Etudes de fonctions

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Première S

Etudes de fonctions

1. Rappels - généralités :

Exercice 532

On munit le plan du repère(O;I;J)orthonormal. Ci-dessous est représentée la courbeCf représentative de la fonctionf :

-6 -5 -4 -3 -2 -1 I 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 2 3 4

J

O

C

C

1. Donner l’ensemble de définition de la fonctionf. 2. Déterminer, graphiquement, l’image des nombres sui-

vants par la fonctionf :

a. −3 b. 1 c. 2

3. Déterminer, graphiquement, l’ensemble des antécédents du nombre de 2 par la fonctionf.

4. a. Résoudre graphiquement l’inéquation : f(x)⩾2.

b. Résoudre graphiquement l’inéquation : f(x)<0.

Exercice 730

1. On considère les trois fonctionsf,g,hdéfinies par : f :x7−→x²−3x+ 2

2x ; g:x7−→2^x h:x7−→»

x+√

7x−3 ; j:x7−→ (6x−3)²

−36x²+ 36x−9 Déterminer les images du nombre4 respectivement par les fonctionsf,g,hetj.

2. On considère les deux fonctionsk,ℓ définies par : k:x7−→4x−5 ; ℓ:x7−→9x²−6x

a. Déterminer l’ensemble des antécédents du nombre 1 par la fonctionk. 2

b. Déterminer l’ensemble des antécédents du nombre −1 par la fonctionℓ.(pensez à une factorisation).

Exercice 2142

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les courbes représentatives des fonctionsf et gdéfinies sur l’in- tervalle[−4 ; 4]:

-4 -3 -2 -1 I 2 3 4

-3 -2 -1 2 3 4

J

O

C

C

On considère l’inéquation : f(x)< g(x)

1. Parmi les nombres ci-dessous, lesquels sont solutions de cette inéquation :

a. −2,5 b. −0,25 c. 1

2. Résoudre graphiquement cette inéquation.

Exercice 2196

On considère la fonctionf dont voici le tableau de variation : x

Variation def

−3 0 2 5

+∞

−2

2

−1

1. Dire si les assertions suivantes sont vraies, fausses ou in- décidables. Dans chaque cas, justifier votre affirmation : a. Df = [−2 ; +∞[

b. Le nombre 2, par la fonctionf, n’admet qu’un antécé- dent.

c. f est bornée sur son ensemble de définition.

d. L’image de 4 est un nombre négatif.

2. On donne les informations suivantes à propos de la fonc- tionf : l’image de −1 (resp. 3)par la fonction f est 3 (resp. 0).

Donner, sans justification, l’image des intervalles ci- dessous par la fonctionf :

a. [0 ; 5] b. [−1 ; 2] c. ]−3 ; 3[

Exercice 2696

1. Ci-dessous est présenté trois fonctions qui ont été saisies sur une calculatrice :

a.

b.

c.

Réécrivez sur votre copie ces trois fonctions avec la pré- sentation habituelle des expressions mathématiques.

2. Pour chacune des fonctions ci-dessous, écrivez les carac- tères à saisir dans une calculatrice pour les insérer :

a. f :x7→ 1 + 3 +x x 2−3x b. f :x7→»

(1−2x)×( 3x−1) c. f :x7→

√x+ 1

√x+ 1

2. Rappels - fonction de références :

Exercice 2690

On munit le plan d’un repère(

O;I;J)

orthonormé. On consi- dère les trois droites(d₁),(d₂)et(d₃)représentées ci-dessous :

I J

O

2 ; 2

0,5 ; -1 -1 ; 0,5

(d

) (d

)

(d

)

Les coordonnées des points d’intersection de ces droites sont données sur la représentation.

Déterminer les équations réduites de ces trois droites.

Exercice 2691

Dans le plan muni d’un repère (

O;I;J)

orthonormé, on considère les six droites représentées ci-dessous :

I J

O (d₁) (d₂)

(d3) (d4)

(d5)

(d₆)

Chaque droite est la représentation de l’une des six fonctions suivantes :

f:x7−→3

2·x+ 1 ; g:x7−→ −x−1 ; h:x7−→2 5·x+ 1 j:x7−→ −2

5·x−1 ; k:x7−→ −3

4·x+1 ; ℓ:x7−→ −1 Associer, par des raisonnements et sans calculs, la courbe re- présentation à chaque fonction.

