Établir que : ∀(n, p)∈N2, |xn+p−xn

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans ce problème,aet bsont deux réels tels quea < b etI= [a, b].

Partie I. théorème du point xe

Soitg:I→Iune fonctionk-lipschitzienne aveck∈[0,1[. 1. a. (Question de cours) Montrer quegest continue surI.

b. Montrer que l'équationg(x) =xpossède une solution et une seule dans le segment I. On noteraαcette solution.

2. Soitu∈I et (xn)_n∈N la suite réelle dénie par :

x0=u et ∀n∈N :xn+1=g(xn) a. Montrer que :

∀n∈N, |x_n−α| ≤kⁿ|u−α|

En déduire que(xn)_n∈_Nconverge vers un réel à préciser.

b. Établir que :

∀(n, p)∈N², |xn+p−xn| ≤ 1−k^p

1−k |xn+1−xn| c. En déduire que :

∀n∈N, |xn−α| ≤ kⁿ

1−k|x1−x0|.

3. On suppose quegest dérivable enα. a. Établir que|g⁰(α)| ≤k.

b. Avec les notations de la question2, montrer que, (∀n∈N, x_n 6=α)⇒

xn+1−α x_n−α

n∈N

→g⁰(α)

Partie II. Méthode de Newton

Soitf une fonction deI dansRde classeC² et telle que : f(a)<0, f(b)>0, ∀x∈I, f⁰(x)>0 On s'intéresse ici à la résolution de l'équationf(x) = 0d'inconnuex∈I.

1. a. Montrer que cette équation possède une unique solution dans]a, b[. Cette solution sera notéeα.

b. Soitx0∈I. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente àf enx0.

2. On dénit la fonctiong par :

g:





 I→R x7→x− f(x)

f⁰(x) a. Justier queg est de classeC¹.

b. Calculerg(α)etg⁰(α).

3. Dans cette question seulement,f⁰ est décroissante.

a. Dessiner le graphe d'une fonctionf vériant toutes ces conditions.

b. Montrer que, l'intervalle[a, α]est stable par g. En déduire que l'on peut dénir une suite(xn)_n∈

N par :

x0=a et ∀n∈N, xn+1=g(xn).

c. Montrer que (x_n)_n∈_N converge versα. 4. On revient au cas général.

a. Justier qu'il existeh >0 tel que, en notantJ = [α−h, α+h], on ait :

∀x∈J, |g⁰(x)|<1 b. Établir que :∀x∈J, g(x)∈J.

c. Justier qu'il existe k∈[0,1[tel que gsoit k-lipschitzienne surJ. d. En déduire que, pour toutu∈J, la suite(xn)_n∈Ndénie par

x0=u et ∀n∈N, xn+1=g(xn) converge versα.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Anewton

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Corrigé

Partie I : Théorème du point xe

Dans tout le problème, on dira quexest un point xe degsi et seulement sig(x) =x. 1. a. On suppose quegest k-lipschitzienne dansI.

Pour toutx∈I et toutε >0, en prenantα= ^ε_k, on a :

|y−x|< α⇒ |g(y)−g(x)| ≤k|y−x|=ε

Ce qui montre queg est continue enx. On remarque que leαest le même pour tous lesxdeI (uniforme continuité).

b. Montrons d'abord l'existence d'un point xe.

Considérons la fonction dénie dansI

ϕ:x→g(x)−x

Elle est continue comme somme de deux fonctions continues. La stabilité deIpar g entraîne que g(a)≥a doncϕ(a)≥0 et que g(b)≤adoncϕ(b)≤0. Lorsque l'une des deux inégalités est une égalité,aoubest un point xe. Lorsque les deux inégalités sont strictes, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires àϕentreaetb. Il existe donc unx∈]a, b[tel queϕ(x) = 0, c'est à dire un point xe pourg.

Montrons ensuite l'unicité d'un point xe. Soitxet y deux points xes :

|x−y|=|g(x)−g(y)| ≤k|x−y| ⇒(1−k)|x−y| ≤0⇒x=y car1−k >0par hypothèse.

On noteαl'unique point xe deg.

2. a. On appliquenfois l'inégalité de lipschitzité :

|xn−α|=|g(xn−1−g(α)| ≤k|xn−1−α|=k|g(xn−2−g(α)|

≤k²|xn−2−α| ≤ · · · ≤k^p|xn−p−α| ≤kⁿ|x0−α|=kⁿ|u−α|

La suite à droite de l'inégalité précédente est géométrique de raisonk∈]0,1[. Elle converge donc vers0 ce qui permet d'appliquer le théorème d'encadrement. La suite(x_n)_n∈_N converge versα.

b. Utilisons d'abord l'inégalité triangulaire

|xn+p−x_n| ≤ |xn+p−x_n+p−1|+|xn+p−1−x_n+p−2|+· · ·+|xn+1−x_n|

=

p−1

X

i=0

|xn+1+i−x_n+i|

puis majorons comme plus haut en utilisant le caractère lipschitzien

|xn+1+i−x_n+i|=|g(xn+i)−g(x_n+i−1)|

≤k|xn+i−x_n+i−1| ≤ · · · ≤kⁱ|xn+1−xn| En injectant dans la première majoration, on obtient :

|xn+p−xn| ≤

p−1

X

i=0

kⁱ

!

|xn+1−xn|= 1−k^p

1−k|xn+1−xn| c. Dans l'inégalité précédente, xonsnet considèrons les suites enp.

