PanaMaths
[1 - 3]Mars 2009
On considère la fonction f définie sur \
*+par :
( )
x xf x = x − x
Déterminer les limites de la fonction f en 0 (à droite) et en +∞ .
Analyse
On peut d’emblée utiliser l’écriture exponentielle (c’est l’approche que nous proposons). On peut également remarquer que pour tout réel x strictement positif, on a : x= x2.
Résolution
Pour tout réel x strictement positif, on a : f x
( )
=x x− xx =e xlnx−exln x =e xlnx−e12xlnx.On a la limite classique :
( )
0 0
lim ln 0
x x
x x
→>
= .
Il vient alors :
0 0
lim 1 ln 0
2
x x
x x
→>
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ , puis, par composition :
1 ln 2 0 0
lim x x 1
x x
→ e
>
= .
On a ensuite : 0
( )
0( ( )2)
0( )
0( )
0 0 0 0
lim ln lim ln lim 2 ln lim 2 ln 0
x x x X
x x x X
x x x x x x X X
→ → → →
> > > >
= = = = .
D’où, par composition : ln
0 0
lim x x 1
x x
→ e
>
= . Par différence, il vient finalement :
0
( )
0
lim 0
x x
→ f x
>
=
En +∞, on peut facilement comparer les comportement des fonctions 1
x62x et x6 x. D’où la factorisation :
( )
xlnx 12xlnx 12xlnx xlnx 12xlnx 1 12xlnx x 12x lnx 1 12xlnx 12x 2x 1 lnx 1f x e e e e e e e e
⎛ ⎞
⎛ − ⎞ −
− ⎡ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎤ ⎡ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎤
⎡ ⎤
= − = ⎢ − =⎥ ⎢ − =⎥ ⎢ − ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
PanaM
On a im On en d
• P
•
Il vient
En guis
Maths
mmédiateme déduit :
Par compos lim 1
2
x x
→+∞
⎛ ⎛
⎜ ⎜⎝
⎝
1 2
lim 2 x
x
x e
⎛⎜
⎝
→+∞
⎛⎜
⎜⎝
alors, par p
e de complé ent : lim
x→+∞
⎛⎜
⎝
sition : lim
x→+∞
2 1 lnx x
− ⎟⎞⎠
1 ln
1
x x
− ⎟⎞
⎠ ⎞
⎟
− =⎟⎠
produit :
ément, nous
Courbe re
2 1 0
x
− = −⎞⎟⎠
1 ln 2x x
∞e = +∞
⎞= −∞
⎟⎠ pui
−1
x→li
s fournisson
eprésentativ
[2 - 3]
1 1
− = − et
x
∞ ;
s, par comp
( )
m f x
→+∞ = −
ns la courbe
ve de la fonc
lim 1 ln 2
x x
→+∞
⎛⎜
⎝
position : lim
x→
−∞
e représentat
ction x6x
x⎞ = +∞⎟⎠ .
1 2
2 1 ln
m
x
e x
⎛ −⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→+∞
tive de f :
x x
x − x .
Mar
n
0
x = et, en
rs 2009
nfin :
PanaMaths
[3 - 3]Mars 2009
Résultat final
Pour la fonction f définie sur \*+ par f x
( )
=x x − xx, on a :0
( )
0
lim 0
x x
→ f x
>
= et lim
( )
x f x
→+∞ = −∞