Exercice 2192

Dans le plan muni d’un repère (

O;I;J)

, on considère les quatres droites représentées ci-dessous :

-5 -4 -3 -2 -1 I 2 3 4 5

-3 -2 -1 2 3

J

O

(d₁) (d₂)

(d₃)

(d₄)

Déterminer les équations réduites de ces quatres droites.

Exercice 2692 Dans des repère (

O;I;J)

orthormaux, sont données ci- dessous les courbes Cf et Cg représentatives respectivement de la fonction carrée et de la fonction inverse :

-3 -2 -1 I 2 3

2 3 4 5 6 7 8 9

J O

C

-4 -3 -2 -1 I 2 3 4

-4 -3 -2 -1 2 3 4

J O

C

Compléter, sans justification, les assertions suivantes : 1. Six∈[

1 ; 3[

alorsx²∈...

2. Six∈]

−1 ; 2]

alorsx²∈...

3. Six∈] 2 ; 4]

alors 1 x∈...

4. Six∈] 0 ; 2]

alors 1 x∈...

5. Six∈]

−∞;−1 2 ]

alors 1 x∈...

Exercice 4975

Soitxun nombre réel ayant pour encadrement−1< x⩽3.

Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’ex- pression littérale proposée :

a. 3x+ 1 b. −2x−5 c. 1

x+ 2

d. (x+ 1)²+ 1 e. 1

x²+ 1 f. 2

(x−1)²+ 1 Exercice 4976

Pour chacune des fonctions, déterminer les caractéristiques de leur extrémum et dresser le tableau de variation :

a. f :x7−→2x²+ 8x+ 1 b. g:x7−→ −x²+ 2x+ 1 c. h:x7−→x²+ 4x+ 4 d. j:x7−→ −3x²+ 9x−2 e. k:x7−→3x²+ 2x+ 2 f. ℓ:x7−→ −x²+ 2√

3x−1

Exercice 5029

1. Soitaetbdeux nombres réels. Etablir l’identité suivante : a³−b³=(

a−b)

·(

a²+a·b+b²)

2. On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombrexest définie par :

f(x) =x³

Etablir que la fonctionf est croissante sur]

−∞; 0] .

3. Racine carré - étude de fonctions :

Exercice 4972

Sans justification, répondre aux questions suivantes : 1. Résoudre l’inéquation : √

x >4

2. Résoudre l’inéquation : √ x <9

Exercice 4973

Soitf la fonction dont l’image d’un nombrexest définie par la relation :

f(x) =−2√

x+ 1 + 3

1. Justifier que l’ensemble de définition de la fonctionf est : Df=[

−1 ; +∞[

2. Etablir que la fonction f est décroissante sur son en- semble définition.

4. Racines carrés - calculs algébriques et positions relatives :

Exercice 4980

Ecrire les expressions ci-dessous sans racines carrées au déno- minateur :

a. 2

√2−1 b.

√3

√3 + 1 c.

√2

2√ 6−4

d.

√2

√2−√ 3

Exercice 4981

Ecrire les expressions suivantes sans racines carrées au déno- minateur :

a. 2x

√x−1 b. x² x+ 2√

x c. x+√

x x−√

x

Exercice 2703

On considère les trois fonctionsf,g,hdéfinies par : f:x7−→x ; g:x7−→x² ; h:x7−→√

x

dont les courbes représentatives sont données dans le repère (O;I;J)

orthonormé ci-dessous :

2 3

I 2

J

O

C

C

C

1. Graphiquement, étudier la position relative des courbes Cf,Cg etCh surR+.

Etablissons le résultat de la question précédente d’un point de vue algébrique :

2. a. Dresser le tableau de signe de l’expressionx²−x.

