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On considère la fonction f définie sur \

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(1)

PanaMaths

[1 - 3]

Mars 2009

On considère la fonction f définie sur \

*+

par :

( )

x x

f x = xx

Déterminer les limites de la fonction f en 0 (à droite) et en +∞ .

Analyse

On peut d’emblée utiliser l’écriture exponentielle (c’est l’approche que nous proposons). On peut également remarquer que pour tout réel x strictement positif, on a : x= x2.

Résolution

Pour tout réel x strictement positif, on a : f x

( )

=x x xx =e xlnxexln x =e xlnxe12xlnx.

On a la limite classique :

( )

0 0

lim ln 0

x x

x x

>

= .

Il vient alors :

0 0

lim 1 ln 0

2

x x

x x

>

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , puis, par composition :

1 ln 2 0 0

lim x x 1

x x

e

>

= .

On a ensuite : 0

( )

0

( ( )

2

)

0

( )

0

( )

0 0 0 0

lim ln lim ln lim 2 ln lim 2 ln 0

x x x X

x x x X

x x x x x x X X

> > > >

= = = = .

D’où, par composition : ln

0 0

lim x x 1

x x

e

>

= . Par différence, il vient finalement :

0

( )

0

lim 0

x x

f x

>

=

En +∞, on peut facilement comparer les comportement des fonctions 1

x62x et x6 x. D’où la factorisation :

( )

xlnx 12xlnx 12xlnx xlnx 12xlnx 1 12xlnx x 12x lnx 1 12xlnx 12x 2x 1 lnx 1

f x e e e e e e e e

⎤ ⎡

⎡ ⎤

= − = ⎢ − =⎥ ⎢ − =⎥ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2)

PanaM

On a im On en d

• P

Il vient

En guis

Maths

mmédiateme déduit :

Par compos lim 1

2

x x

→+∞

⎛ ⎛

⎜ ⎜⎝

1 2

lim 2 x

x

x e

→+∞

⎛⎜

⎜⎝

alors, par p

e de complé ent : lim

x→+∞

⎛⎜

sition : lim

x→+∞

2 1 lnx x

− ⎟⎞⎠

1 ln

1

x x

− ⎟

− =⎟⎠

produit :

ément, nous

Courbe re

2 1 0

x

− = −⎞⎟⎠

1 ln 2x x

e = +∞

⎞= −∞

⎟⎠ pui

−1

x→li

s fournisson

eprésentativ

[2 - 3]

1 1

− = − et

x

∞ ;

s, par comp

( )

m f x

→+∞ = −

ns la courbe

ve de la fonc

lim 1 ln 2

x x

→+∞

⎛⎜

position : lim

x→

−∞

e représentat

ction x6x

x⎞ = +∞⎟⎠ .

1 2

2 1 ln

m

x

e x

→+∞

tive de f :

x x

xx .

Mar

n

0

x = et, en

rs 2009

nfin :

(3)

PanaMaths

[3 - 3]

Mars 2009

Résultat final

Pour la fonction f définie sur \*+ par f x

( )

=x x xx, on a :

0

( )

0

lim 0

x x

f x

>

= et lim

( )

x f x

→+∞ = −∞

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