SiA⊂Eon note f(A) ={f(x)|x∈A}, que l’on appellel’image deApar f

I : COURS

Dans ce qui suitIetJdésignent des intervalles non triviaux (i.e.non vides et non réduits à un point) deRetDdésigne une partie non vide deR.

Définition 1: (vocabulaire sur les applications)

SoitEetF deux ensembles.

XUneapplication f deEversFest un procédé qui associe à chaque élémentx∈Eun unique élément f(x)∈F.

f :

E −→ F

x 7−→ f(x) L’ensemble des applications deEdansFest notéF(E,F)ouF^E.

XSoit f :E→Fune application.Eest l’ensemble de départde f etFest l’ensemble d’arrivéede f. L’élément f(x)∈F est l’imagedex∈Eet l’élémentxest unantécédentdey=f(x).

SiA⊂Eon note f(A) ={f(x)|x∈A}, que l’on appellel’image deApar f.

XOn dit qu’une application f :E→F est unebijectionsi tout élémenty∈Fpossède un unique antécédentx∈E.

Dans ce cas l’application réciproque (notée f⁻¹:F →E) est l’application qui à tout y∈F associe son unique antécédentx=f⁻¹(y).

XSiE=D⊂ROn dit que f est unefonction de variable réelleet siF⊂Ron dit quef està valeurs réelles.

X Lacourbe représentative de f :D→Rdans un repère (O,~i,~j)du plan R², notéeCf, est l’ensemble des points M(x,f(x))avecx∈D. On parle également deCf comme de lacourbe d’équationy=f(x).

Remarque 1:

X En général, l’ensemble de départDpeut s’écrire comme une union d’intervalle. On se bornera donc parfois à étudier les fonctions f :I→RoùIest un intervalle deR.

X Il faut savoir déduire de la courbe de f la courbe des applications suivantes : Fonctions Appliquer àCf. . .

x7→f(x) +a la translation verticale de vecteura~j x7→f(a+x) la translation horizontale de vecteur−a~i x7→a−f(x) la symétrie verticale d’axeD : y=a/2 x7→f(a−x) la symétrie horizontale d’axeD : x=a/2

x7→ f(ax) la dilatation horizontale(x,y)7→(x/a,y) x7→a f(x) la dilatation verticale(x,y)7→(x,ay)

Exemple 1:

Déterminer l’ensemble de définition (notéD) des fonctions définies par les formules suivantes : a. f(x) =2x+3

x²−1 b. g(x) =√

x²+x+1

c. h(x) =ln(e^x−e^−x) d. fn(x) =1+ln(x+n),n∈N

Exemple 2:

Construire le graphe d’une fonction f définie sur[1,4]vérifiantf(1) =−2 et f(4) =5 dans chacun des cas suivants : a. ∃!x∈[1,4], f(x) =0 b. card{x∈[1,4], f(x) =0}=3

c. 0 admet exactement deux antécédents dans[1,4] d. [−3,6]⊂f([1,4])⊂[−3,7]

Exemple 3:

Représenter les courbes dex7→ −f(x)et dex7→ f(−x)si la courbe de f est donnée.

Représenter sur un même dessin les courbes dex7→√

xet des applications suivantes : x7→ −√

x ; x7→√

−x ; x7→√

x+a ; x7→√

x+a ; x7→√ a−x

Exemple 4:

Montrer que f :x7→ln(1+e^x)réalise une bijection deRsurR^∗₊et déterminer l’expression def⁻¹.

Définition 2: (opérations sur les fonctions)

Soit f :D→Retg:D→Rdeux applications avecD⊂Retλ ∈R.

XLa fonction somme f+gest la fonction à valeur réelle définie surDpar : ∀x∈D, (f+g)(x) =f(x) +g(x) XLa fonction produit f×g(notée aussi f g) est la fonction à valeur réelle définie surDpar :

∀x∈D,(f×g)(x) =f(x)×g(x)

XLa fonctionλ×f(notée aussiλf) est la fonction à valeur réelle définie surDpar : ∀x∈D,(λ×f)(x) =λ×f(x) XLa fonction|f|est la fonction à valeur réelle définie surDpar : ∀x∈D, (|f|)(x) =|f(x)|

XSig(x)6=0 pour toutx∈Dla fonction quotient f

g est la fonction à valeur réelle définie surDpar :

∀x∈D, f

g

(x) = f(x) g(x)

XOn dit que f etgsontégalessurD(et on note f =g) si : ∀x∈D, f(x) =g(x) Dans le cas contraire on écrira f 6=g.

