Montrer que(xn)n∈Nest croissante, et que nlim→+∞xn

Université de Rouen

L2 de Mathématiques - Informatiques Année 2006-2007

Initiation à l'Analyse Numérique et Maple Examen du 12 septembre 2007, durée 2h

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Exercice 1. On considère la fonctionf définie sur[0,+∞[par f(x) =xexp(x−1), et on définit la suite(xn)n∈Npar :

{x₀∈]0,+∞[

x_n+1= f(xn).

(a) Montrer que 0 et 1 sont les seuls points fixes de f. (b) Calculer f^′(0)et f^′(1). Que peut-on en conclure ?

(c) On suppose quex₀∈]1,+∞[. Montrer que(xn)n∈Nest croissante, et que

nlim→+∞x_n= +∞.

(d) On suppose quex0 ∈ [0, 1]. Montrer que la suite(xn)n∈Nest convergente, préciser la limite et l’ordre de convergence suivant la valeur dex₀.

Exercice 2. Soientεun élément de l’intervalle]0, 1[etf une fonction de classeC³sur[0, 1].

(a) Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange, notéP_ε, de la fonction f aux points 0,εet 1.

(b) Donner la formule de l’erreur∣f(x) −P_ε(x)∣pourxdans[0, 1].

(c) Montrer que pour toutxfixé dans[0, 1]on a

limε→0P_ε(x) = f(0) +x f^′(0) + (f(1) −f(0) − f^′(0))x². (1) (d) Vérifier que le polynômeP(x)défini par l’expression du membre de droite de (1) est l’unique polynôme

Ptel que

P(0) = f(0), P^′(0) = f^′(0) et P(1) = f(1).

Donner une majoration de l’erreur∣P(x) −f(x)∣,x∈ [0, 1].

Exercice 3. Soitαun paramètre réel et soient les matricesA(α),Pet le vecteurbdéfinis par A(α) =⎛

⎜⎝

2 4 1

α −2 −1

2 3 2

⎞⎟

⎠, P=⎛

⎜⎝

1 0 0

0 0 1

0 1 0

⎞⎟

⎠ et b=⎛

⎜⎝ 0

−−1³₂

⎞⎟

⎠. (a) À quelle condition (surα) la matriceA(α)est-elle inversible ?

(b) À quelle condition (surα) la matriceA(α)admet-elle décompositionLU? (c) Calculer si elle existe la décompositionLUde la matriceM =P×A(−1).

(d) Résoudre le système linéaireMx=b.

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