b. Comparer les fonctions f et g sur chacun des inter- valles[

0 ; 1] et[

1 ; +∞[ . 3. a. Pourx∈]

0 ; +∞[

, établir l’égalité : f(x)−h(x) = x²−x

x+√ x

b. Comparer les fonctions f et h sur chacun des inter- valles]

0 ; 1] et[

1 ; +∞[ . Exercice 2959

1. On considère les deux fonctionsf etg définies par : f:x7−→(

x−1)2

; g:x7−→(

x²−1)2

Comparer les fonctionsf etg sur l’intervalle[ 0 ; 1]

. 2. On considère les fonctionshet j définies par :

h:x7−→ 1 2√

x+ 1 ; j:x7−→ 1 2x+ 1

Comparer les fonctionshet j sur chacun des intervalles [0 ; 1]

et [ 1 ; +∞[

. Exercice 5031 Etablir l’égalité :

1 1 +√

2

+ 1

√2 +√ 3

+ 1

√3 + 2

= 1

5. Racines carrés - un peu plus loin :

Exercice 1825

Le tableau ci-dessous représente les quotients, arrondis au centième près, de carrés d’entiers :

÷149162536496481100121144169196225 1149162536496481100121144169196225 40,2512,2546,25912,251620,252530,253642,254956,25 90,110,4411,782,7845,447,11911,1113,441618,7821,7825 160,060,250,5611,562,253,0645,066,257,56910,5612,2514,06 250,040,160,360,6411,441,962,563,2444,845,766,767,849 360,030,110,250,440,6911,361,782,252,783,3644,695,446,25 490,020,080,180,330,510,7311,311,652,042,472,943,4544,59 640,020,060,140,250,390,560,7711,271,561,892,252,643,063,52 810,010,050,110,200,310,440,600,7911,231,491,782,092,422,78 1000,010,040,090,160,250,360,490,640,8111,211,441,691,962,25 1210,010,030,070,130,210,300,400,530,670,8311,191,401,621,86 1440,010,030,060,110,170,250,340,440,560,690,8411,171,361,56 1690,010,020,050,090,150,210,290,380,480,590,720,8511,161,33 1960,010,020,050,080,130,180,250,330,410,510,620,730,8611,15 22500,020,040,070,110,160,220,280,360,440,540,640,750,871

1. a. A l’aide du tableau, vérifier l’encadrement ci- dessous :

100

81 <1,25< 81 64

b. A l’aide du tableau, justifier l’encadrement : 9

10<√

1,25<9 8 2. Etablir l’encadrement :

15 14<√

1,16<13 12

3. A l’aide du tableau, donner l’encadrement le plus précis du nombre√

2,5.

Exercice 4974

On considère la fonctionf définie par la relation : f(x) = −2

√x+ 3

1. Justifier que l’ensemble de définition def est R+. 2. Etablir que f est strictement croissante surR+.

6. Valeur absolue - introduction :

Exercice 1936

Effectuer les calculs suivants : a. |2×3−7| b. |√

2−√

3| c. 2×3×1

4 −2+ 1 d. |3|+| −3|

2−1 3

e. |3−π| f. 2×|2×5−12| −7

Exercice 321

De manière algébrique, calculer les expressions suivantes : a. |2−3| b. |5 + 3| c. |2×(4−5) d. |4×2−5×7| e. |7 + 2|×|4−6| f. |2−3|×2 g. |5,5|+|−5,5| h. |−5,5| − |4,5| i. |2×4−7|

|3×3−12|

7. Valeur absolue - calcul algébrique :

Exercice 323

Résoudre les équations suivantes :

a. 2−x= 2,5 b. x+ 100= 1 c. 3×x+ 2= 1 d. 2−x×2 = 1 e. 3×x+ 5+ 3 = 9 f. 2×2−x+ 4 = 1 Exercice 339

Résoudre les équations suivantes :

a. 2x−1=−x+ 1 b. 3x−1=3x+ 1 c. x−2= 5 d. x+ 2= 6

Exercice 303

Résoudre les équations suivantes :

a. x+ 3−2x+ 1= 2 b. x+ 3·4x−1=x+ 1 Exercice 302

On considère les fontionsf etg définies surRpar : f(x) =x+ 2 ; g(x) =x−1

Dans le plan muni d’un repère orthonormal(

O;I;J)

, on note Cf etCg les courbes représentatives respectives des fonctions f etg :

-4 -3 -2 -1 I 2 3 4

-2 -1 2 3

J

O

1. a. Tracer la courbeCf dans le repère ci-dessus.

b. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)⩾1.