XOn dit que f est inférieure ou égale àgsurD(et on note f6g) si : ∀x∈D, f(x)6g(x)

Remarque 2:

X En particulier, la notation f =0 signifie que la fonctionf est la fonction nulle :∀x∈D, f(x) =0.

X Bien comprendre la différence entre (f 6=0 surD) et(∀x∈D, f(x)6=0).

Définition 3: (parité et périodicité)

Soit f :D→Rune application avecD⊂R.

XOn dit que f estpairesi :∀x∈D, −x∈D et f(−x) =f(x) XOn dit que f estimpairesi :∀x∈D,−x∈D et f(−x) =−f(x)

XOn dit que f estT-périodiquesi :∃T>0, ∀x∈D,(x+T)∈D et f(x+T) =f(x) On dit alors queT est unpériodede f.

Remarque 3:

On noteCf la courbe représentative de f dans un repère(O,~i,~j)du plan.

X Si f est paire alorsCf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

X Si f est impaire alorsCf est symétrique par rapport à l’origineOdu repère.

Exemple 5:

Étudier la parité des fonctions définies par les formules suivantes.

a. f(t) =texp(−t) b.g(x) =

exp(x)−exp(−x) exp(x) +exp(−x)

c.h(x) =xe^−|x|

Exemple 6:

Montrer quex7→tanxetx7→ |sinx|sont périodiques.

Définition 4: (variations)

Soit f :D→Rune application avecD⊂R.

XOn dit que f estcroissantesurDsi :∀(x,y)∈D²,(x6y⇒f(x)6 f(y)) Pourstrictement croissanteon demande(x<y⇒ f(x)<f(y)).

XOn dit que f estdécroissantesurDsi :∀(x,y)∈D²,(x6y⇒f(x)> f(y)) Pourstrictement décroissanteon demande(x<y⇒ f(x)>f(y)).

XOn dit que f estmonotonesurDsi elle ne change pas de variation surD.

Cela revient à dire qu’elle est soit croissante surD, soit décroissante surD.

On définit de même une fonctionstrictement monotonesurD.

Exemple 7:

En revenant à la définition (donc sans dériver !) étudier les variations surRdes fonctions définies par les expressions suivantes :

a. h(x) =ln(x²+1) b. v(x) =exp(2−(x+1)²) c. f(x) = exp(x) 1+exp(x)

Définition 5: (majorants et minorants)

Soit f :D→Rune application avecD⊂R.

XOn dit que f estmajoréesurDsi :∃M∈R, ∀x∈D, f(x)6M On dit alors queMest unmajorantde f surD.

XOn dit que f estminoréesurDsi :∃m∈R, ∀x∈D, f(x)>m On dit alors quemest unminorantde f surD.

XOn dit que f estbornéesurIsi :∃M∈R,∀x∈D, |f(x)|6M

Cela revient au même de dire qu’elle est à la fois majorée et minorée surD.

XSi f est majorée surDlaborne supérieure de f surDest le réel sup

x∈D

f(x) =sup{f(x)|x∈D}

C’est le plus petit des majorants. On peut aussi le noter en abrégé sup

D

f. XSi f est minorée surDlaborne inférieure de f surDest le réel

x∈Dinff(x) =inf{f(x)|x∈D}

C’est le plus grand des minorants. On peut aussi le noter en abrégé inf

D f. Remarque 4:

X On dit qu’un réelyestatteint par f surDsi :∃x∈D, f(x) =y X Une borne supérieure atteinte est un appelée unmaximum(noté max

D f).

Une borne inférieure atteinte est appelée unminimum(noté min

D f).

On appelleextremumde f surDun réelyqui est soit un minimum, soit un maximum.

X On peut aussi parler demaximum local(ou deminimum local) quand il existe un intervalle ouvert non vide I⊂Dtel que f|Ipossède un maximum (ou un minimum).

