PanaMaths Novembre 2008
On considère la fonction f définie sur \ par :
( )
21
f x 1
= x +
1. La fonction f admet-elle des primitives sur \ ?
2. Soit F une primitive de f sur \ . On définit les fonctions g et h par :
( ) ( )
( )
3
*
, 1 , 1
x g x F x
x h x F
x
+ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∀ ∈ = +
∀ ∈ =
\
\
Déterminer les variations des fonctions g et h.
Analyse
Si les variations de F sont connues, alors on aura facilement celles de g et h …
Résolution
1. La fonction f est une fonction rationnelle définie sur \(pour tout x réel, on a x2+ >1 0).
A ce titre, elle est continue sur tout intervalle de \, en particulier, sur \ lui-même.
En tant que fonction continue sur \, elle admet des primitives sur \.
La fonction f admet des primitives sur \ en tant que fonction continue sur cet ensemble.
2. Soit F une primitive de la fonction f sur \. Par définition, on a : ∀ ∈x \, 'F
( )
x = f x( )
.On a également : ∀ ∈x \, 1x2+ >0 et donc : ∀ ∈x \, 0f x
( )
> .On en déduit que la fonction F est strictement croissante sur \.
La fonction x→x3+1 est dérivable sur \ en tant que fonction polynôme. Sa dérivée est la fonction x63x2 qui prend des valeurs strictement positives pour tout réel x non nul et s’annule pour x=0. La fonction x→x3+1 est donc strictement croissante sur \. La fonction g est donc la composée de deux fonctions strictement croissantes sur \, elle est donc elle-même strictement croissante sur cet intervalle.
PanaMaths Novembre 2008
La fonction g est strictement croissante sur \.
La fonction inverse est strictement décroissante sur tout intervalle de son ensemble de définition \* et donc, en particulier sur \+*. La fonction h est donc la composée d’une fonction strictement décroissante sur \+* et d’une fonction (la fonction F) strictement croissante sur \. Elle est donc strictement décroissante sur \+*.
La fonction h est strictement décroissante sur \+*.
Résultat final
La fonction f définie sur \ par :
2
1 x 1
x + 6
admet des primitives sur \ en tant que fonction continue sur cet intervalle.
Les fonctions g et h définies respectivement sur \ et \+* par :
(
3)
: 1
: 1
g x F x h x F
x +
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ 6
6
sont alors respectivement strictement croissante et décroissante sur ces ensembles.
![La fonction logarithme népérien est une fonction continue et strictement croissante de ]0 ; +∞ [ dans IR.](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/8462070.1260509/cover.webp)