2. a. Tracer la courbeCg dans le repère ci-dessus.

b. Résoudre graphiquement l’inéquation g(x)⩽0.

Exercice 324

On considère l’équation(E)définie par : x+ 1 x 1

On considère les trois intervalles suivants : I=]

−∞;−1]

; J=[

−1 ; 1]

; K=[ 1 ; +∞[ 1. On considère la fonctionf définie surRpar :

f:x7−→x+ 1+x−1

Simplifier l’expression de la fonction f sur chacun des trois intervallesI, J et K.

2. a. Résoudre l’inéquation (E) sur chacun des trois in- tervallesI,J etK.

b. Donner l’ensemble des solutions de l’équation(E).

8. Opérations sur les fonctions :

Exercice 408

On considère la fonctionfdéfinie sur]

−∞; 4]

dont le tableau de variation est données ci-dessous :

-∞ −2 1 4

−5

−2

2

−1 Variation

def x

On considère les fonctiong,het j définies par :

g(x) =f(x) + 2 ; h(x) = 2·f(x) ; j(x) =−f(x) Dresser les tableaux de variation des fonctionsg, het j.

Exercice 2695

On considère les deux fonctionsf etg définies surR: f :x7−→x+ 2 ; g:x7−→(3x−2)(2x+ 4)

1. Déterminer la forme simplifiée des expressions suivantes : a. (

f+g)

(x) b. ( f×g)

(x) c.

(f g )

(x)

2. Donner l’ensemble de définition de la fonction f g.

9. Racines et inverses de fonctions :

Exercice 4983

On considère la fonctionf définie sur[

−4 ; 4]

par la relation : f(x) =x²−4x+ 5

1. Dresser le tableau de variation de la fonction f. 2. Soit gla fonction définie par la relation :

g:x7−→» f(x)

a. Justifier que la fonctiong est définie sur[

−4 ; 4] . b. Dresser le tableau de variation de la fonction[ g sur

−4 ; 4] . Exercice 4982

1. On considère la fonctionf dont l’image dexest donnée par la relation :

f(x) =√

2·x−x²

a. Dresser le tableau de signe de la fonction suivante : x7−→2x−x²

b. En déduire l’ensemble de définition de la fonction f. 2. On considère la fonctiong définie par :

g:x7−→√

x³−3x−2

a. Développer l’expression : (x+1)²·(x−2)

b. Déterminer l’ensemble de définition de la fonctiong.

Exercice 4984

1. Soit f la fonction définie surR\{3 2 }

par la relation : f(x) = 8x−11

2x−3

a. Déterminer les réelsaet bréalisant l’identité : f(x) =a+ b

2x−3

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f. 2. On considère la fonctiong définie surR\{

2} par : g(x) =x+ 1

2−x

a. Déterminer les réelsaet bréalisant l’identité : g(x) =a+ b

2−x

b. Dresser le tableau de variation de la fonction g Exercice 5030

On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation :

f(x) =

…3−2·x 2·x+ 3

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction de la fonctionf.

2. On considère la fonction g définie sur R\{

−3 2 }

par la relation :

g(x) =3−2·x 2·x+ 3

a. Déterminer les réelsaetbréalisant l’identité suivante : g(x) =a+ b

2·x+ 3

b. Etablir le sens de variation de la fonctiongsur l’inter- valle

]−3 2; +∞[

.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition.

10. Un peu plus loin - ensemble de définition :

Exercice 2141

On considère les deux fonctions suivantes : f:x7−→√

2x−1·√

4x+ 3 ; g:x7−→»(

2x−1)(

4x+ 3) 1. a. A l’aide d’une calculatrice graphique, tracer la

courbe représentative de la fonction f, puis celle de la fonctiong.

b. Graphiquement, donner l’intervalle sur lequel ces deux fonctions coïncident.