La suite(xn+p)_p∈Nconverge versα, la suite(xn)_p∈Nest constante, la suite(k^p)_p∈N converge vers 0. Par opérations sur les suites convergentes et passage à la limite dans une inégalité, on obtient donc :

|α−x_n| ≤ 1

1−k|xn+1−x_n| 3. a. Commeg est supposée dérivable enα, on peut écrire :

|g⁰(α)|= lim

h→0

g(α+h)−g(α) h

≤k

d'après l'inégalité de lipschitzité et le théorème de passage à la limite dans une inégalité.

b. Par dénition dex_n et commeg(α) =α: xn+1−α

x_n−α = g(xn)−g(α)

x_n−α →g⁰(α) à cause de la dérivabilité enαcar(xn)_n∈N converge versα.

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Partie II. Méthode de Newton

1. a. L'équation considérée admet une solution à cause du théorème des valeurs inter- médiaires appliqué àf entreaetb. Cette solution est unique car la fonction est strictement croissante à cause du signe de la dérivée. L'unique solution notéeα sera appelée zéro def.

b. L'équation de la tangente enx0 est :

y=f⁰(x₀)(x−x₀) +f(x₀)

L'abcisse du point d'intersection avec l'axe d'équationy= 0 est

x₀− f(x₀) f⁰(x0)

2. a. La fonctionf estC²donc sa dérivée estC¹. De plusf est strictement positive ce qui assure le caractèreC¹ de l'inverse. Les résultats usuels sur les opérations sur les fonctions continues et dérivables montrent queg est de classeC¹.

b. Commeαest un zéro de f :

g(α) =α, g⁰(α) = 1−1 + f(α)f⁰⁰(α) f⁰(α)² = 0 On en déduit queαest à la fois un zéro def et un point xe deg.

3. a. La restriction de ln à un segment de ]0,+∞[ satisfait aux conditions. Dans la Figure1on a tracé un graphe de ce genre.

b. Remarquons que l'intervalle [a, b] complet n'est pas stable. On a indiqué sur la gure1 un pointx₁ dont l'image n'est pas dans[a, b].

Montrons que l'intervalle[a, α]est stable.

Montrons d'abord que la restriction deg est croissante. En eet :

g⁰(x) =f(x)f⁰⁰(x) f⁰(x)² >0

car f⁰⁰ est négative partout et f(x)< 0 dans [a, α[. D'autre part g(α)> α car f(α)<0donc

g([a, α]) = [g(a), g(α)] = [g(a), α]⊂[a, α].

On peut aussi remarquer (calcul de g⁰) que, dans[a, α], g est croissante et telle queg(x)≥x. On en déduit que[a, α] est stable pourg.

a

x₁ b g(x₁)< a

Fig. 1: II.3.a. Exemple de graphe def

c. D'aprèsb, comme la restriction de gest croissante, l'inégalitéx0< x1se propage ce qui montre que la suite (x_n)_n∈_N est croissante. Elle est majorée par α. Elle est donc convergente. Sa limite notéeβ est un élément de[a, α], la fonctiongest continue enβ et la dénition de x_n entraîne alorsg(β) =β. Or par dénition de g, un point xe de gest un zéro de f etαest le seul zéro def dansI.

On peut donc conclure que(x_n)_n∈_N converge versα.

4. a. Comme g⁰ est continue en αet g⁰(α) = 0, il existe un intervalle J de la forme [α−h, α+h] tel que|g⁰(x)|<1 pour toutx∈J.

b. Pour tous lesx∈J, appliquons le théorème des accroissements nis àg entrex etα. Il existe doncc_xentrexet αtel que

|g(x)−α|=|g(x)−g(α)|=|x−α||g⁰(cx)|<|x−α|

ce qui entraîne queg(x)est encore entrexetαdonc dansJ.

c. L'intervalle J est un segment et la fonction |g⁰| est continue sur cet intervalle.

Elle est donc bornée et elle atteint sa borne supérieure M en un point de J. Il existeu ∈J tel que M =|g⁰(u)| <1 d'après la dénition deJ. L'inégalité des accroissements nis appliquée entre deux éléments quelconques deJ montre que g_|J estM-lipschitzienne.

d. Toutes les hypothèses sont maintenant réunies pour appliquer à g dans J les résultats de la partieI. La suite(x_n)_n∈_Nconverge vers l'unique point xeαdeg.