Exemple 8:

Montrer que f :x7→e^−x2 est bornée surRpuis déterminer sup

R

f et inf

R f. Préciser s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum.

Définition 6: (continuité et dérivabilité)

Soit f :I→Rune application avecx0∈I.

XOn dit que f est continue enx0sif admet une limite finie enx0égale àf(x₀)(c’est à dire lim

x₀ f(x) =f(x₀)).

XOn dit que f est continue surIsi f est continue en tout pointx₀∈I.

L’ensemble des fonctions continues surIest notéC(I,R)ouC⁰(I,R).

XOn dit que f est dérivable enx₀si lim

x→x₀

f(x)−f(x₀)

x−x₀ =l∈R.

Le nombre réell= f⁰(x₀)est alors appelénombre dérivé def enx₀. XOn dit que f est dérivable surIsi f est dérivable en tout pointx0∈I.

Exemple 9:

Montrer quex7→ bxcn’est pas continue en 0.

Étudier la dérivabilité en 0 dex7→ |x|etx7→√

x. Justifier quex7→x√

xest dérivable en 0.

On admet que la fonction exponentielle est dérivable en 0 et que exp⁰(0) =1. Montrer que f :R→Rdéfinie ci-dessous est continue surR

f(x) =





 e^x−1

x six6=0 1 six=0

Propriété 1: interprétation graphique

Soitx₀∈Ret f:D→Rdéfinie au voisinage dex₀.

Si f est dérivable enx₀alorsCf admet une tangente au pointM(x₀,f(x₀))d’équationy=f⁰(x₀)(x−x₀) +f(x₀).

Le nombre dérivé f⁰(x₀)est alors le coefficient directeur de la tangente.

Théorème 1: (des valeurs intermédiaires (TVI))

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Exemple 10:

Montrer queP(x) =x³+x²+2x+1 admet au moins une racine dansR.

Théorème 2: (de la bijection)

Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalleIréalise une bijection deIsur l’ensemble f(I), qui est un intervalle, et sa réciproque est continue et strictement monotone sur f(I).

De plus les courbes de f et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Propriété 2:

Si une fonction f réalise une bijection deIsur f(I)et que f est dérivable surIavec f⁰(x)6=0 pour toutx∈Ialors la réciproque f⁻¹est dérivable surJet

∀y∈J, f⁻¹⁰

(y) = 1 f⁰(f⁻¹(y))

Exemple 11:

On noteJ=i

−π 2,π

2 h

. Étudier les variations de tan surJet en déduire que tan réalise une bijection sur deJsurRdont on explicitera la réciproque. Justifier que cette réciproque est dérivable surRet déterminer sa dérivée.

Théorème 3: (signe dérivéevsvariations)

Soit f :I→Rune application dérivable surI.

(1) f est croissante (resp. décroissante) surIsi et seulement sif⁰>0 (resp. f⁰60) surI.

(2) f est constante surIsi et seulement sif⁰=0 surI.

(3)Si f⁰>0 surIet que f⁰ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors f est strictement croissante surI.

Remarque 5:

L’hypothèseIintervalle est essentielle : la fonction inverse n’est pas décroissante surR^∗.

Exemple 12:

Déterminer le tableau de variations complet de f :R→Rdéfinie par f(x) =x³−3x.

Déterminer un intervalleIsur lequelf induit une bijection deIsur f(I)(on précisera f(I)).

Déterminer f(]−2,1])etf([−1,+∞[).

Exemple 13:

Montrer que la fonctionu:R^∗→Rdéfinie par

u(x) =arctan(x) +arctan 1

x

est constante surR^∗₊et surR^∗₋. Déterminer sa valeur sur ces deux intervalles. Est-elle constante surR^∗?

Définition 7: (primitive sur un intervalle) Soit f :I→Rune application.

On dit que l’applicationF:I→Rest uneprimitivede f surIsiFest dérivable surIet siF⁰(x) =f(x)pour toutx∈I.

Propriété 3: (primitives d’une fonction continue)

Soit f :I→Rune application continue surI.

(1) f admet une infinité de primitives surI.

(2)SiFest une de ces primitives, les autres sont les fonctions du typeF_c(x) =F(x) +coùc∈Rest une constante.

