On considère la suite fn, où f n est définie sur par ℝ fnx=cosxnn

Semaine 10 : Suites et séries de fonctions PC

Année scolaire 2010/2011 Convergence simple des suites de fonctions suivantes:

1) I=[0,1], f _n : x xⁿ

2) I=[0,1[, f_n x: n²xⁿ1– x

3) I=[0,∞ [, f_n x: e^{– xn}

Soit f_n : ℝ , ℝ x ^1x2n1

1x²ⁿ n ∈ ℕ^*, montrer que la suite de fonctions f _n _converge simplement sur . Préciser la limite simple ℝ f. Courbe de f.

Soit f_n : ℝ , ℝ x ^2nx

1n2ⁿx² n ,∈ ℕ

1) Étudier la convergence simple sur de la suite ℝ f _n. 2) Calculer ∫

0 1

f_n et lim

n∞∫

0 1

f_n.

On considère la suite f_n_{, où} f _n est définie sur par ℝ f_nx=^cos^xnⁿ ; étudier la convergence simple de f _n_.

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions f_n _où f _n : x nx²e^–nx

1–e^{– x}^{2 et fn0=n}

Montrer que la série de terme général u_nx=ne^–nx est normalement convergente sur [a;∞[

pour tout a0. Calculer ∑

1

∞

ne^{– nx} pour x0.

a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ^*, pour tout x , ∈ ℝ ∣sinnx∣n∣sinx∣. b) En déduire la convergence normale sur de la série de fonctions ℝ ∑

n1 .

f_n où f_n est définie par : f_n : ℝ , ℝ x ^f_n^x = sinnx

n³sinx ^si sinx ≠ 0 et 0 si sinx = 0.

On considère la fonction g définie sur ]0 ;∞[ par gx=∑

n0

. –1ⁿ n!xn

1. Justifier que g est définie sur ]0 ;∞[ et déterminer le signe de g sur ]0 ;∞[

2. Calculer g1.

3. Montrer que g est continue sur ]0 ;∞[.

1. Justifier la définition de la fonction : f : ℝ , ℝ x ∑

1

∞ 1

ncosⁿxsinnx 2. Montrer que f est de classe C^{1 sur \} ℝ ℤ ; calculer f '.

1. En déduire f.

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Semaine 10 : Suites et séries de fonctions PC

Pour x , ∈ ℝ fx=∑

n=0

∞

e^{– xn}

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Prouver que f est continue sur D_f.

3. On pose S_N=∑

n=0

N e^{– xn} et v_xt=e^{– xt} pour t0. Déterminer un encadrement de S_N et en déduire un équivalent simple de f au voisinage de 0.

Soit f_n : [0 ;∞[ ,  ℝ x arctan xn

1nx . Montrer que la suite de fonctions f_n converge simplement sur [0 ;∞[.

Soit f_n : [0;1] , ℝ x 3ⁿx²ⁿ– x^2n1 n ,∈ ℕ 1. Étudier la convergence simple de la suite f _n_.

2. Calculer ∫

0 1

f_n et lim

n ∞∫

0 1

f_n.

________________________________________________________________________________

Éléments de correction:

I=[0,1], f_n : x xⁿ. Convergence simple vers fx=0 si x∈[0 ; 1[ et f1=1.

I=[0,1[, f_n x: n²xⁿ1– x^. _x^lim

∞

n²xⁿ=0 _donc f_{n  0.}

I=[0,∞ [, f_n x: e^{– xn . f}nx_n converge vers 1 _si x∈[0 ; 1[ , f_n1_n converge vers 1 e ^; x1, f_nx_{n  0.}

En résumé : f_n converge vers {^{1 si x10e si x1 si x∈[ 0=1;1 [}

Remarquer qu'il y a des points fixes : f_n1=1 _; f_n0=1 _et f_n–1=0_{. Pour} ∣x∣1, f_nx est équivalent à x et pour ∣x∣1,

lim

n∞ f_nx=1_.