2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonctionf.

3. a. Déterminer le tableau de signe de l’expression algé- brique(2x−1)(4x+3).

b. En déduire le domaine de définition de la fonctiong.

Exercice 536

1. Dévelopoer l’expression : (x+1)(3−2x)(x−1).

2. On considère les deux fonctionsf etgdont leurs images du nombrexsont définies de la manière suivante :

f(x) = −2x³+ 3x²+ 2x−3

x²−1 ; g(x) = 3−2x a. Déterminer l’ensemble de définition de chacune de ces

fonctions.

b. Etablir que les deux fonctions f et g sont égales sur un intervalle qu’on précisera.

Exercice 2194

1. On considère les deux fonctionsf etgdont l’image dex est définie par les relations :

f(x) = −x²−3x+ 4

(3x−2)(−x+ 1) ; g(x) = x+ 4 3x−2 a. Simplifier l’expression : g(x)−f(x).

b. Comparer les fonctions f etg.

2. On considère les deux fonctionsj etℓ définies par :

j(x) = 1

√3x+ 1 +√ 4−x

; ℓ(x) =

√3x+ 1−√ 4−x 4x−3

a. Déterminer l’ensemble de définition de ces deux fonc- tions.

b. Développer l’expression suivante : A=(√

3x+ 1 +√

4−x)(√

3x+ 1−√ 4−x

)

c. Montrer que les deux fonctionsj et ℓ sont égales sur l’ensemble

[−1 3; 4

]\{3 4

}

Exercice 2694

1. On considère les deux fonctions : f:x7−→3x−2 ; g:x7−→14x+ 7

2x+ 1 a. Etablir l’égalité suivante :

6x²+ 13x+ 5 = (2x+ 1)(3x+ 5)

b. On considère la fonction( f+g. Etablir l’égalité : f+g)

(x) = 3x+ 5

c. Donner l’ensemble sur lequel la fonctionf+gest défi- nie.

2. On considère les deux fonctions suivantes : f:x7−→2x+ 1

x²+x ; g:x7−→(x+ 1)(−3x+x²) a. On considère la fonction( f·g. Etablir l’égalité suivante :

f×g)

(x) = 2x²−5x−3

b. Donner l’ensemble sur lequel la fonctionf·gest définie.

3. On considère les deux fonctionsf etg définies par : f:x7−→x²−x ; g:x7−→x+√

x a. Etablir l’égalité suivante :

(f g

)

(x) =x−√ x

b. Donner l’ensemble sur lequel la fonction f

g est définie.

11. Un peu plus loin - composée de fonctions :

Exercice 4977

On considère les deux fonctionsf etgdéfinie sur[

−4 ; 4] par les relations :

f(x) = 2x+ 1 ; g(x) =x²−3

On donne les courbesCf et Cg représentatives des fonctions f etg dans le repère(

O;I;J)

ci-dessous :

-4 -3 -2 -1 I 2 3 4

-3 -2 -1 2

J

O

C

C

1. Par lecture graphique, compléter les tableaux de valeurs suivants :

x −3

2 −1 −1

2 0 1

2

f(x)

x −2 −1 0 1 2

g(x)

2. On considère le programme de calcul suivant : Prendre un nombrex;

Déterminer l’image de x par la fonction f;

on note ce nombrex^′;

Déterminer l’image de x^′ par la fonction g;

on note ce nombreg( f(x))

.

On peut noter ce programme de calcul par la chaine :

x ,−−−−−→^f f(x) ,−−−−−→^g g( f(x))

a. Déterminer la valeurs des expressions suivantes : g(

f(−1))

; g Å

f (−1

2 )ã

b. Compléter le tableau de valeurs suivant :

x −3

2 −1 −1

2 0 1

2

g( f(x))

On vient de créer une nouvelle fonction qui à un nombre x associe l’image g(

f(x))

. Cette fonction s’appelle la fonction composée def parg et se noteg◦f.

tative de la fonctiong◦f.