(3)Six₀∈Iety₀∈Ril existe une unique primitiveFde f surItelle queF(x₀) =y₀.

Exemple 14:

Soit f:R^∗→Rdéfinie parf(x) =2x. Déterminer les primitives de f surR^∗₊. Déterminer toutes les fonctionsF:R^∗→R dérivables surR^∗telles queF⁰(x) =f(x)pour toutx∈R^∗.

Exemple 15:

Dans chacun des cas suivants, préciser le domaine de définition, justifier l’existence d’une primitive et déterminer une primitive ((ω,φ)∈R^∗×Retn∈N) :

a. f :t7→sin(ωt+φ) b. g:x7→2^x c. f :x7→e^1/x2

x³ d. h:x7→(lnx)²

x e. f:x7→ cosx

√2+sinx f. f :x7→(2x+3)⁴

Définition 8: (intégrale d’une fonction continue) Soit f :I→Rune application continue surIet(a,b)∈I².

SiFest une primitive quelconque de f surIalors l’intégrale de f deaàbest le nombre réel Z _b

a

f(t)dt= [F(t)]^b_a=F(b)−F(a)

Exemple 16:

Calculer les intégrales suivantes.

a.

3 Z

1

2x²+x

3+1

dx b.

3 Z

1

x√ x

√5

xdx c.

1 Z

−1

xe^x2+1dx

d.

1 Z

0

2x

1+x²dx e.

e² Z

e

1

xlnxdx f.

3 Z

1

(2x−5)³dx

Propriété 4: (intégration par parties - IPP)

Soitu:I→Retv:I→Rdeux applications dérivables surIet de dérivées continues surI.

Pour tout(a,b)∈I², on a

Z b a

u⁰(t)v(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a− Z b

a

u(t)v⁰(t)dt

Exemple 17:

On pose, pour toutn∈N,I_n=

1 Z

0

xⁿe^−xdx. DéterminerIn+1en fonction deI_n. CalculerI₀et en déduireI₁etI₂.

Propriété 5: (unique primitive s’annulant ena)

Soit f :I→Rune fonction continue surIeta∈I.

Dans ce cas la fonctionF:I→RdéfinieF(x) =

x Z

a

f(t)dtest l’unique primitive de f surIqui s’annule ena.

Exemple 18:

Déterminer, à l’aide d’une intégration par partie, une primitive des fonctions suivantes :

a. f :t7→arctant b. g:x7→lnx c. f :x7→(1+x)e^x

Remarque 6:

X Siuest dérivable surI, alorsuest une primitive deu⁰surI. On notera parfois Z

f une primitive de f.

X SiUest une primitive deusurIetV une primitive devsurIalors(U+λV)est une primitive de(u+λv)surI.

TABLEAU DES DÉRIVÉES USUELLES

Iest un intervalle non trivial. Le tableau suivant indique dans quelles conditions la fonction f :I→Rest dérivable et précise sa dérivée. Remarquons que√

u=u¹² (siu>0) et que ¹_u=u⁻¹(siune s’annule pas).

Type de fonction f Dérivée f⁰ Conditions

e^u u⁰e^u udérivable surI

lnu u⁰

u udérivable surIetu>0 surI

√u u⁰

2√

u udérivable surIetu>0 surI uⁿavecn>2 n×u⁰×uⁿ⁻¹ udérivable surI u^αavecα∈R\N α×u⁰×u^α−1 udérivable surIetu>0 surI

1

u −u⁰

u² udérivable surIetu(x)6=0∀x∈I

cosu −u⁰sinu udérivable surI

sinu u⁰cosu udérivable surI

tanx 1

cos²x=1+tan²x x∈R\nπ

2+kπ;k∈Zo

arctanx 1

1+x² x∈R

√n

x

√n

x

nx x∈R^∗(nimpair) oux>0 (npair)

u+v u⁰+v⁰ u,vdérivables surI

u×v u⁰×v+u×v⁰ u,vdérivables surI u

v

u⁰×v−u×v⁰

v² u,vdérivables surIetv(x)6=0∀x∈I

v◦u (v⁰◦u)×u⁰ udérivable surIetvdérivable suru(I)

II : EXERCICES

Exercice 1: parité

Étudier la parité des fonctions définies par les formules suivantes (on précisera leur ensemble de définitionD).

a.cosh(x) =e^x+e^−x

2 b.sinh(x) =e^x−e^−x

2 c.u(x) =ln|x−1|−2 ln|x|+ln|x+1|

Exercice 2: parité dearctan

Justifier que tan est impaire surJ=i

−π 2,π

2 h

et en déduire que arctan est impaire surR.

