Université de Rouen
L2 de Mathématiques - Informatiques Année 2006-2007
Initiation à l'Analyse Numérique et Maple Examen du 12 septembre 2007, durée 2h
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Exercice 1. On considère la fonctionf définie sur[0,+∞[par f(x) =xexp(x−1), et on définit la suite(xn)n∈Npar :
{x0∈]0,+∞[
xn+1= f(xn).
(a) Montrer que 0 et 1 sont les seuls points fixes de f. (b) Calculer f′(0)et f′(1). Que peut-on en conclure ?
(c) On suppose quex0∈]1,+∞[. Montrer que(xn)n∈Nest croissante, et que
nlim→+∞xn= +∞.
(d) On suppose quex0 ∈ [0, 1]. Montrer que la suite(xn)n∈Nest convergente, préciser la limite et l’ordre de convergence suivant la valeur dex0.
Exercice 2. Soientεun élément de l’intervalle]0, 1[etf une fonction de classeC3sur[0, 1].
(a) Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange, notéPε, de la fonction f aux points 0,εet 1.
(b) Donner la formule de l’erreur∣f(x) −Pε(x)∣pourxdans[0, 1].
(c) Montrer que pour toutxfixé dans[0, 1]on a
limε→0Pε(x) = f(0) +x f′(0) + (f(1) −f(0) − f′(0))x2. (1) (d) Vérifier que le polynômeP(x)défini par l’expression du membre de droite de (1) est l’unique polynôme
Ptel que
P(0) = f(0), P′(0) = f′(0) et P(1) = f(1).
Donner une majoration de l’erreur∣P(x) −f(x)∣,x∈ [0, 1].
Exercice 3. Soitαun paramètre réel et soient les matricesA(α),Pet le vecteurbdéfinis par A(α) =⎛
⎜⎝
2 4 1
α −2 −1
2 3 2
⎞⎟
⎠, P=⎛
⎜⎝
1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞⎟
⎠ et b=⎛
⎜⎝ 0
−−132
⎞⎟
⎠. (a) À quelle condition (surα) la matriceA(α)est-elle inversible ?
(b) À quelle condition (surα) la matriceA(α)admet-elle décompositionLU? (c) Calculer si elle existe la décompositionLUde la matriceM =P×A(−1).
(d) Résoudre le système linéaireMx=b.
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