n 1  U n  U  n. ;  n . ,  n . 2/ Montrer que U n n est croissante. 3/ a) Montrer que pour tout. n . b) En déduire que pour tout 4/ a) Montrer que pour tout b) En déduire. lim. n . on a :. n . n . 2  U n21 U n2  2 U n 1 U n. on a : 2n  U n2 1  2n U n 1 et que. on a : 1 . lim U n   .. n . 1 2n 1  2  1 2 Un Un Un. 2n Un. Exercice n° 07: On considère la fonction. f. définie sur. . représentative dans un repère orthonormé On définit la suite U n n par. par f  x   x  x 2 et f  sa courbe  . O , i , j  .. 1  U 0  2  2 U  n 1  U n U n ; n   . 1/ a) Sans effectuer de calcul , placer sur la figure suivante , les points de l’axe O , i  ayant pour abscisses respectives. Année Scolaire 2007/2008. U 0 ,U1 ,U 2 ,U 3. 3. et U 4 .. Prof : Faleh Abdessattar.

(4) b-mehdi.jimdo.com. Suites réelles. Lycée Secondaire Ali Zouaoui. 4 Sc-T 2. f . b) Calculer les valeurs exactes de U 1 et U 2 . 2/ Etudier la monotonie de la suite U n n . 3/ Montrer que pour tout. p  *. 4/ Montrer par récurrence que. on a :. , on a :. n  *. ( on pourra utiliser la croissance de. 1 1 . f    p  p 1. f. sur. 0 U n .  1  0 , 2 . 1 n 1. ).. 5/ En déduire que U n n est convergente et donner sa limite. Exercice n° 08 : 1/ On pose pour tout. n  * ; I n . 1 1 n 1  x  e  x dx   n! 0. a) A l’aide d’une intégration par parties , calculer b) Prouver que , pour tout. n  *. on a : 0  I n . I1.. 1 1 x e dx n ! 0. et en déduire. c) Montrer , en utilisant une intégration par parties que pour tout Année Scolaire 2007/2008. 4. lim I n. n . n  * on. .. a:. Prof : Faleh Abdessattar.

(5) b-mehdi.jimdo.com. Suites réelles. Lycée Secondaire Ali Zouaoui. I n 1 . 4 Sc-T 2. 1 I  n  1! n. 2/ On considère la suite U n n définie par *. a) Montrer par récurrence que pour tout b) En déduire. U1  0    1n 1 ; n   U  U  n  n 1  n  1! . n  *. , on a : U n  1   1n I n e. lim U n .. n . Exercice n° 09 : . On définit la suite  I n n par 1/ a) Calculer. I n   4 (tan t )n dt 0. I 0 et I 1. b) Montrer que pour tout c) En déduire. I2. et. p ,. on a : I p  I p 2 . 1 p 1. I3.. 2/ Montrer que  I n n est décroissante. En déduire qu’elle est convergente. 3/ a) En utilisant 1/ b) et 2/ , prouver que pour tout. n * \ 1 ,. on a :. 1 1  In  2  n  1 2  n  1. b) Déterminer. lim I n. n . et. lim n I n .. n . n. 4/ On considère la suite U n n définie par : U n  .  1k. k 0 2 k. a) Montrer par récurrence que : b) En déduire. n   ,. 1. on a : U n  I 0   1n I 2n 2. lim U n .. n . Année Scolaire 2007/2008. 5. Prof : Faleh Abdessattar.

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