X =− 2412 Xn =

DM2 : raisonnement par récurrence ; axe de symétrie

N° 20 page 184 (au choix avec le N° 61 page 189)

1. Développer

(

^a+b

)

^{3 et}

(

^a+b

)

⁴

2. On pose S_n = +1³ 3³+.... (2+ n−1)³ pour tout entier n≥1 a. Calculer S S₁, ₂,S₃

b. Démontrer que pour tout entier n≥1, S_n =2n⁴−n² c. Déterminer l’entier n tel que S_n =29161

N° 61 page 189 (au choix avec le N° 20 page 184)

Nombres triangulaires et pyramidaux Démonstration d’une conjecture constatée.

Bon à savoir

Soit f une fonction de représentation graphique C_f dans un repère orthogonal.

On appelle D la droite d’équation x=a (a réel fixé)

Pour prouver que la droite D est axe de symétrie de la courbe C_f, il suffit de prouver deux propriétés.

1. Quelle propriété doit vérifier l’ensemble de définition de la fonction f ? 2. Quelle égalité est à démontrer ? Illustrer par un dessin.

Application

: Prouver que la courbe d’équation ₂ 1 2 8 y= x x

− − dans un repère orthogonal, admet un axe de symétrie (à préciser).

Eléments de corrigé du DM2 N° 20 page 184

1 .

(

^a+b

)

^{3 =a3+3a b2 +3a b2+b3 et}

(

^a+b

)

^{4 =a4+4a b3 +6a b2 2+4a b3+b4}

2. On pose S_n = +1³ 3³+.... (2+ n−1)³ pour tout entier n≥1 a) S₁=1,S₂ = +1³ 3³ =28,S₃= +1³ 3³+5³=153

b) Prouvons par récurrence que pour tout entier n, n≥1, S_n =2n⁴−n² Nommons P(n) l’égalité S_n=2n⁴−n²

Initialisation : Vérifions que P(1) est vraie

On a d’une part S₁=1et d’autre part 2 1× − =⁴ 1² 1 P(1) est bien vraie

Caractère héréditaire de la propriété

Supposons que pour un entier naturel n, n≥1 P(n) est vraie et démontrons qu’alors P(n+1) est vraie

Admis A prouver

(HR) S_n =2n⁴ −n² S_n+1=2

(

n+1

) (

⁴− n+1

)

²

Or, S_n+1=S_n+

(

2n+1

)

³soit en utilisant (HR) S_n+1=2n⁴ −n²+

(

2n+1

)

³et en développant les calculs

4 2 3 2 4 3 2

1 2 8 12 6 1 2 8 11 6 1

Sn₊ = n −n + n + n + n+ = n + n + n + n+

Calculons ²

(

ⁿ⁺¹

) (

^{4− n+1}

)

^{2 =2}

(

^{n4+4n3+6n2+4n+ −1}

) (

^{n2+2n+ =1}

)

^{2n4+8n3+11n2+6n+1}

On constate donc que S_n+1=2

(

n+1

) (

⁴− n+1

)

². P(n+1) est bien vraie

Conclusion : d’après le principe de récurrence, on peut affirmer que pour tout entier naturel n, n≥1, S_n=2n⁴−n² c) Déterminer l’entier n tel que S_n =29161revient à résoudre 2n⁴−n² =29161soit 2n⁴−n²−29161 0= Posons

X = n

²pour se ramener à une équation du second degré. Il vient 2X²− −X 29161 0= .

1 8 29161 233289 4832

∆ = + × = = d’où ₁

241

X = − 2

et

X

₂

= 121

.

Comme

X = n

², on résout maintenant dans Nles deux équations (1) : ²

241

n = − 2

ce qui est impossible et (2) :

n

²

= 121 ⇔ = n 11ou 11 n = −

.

Seul 11 est un entier naturel. En conclusion, l’entier naturel n tel que S_n =29161, est 11.

Bon à savoir

Soit f une fonction de représentation graphique C_f dans un repère orthogonal.

On appelle D la droite d’équation x=a (a réel fixé)

Pour prouver que la droite D est axe de symétrie de la courbe C_f, il suffit de prouver deux propriétés.

1. L’ensemble de définition de la fonction f doit être centré sur la valeur a.

2. Pour tout réel h(tel que

a + ∈ h D

_f), on doit avoir l’égalité

f a ( + h ) = f a ( − h ) Application

: Prouver que la courbe d’équation ₂ 1

2 8 y= x x

− − dans un repère orthogonal, admet un axe de symétrie.

Nommons f la fonction ₂

1 2 8

x x

x 6 − −

. f est définie pour tout réel x tel que x²−2x− ≠8 0. En calculant le discriminant

∆

, on trouve ∆ =36ce qui donne deux valeurs interdites

x

₁

= − 2

et

x

₂

= 4

. L’ensemble de définition est donc

{ }

\ 2; 4

Df =R − .

D

_fest centré sur la valeur

2 4 2 1

− + =

. Si la courbe C_fpossède un axe de symétrie, celui-ci ne peut

être que la droite d’équation x=1.

Calculons pour tout réel h(tel que

1 + ∈ h D

_f ), chacune des expressions

f (1 + h )

et

f (1 − h )

.

2 2

1 1

(1 (

1 ) 2(1 ) 8 9

) h

f h h = h

+ − + −

= −

+

et ₂

1

₂

1

(1 (

1 ) 2(1 ) 8 9

) h

f h h = h

− − − −

= −

−

.

On constate que pour tout réel h(tel que

1 + ∈ h D

_f ),

f (1 + h ) = f (1 − h )

. On en conclut que la droite d’équation 1

x= est bien axe de symétrie de la courbe d’équation ₂ 1 2 8 y= x x

− − ^.