Distinguer le cas x=0 du cas x≠0. Pour x≠0, f_nx~ 1 nx ^. I_n=∫

0 1

f_nxdx=ln2 2

f_nx=^cos^xn^{n  n∞lim fnx=e– x2/2}

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Semaine 10 : Suites et séries de fonctions PC

f_n : x nx²e^–nx

1–e^{– x}^{2 et fn0=n. Pour x≠0,}

nx²e^{– nx}

1–e^{– x}²= x²

1– e^{– x}²×ne^{– nx} _donc f_n est continue en 0 car lim

x0

1– e^{– x} x =1.

• _x∞^{lim fn0=∞}

• Pour x0, lim

n∞ne^{– nx}=0 _donc lim

n∞f_nx=0 _;

• Pour x0_, lim

n∞ne^{– nx}=∞ _donc lim

n∞ f_nx=∞

f_n converge simplement vers la fonction nulle sur ]0 ;∞ [.

u_nx=ne^–nx. Pour tout x dans [a;∞[, xa ⇔ –nx– na ⇔ e^{– nx}e^{– na}, ainsi ∣u_nx∣ne^–na . Or lim

n∞ne^{– na}=0 _donc ∑^un converge normalement sur [a;∞[.

Si on pose v_nx=e^{– nx}, il est clair que pour les mêmes raisons ∑^vn converge pour x0. On pose Vx=∑

1

∞

v_nx _et Vx= e^{– x} 1– e^{– x}

On peut appliquer le théorème de dérivation terme à terme :

∑1

∞ne^{– nx}=–V 'x= e^x

e^x–1²

La question a. se démontre par récurrence :

∣sinn1x∣=∣sinnxcosxsinxcosnx∣∣sinnx∣∣sinx∣n∣sinx∣∣sinx∣n1∣sinx∣. b. Pour tout x de ℝ tel que sinx≠0, ∀x∈ℝ^*, ∣f_nx∣^{ 1}

n^{2 ;} d'autre part, pour tout x de ℝtel que sinx=0 , ∣^f_n^x∣⁼⁰

On peut donc dire que ∥^fn∥∞ 1

n², ce qui assure la convergence normale de ∑^fn.

On pose u_n=1

ncosⁿxsinnx. u_n est impaire de classe C¹ sur ℝ, et de période . Convergence simple de la série : u_n0=u_n=0 et pour x dans ]0 ;[, ∣u_nx∣^{∣cosx∣}

n

n ^{, cvs OK.}

Convergence normale : u '_nx=cosx^{n –1}cosn1x. Soit a∈]^{0 ;}2[^,

pour tout x de [a;– a] , ∣u '_nx∣^∣cosx∣^{n –1}∣cosa∣^{n –1} donc ∥^{u '}n∥∞∣cosa∣^{n –1} d'où la

convergence normale sur [a;– a] et le théorème de dérivation terme à terme s'applique et f est de classe C^{1 sur} ]0 ;[ puis sur ℝ\ℤ puisque f est – périodique.

f 'x=∑

n=1

∞

cosx^{n –1}cosn1x=Re∑

n=1

∞

cosx^{n –1}e^{in1x}=Re1– cosx.e^{e2ix ix}^{=–1 pour x} dans ℝ\ℤ.

f C^{1 donc} fx=C – x et f^2^{=0 donc fx=2 – x} pour tout x de ]0 ;[.

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Semaine 10 : Suites et séries de fonctions PC

lim

n∞f_n0=

2 ^{et pour} x0, f_nx  arctan1 x

( comme pour x0, arctanx¹^=2 –arctanx, on conclut que f_n converge simplement vers

x 

2 –arctanx_. lim

n∞

2ⁿlnxnln3=–∞ _donc lim

n∞3ⁿx²ⁿ=0 _et lim

n ∞

f_nx=0 _car 0f _nx3ⁿx²ⁿ

∫

0 1

f_n~ 6ⁿ

2.4^{n  ∞}

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