Exercice 3: décomposition en éléments simples

On considère la fonction f définie surR\{−1}par f(x) =x²−2 x+1 . Déterminer des réelsa,betctels que :∀x6=−1, x²−2

x+1 =ax+b+ c x+1

Exercice 4: positions relatives

Dans chacun des cas suivants, calculer f(x)−g(x)surDet en déduire les positions relatives des courbes représentatives Cf etCg(on a(α,β)∈R²avecα<β).

a. f(x) = 1

1+x⁴, g(x) = 1

1+x², D=R b. f(x) =x^α ,g(x) =x^β ,D=]0,+∞[

Exercice 5: périodes

Montrer que les fonctions définies par les formules suivantes sont périodiques.

a. f(x) =cos(ωx+ϕ); ω>0 b. g(x) =|sin(3x)| c. h(x) =p x− bxc

Exercice 6: dessiner

Pour chaque question, faire le shéma de la courbe d’une fonction f vérifiant les conditions indiquées.

1. La fonction f est périodique, continue surRet dérivable surR\Z.

2. La fonction f est continue surR, nulle surR−, strictement positive sur]0,+∞[mais non dérivable en 0.

3. La fonction f est dérivable surR, nulle surR₋et strictement positive sur]0,+∞[.

Exercice 7: TVI

Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair admet une racine réelle.

Exercice 8: études de fonctions

Faire l’étude complète des fonctions suivantes (ensemble de définition, limites, dérivabilité, variations) : a. x7→f(x) =x²−x

x²−1 b. x7→g(x) =ln(e^x−x) c. x7→h(x) =√³ 2x−2

Exercice 9: suites implicites

Soit f :R^∗₊→Rdéfinie par f(x) =e^−x x .

1. Montrer que f réalise une bijection de]0,+∞[dans un intervalle que l’on précisera.

Donner le tableau de variation de f⁻¹.

2. Montrer que, pour toutn∈N^∗, l’équation e^−x=nxadmet une solution unique surR^∗₊(notéex_n).

3. Montrer que(x_n)converge vers 0.

4. Montrer que, pour toutn∈N^∗, l’équation e^−x=xe^(1−n)/nadmet une solution unique dansR^∗₊(notéey_n).

5. Montrer que(y_n)est décroissante, convergente et déterminer sa limite.

Exercice 10: fonctions définies par une intégrale

Justifier que la fonctiongdéfinie sur]0,1[parg(x) = Z x²

x

1

lntdtest dérivable et étudier ses variations.

On introduira une primitive F de t7→1/lnt.

Exercice 11:

Dans chacun des cas suivants, préciser le domaine de définition, justifier l’existence d’une primitive et déterminer une primitive sur un domaine adapté (n∈N) :

a. f :x7→x7→ 3

1+x² b. g:t7→tan²(t) c. h:x7→xⁿlnx

Exercice 12:

Calculer les intégrales suivantes.

a.

3 Z

1

2x³− 3

√x

dx b.

1 Z

0

x+3e^−2x

dx c.

3 Z

1

e^1−3xdx

d.

3 Z

1

e

√x

√x

!

dx e.

1 Z

0

e^x

2e^x−1dx f.

1 Z

0

xp

x²+3dx

g.

Z1

0

x²

√

x³+1dx h.

e² Z

e

dt t√

lnt

Exercice 13:

Décomposer la fonction f:x7→ 9

(x+1)(x−2)² sous la forme a x+1+ b

x−2+ c (x−2)². En déduire une primitiveFde f sur chacun de ses intervalles de définition.

Exercice 14:

On considère la fonction f :x7−→ln x−2

x+2

. 1. Déterminer l’ensemble de définitionDde f. 2. Étudier la parité de f.

3. Résoudre l’inéquation f(x)>1.