4. Donner l’expression, en fonction de x, de la fonction g◦f.

Exercice 2234

On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle[

−4 ; 4] dont la courbeCf représentative est donnée ci-dessous dans le re- père(O;I;J)orthonormé :

-4 -3 -2 -1 I 2 3 4

-4 -3 -2 -1 2 3

J

O

C

1. Calculer les images suivantes : a. (

f◦f)

(1) b. ( f◦f)

(−2) c. ( f◦f)

(3)

2. On définit la fonctionfⁿ comme la fonction composée n fois de la fonction f par elle-même. Déterminer la valeur des images suivantes :

a. f³(1) b. f³(−3) c. f⁴(−1) Exercice 2698

On considère deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [−3 ; 3] dont les courbes, respectivementCf et Cg, représen- tatives sont données dans un repère(

O;I;J)

orthonormée :

-3 -2 -1 I 2 3

-3 -2 -1 2 3

J

O

C

-3 -2 -1 I 2 3

-3 -2 -1 2 3

J

O

C

1. Déterminer la valeur des expressions suivantes : a. (

f◦g)

(−2) b. ( f ◦g)

(1,5) c. ( f◦g)

(2)

2. Déterminer la valeur des expressions suivantes : a. (

g◦f)

(−3) b. ( g◦f)

(0) c. ( g◦f)

(1)

Exercice 4979

On considère les deux fonctions suivantes : f:x7−→x²−2 ; g:x7−→√

x

1. a. Donner les ensembles de définition des fonc- tionsf etg.

b. Peut-on parler de l’image de1par la fonctiong◦f? Justifier votre réponse.

2. a. Dresser le tableau de signe de la fonctionf. b. Donner l’ensemble de définition de la fonctiong◦f. Exercice 4978

Pour chacun des couples de fonctions ci-dessous, déterminer l’expression de la fonctiong◦f :

1. f:x7−→3x−5 ; g:x7−→x² 2. f:x7−→x²−1 ; g:x7−→ −2x+ 4 3. f:x7−→x²+ 1 ; g:x7−→x²+ 1

12. Valeur absolue - étude de fonctions :

Exercice 2301

On considère la fonctionf définie surRpar : f(x) =−1

4·x+ 2+3

4·x−4

1. a. Simplifier chaque expression en fonction de l’intervalle étudié :

x −∞ −2 4 +∞

x+ 2 x−4

b. Donner l’expression simplifiée de la fonctionf sur chacun des trois intervalles suivants :

I=]

−∞;−2]

; J=[

−2 ; 4]

; K=[ 4 ; +∞[ 2. On munit le plan d’un repère (

O;I;J)

orthonormé donné ci-dessous :

-8 -6 -4 -2 I 2 4 6 8 10 12

-4 -2 2 4 6 8

J O

3. D’après la représentation graphique, tracer le tableau de variation de la fonctionf.

Exercice 290

On considère la fonctionf définie surRpar la relation : f(x) =x+ 1−1

2·x

1. Simplifier l’écriture des expressions algébriques sur les intervalles ]

−∞;−1] et [

−1 ; +∞[

dans le tableau ci- dessous :

x −∞ −1 +∞

x+ 1 f(x)

2. Dans le plan muni d’un repère(

O;I;J)

orthonormal, sont les deux courbes C1 et C2. Laquelle de ces deux courbes est la représentation de la fonction f :

-6 -4 -2 I 2 4 6

-4 -2 2 4

J O

C

-6 -4 -2 I 2 4 6

-4 -2 2 4

J O

C

Exercice 326

On considère la fonctionf définie par la relation : f(x) =1

2·x+1 2

−1 4·x−1

2

1. Simplifier les expressions algébriques sur les trois inter- valles ]

−∞;−1] , [

−1 ; 2] et [

2 ; +∞[

dans le tableau ci-dessous :

x −∞ −1 2 +∞

1 2·x+1

2 1

4·x−1 2 f(x)

2. Dans un repère orthonormé, des courbes sont représen- tées ci-dessous :

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2 2 4

(d₁) (d2)

(d₃)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2 2 4

C₁

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2 2 4

C₂

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2 2 4

C3

a. Par lecture graphique et sans justification, donner les équations réduites des droites(d₁),(d₂)et(d₃).

b. Parmi les courbesC1,C2 etC3, quelle est la repré- sentation de la fonctionf?

Exercice 5032

On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombrexest donnée par la relation :

f(x) =3 4·x−3

2 −1

2·x+1 2

1. Déterminer l’image de−4 et de0par la fonctionf. 2. Simplifier l’expression de la fonctionf sur chacun des

trois intervalles ci-dessous : I=]

−∞;−1]

; J=[

−1 ; 2]

; K=[ 2 ; +∞[ 3. On munit le plan du repère(

O;I;J)

ci-dessous. Effec- tuer dans ce repère le tracé de la courbeCf représenta- tive de la fonction f.

-4 -3 -2 -1 I 2 3 4 5 6

-3 -2 -1 2 3 4

J

O

4. a. Graphiquement et sans justification, donner l’ensemble des solutions de l’équation f(x) =−1.

b. Algébriquement, justifier que l’équationf(x) =−1 n’admet aucune solution sur l’intervalle]

−∞;−1[ .

13. Un peu plus loin - propriétés algébriques de la valeur absolue :

Exercice 5015

On souhaite établir l’égalité suivante pour tous nombres réels xet y :

x×y=x×y

Pour cela, on raisonne par disjonction de cas sur la valeur de xet sur la valeur dey. Etablir cette relation dans chacun des cas suivant :

a. x∈R+ et y∈R+ b. x∈R+ et y∈R₋ c. x∈R₋ et y∈R+ d. x∈R₋ et y∈R₋ Exercice 5016

1. Pour tout nombres réelsxet y, établir l’inégalité : x+y²⩽(x+y)²

2. En déduire, pour tout réelsxet y, la comparaison sui- vante :

x+y⩽x+y

255. Exercices non-classés :

Exercice 6573

On considère la fonctionf définie surRpar l’expression : f(x) = 2·x²+ 4·x+ 1

x²+ 2·x+ 2

1. Déterminer les deux réelsaetb vérifiant l’identité : f(x) =a+ b

(x+ 1)2

+ 1

2. a. Déterminer le sens de variations de la fonction f sur l’intervalle[

−1 ; +∞[ .

b. Démontrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle]

−∞;−1] . Exercice 6755

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés(pixels)dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par

x= 0pour le blanc ; x= 1pour le noir ;

x= 0,01; x= 0,02et ainsi de suite jusqu’à x= 0,99par pas de 0,01 pour toutes les nuances intermédiaires(du clair au foncé).

L’imageA, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.

Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numé- riques dites “fonctions de retouche”.

Une fonctionf définie sur l’intervalle[ 0 ; 1]

est dite “fonction de retouche” si elle possède les quatre propriétés suivantes :

f(0) = 0; f(1) = 1;

f est continue sur l’intervalle[ 0 ; 1]

; f est croissante sur l’intervalle[

0 ; 1] .

Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f(x)> x, et éclaircie, sif(x)< x.

si f(x) =x², un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,2²= 0,04. L’image A sera transformée en l’image B ci-dessous.

Sif(x) =√

x, la nuance codée0,2prendra la nuance co- dée√

0,2≃0,45. L’imageAsera transformée en l’image C ci-dessous.

0,60 0,80 0,40 0,20

Image A

0,36 0,64 0,16 0,04

Image B

0,77 0,89 0,63 0,45

Image C On considère la fonctionf1 définie sur l’intervalle[

0 ; 1] par : f1(x) = 4x³−6x²+ 3x

1. Démontrer que la fonction f₁ est une fonction de re- touche.

2. Résoudre graphiquement l’inéquationf₁(x)⩽x, à l’aide du graphique donné ci-dessous, en faisant apparaître les pointillés utiles.

0 0.5 1

0.5

1 C_f

1

Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement.