1. (Esc01) Montrer la convergence et préciser la limite des suites
1 n!
n
X
k=1
k!
!
n∈N∗
,
n
X
k=0
1
n k
!
n∈N
,
n
X
k=1
k2 n3
!
n∈N∗
2. (Esc02)Soit (xn)n∈
N une suite de nombre réels. On sup- pose que les trois suites extraites
(x2n)n∈
N, (x2n+1)n∈
N, (x3n)n∈
N, sont convergentes. Montrer que(xn)n∈
Nest convergente.
3. (Esc03)On considère des réelsa, b, et des suites(an)n∈N, (bn)n∈N vériant
0 < a < b, a0=a, b0=b an+1 = an+bn
2 , bn+1=p an+1bn
Montrer que les suites sont adjacentes, exprimer la limite commune lorsquea=bcosα.
4. (Esc04)Pour toutx≥0, on dénit des suites(xn)n∈N∗ et (yn)n∈N∗ par
xn= s
1 + r
2 + q
3 +· · ·+√ n+x
De plus,yn est obtenu en remplaçant dansxn lende la dernière racine par2n.
a. Montrer que (xn)n∈N∗ est croissante à partir d'un certain rang.
b. Montrer que (yn)n∈N∗ est décroissante à partir d'un certain rang. En déduire la convergence de (xn)n∈N∗. On noteϕ(x)sa limite.
c. Montrer que la fonction ϕest croissante. Montrer qu'en fait elle est constante.
5. (Esc05)Soitα∈R\πZ.
a. Factoriser
cos((n+ 1)α)−cos((n−1)α) sin((n+ 1)α)−sin((n−1)α).
b. Montrer que la convergence de l'une des deux suites (cosnα)n∈N,(sinnα)n∈Nentraine la convergence de l'autre. Montrer que la convergence simultanée des deux est impossible. Que peut-on en conclure ? 6. (Esc06)Soit(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites d'éléments de
[0,1]telles que(unvn)n∈Nconverge vers 1. Montrer que (un)n∈N et(vn)n∈Nconvergent.
7. (Esc07)Pour tout naturel n≥2, on posexn= 1 +n1n. a. Montrer que
∀α∈]0,1[, (1−α)n>1−nα.
b. Avecα=n12, montrer que(xn)n∈Nest croissante.
c. Avecα= 6n+11 , montrer que (xn)n∈Nest majorée.
Conclure.
8. (Esc08)Théorème de Césaro.
Soit(xn)n∈N∗une suite de réels et(yn)n∈N∗ dénie par :
∀n∈N∗, yn =x1+x2+· · ·+xn
n .
a. Montrer que si (xn)n∈N∗ converge vers 0 alors (yn)n∈N∗ converge vers 0.
b. Montrer que si (xn)n∈N∗ diverge vers +∞ alors (yn)n∈N∗ diverge vers+∞.
c. Montrer que(xn)n∈N∗croissante entraine(yn)n∈N∗ croissante.
d. Montrer que si (xn)n∈N∗ converge, alors (yn)n∈N∗ converge et vers la même limite.
e. On suppose que(xn+1−xn)n∈N∗ converge vers un réell. Montrer que(xnn)n∈N∗ converge versl. f. Soit(un)n∈Nune suite de réels strictement positifs
telle que(uun+1
n )n∈Nconverge versl >0. Montrer que(u
1
nn)n∈Nconverge versl. Montrer que la réciproque est fausse en considérant une suite (un)n∈N telle que
u2p=2p
3p, u2p+1=2p+1 3p . g. Déterminer les limites des suites
( 2n
n 1n
)n∈N∗, ((1×3× · · · ×(2n−1))1n
n )n∈N∗
((n(n+ 1)· · ·(2n))1n
n )n∈N∗, (n(n!)−n1)n∈N∗
(xn1 +xn2 +· · ·+xnp)1n
n∈N
avec lesxi>0 9. (Esc09)Soit(un)n∈Nune suite de nombres réels tels que
∀(k, n)∈N∗2: 0≤un ≤ k n+1
k Montrer que(un)n∈Nconverge vers0. 10. (Esc10)Soit(un)n∈
Nune suite de nombres réels telle que u2n
n∈N et u3n
n∈N convergent. Montrer que (un)n∈
converge. N
11. (Esc11) Soit (un)n∈N une suite réelle convergente. Soit (sn)n∈Ndénie par
sn= 1 2n
n
X
k=0
n k
uk. a. Soitk∈N, montrer que
1 2n
n k
n≥k
−→0
b. Montrer que(sn)n∈Nconverge vers la même limite que(un)n∈N.
12. (Esc12)Montrer que, de toute suite réelle non majorée, on peut extraire une suite strictement croissante. Générali- ser avec l'exercice29(Esc29).
Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites de réels
13. (Esc13)La moyenne harmonique de deux réels strictement positifsxety est le réelhtel que
1 h= 1
2 1
x+1 y
Comparerhavec la moyenne habituellemdexety. On dénit deux suites(un)n∈
N et (vn)n∈
N paru0 >0, v0>0et
un+1=un+vn
2 , vn+1= 2unvn
un+vn
Montrer qu'elles convergent vers la même limite.
14. (Esc14) Soit (un)n∈N une suite bornée de nombres réels telle que
∀n∈N: 2un≤un+1+un−1
Montrer que la suite (un+1−un)n∈N est monotone de limite 0 puis que la suite (un)n∈N est décroissante et convergente. Généraliser avec :
un+3−3un+2+ 3un+1−un≥0 puis
un+p− n
1
un+p−1+· · · + (−1)p−1
n p−1
un+1+ (−1)pun≥0 15. (Esc15)Montrer que :
n
X
k=1
1 k2
!
n∈N∗
→ π2 6 ⇒
n
X
k=0
1 (2k+ 1)2
!
n∈N∗
→ π2 8 16. (Esc16)Montrer que
(1 n2
n
X
k=1
bkxc)n∈N→ x 2 17. (Esc17)Pour tout naturel n≥1, on pose
un = 1 +1
2+· · ·+ 1 n−lnn
a. Montrer que : ln(1 +x)≤xpour tous les x >−1. b. Déduire du a. que :
∀k∈N∗,ln(k+ 1)−ln(k)≤ 1 k puis montrer queun ≥0pour toutn∈N∗. c. Montrer que (un)n∈
N∗ est décroissante.
(formerun+1−un et considérer n+11 ) En déduire que(un)n∈
N∗ est convergente. On note γsa limite (constante d'Euler) et
an = 1−1 2 +1
3 − · · ·+(−1)n+1 n sn = 1 +1
2 +1
3 +· · ·+1 n
Montrer quea2p =s2p−sp pour tout p∈N∗. En déduire la convergence et la limite de(an)n∈
N∗.
18. (Esc18)Une suite (xn)n∈
N de réels est dite de Cauchy si et seulement si, pour toutε >0, il existe un entier Nε
tel que :
∀(p, q)∈N2: p > Nε
q > Nε )
⇒ |xp−xq|< ε
a. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy.
b. Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.
c. En utilisant le théorème de Bolzano-Weirstrass, montrer que toute suite de Cauchy est convergente.
19. (Esc19) Soitp naturel xé et x1,· · ·, xp et α1, . . . αp des réels strictement positifs xés. Montrer que
p
X
k=1
αkxnk
!n1
n∈N
→max(x1· · ·, xp)
p
X
k=1
αkx−nk
!−n1
n∈N
→min(x1· · · , xp)
20. (Esc20) Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels. En utilisant la décomposition en somme de deux carrés (résultant de la méthode de factorisation cano- nique), montrer que
u2n+unvn+v2n
n∈N→0⇒
((un)n∈N→0 (vn)n∈
N→0 21. (Esc21)Calculer la limite de la suite
n
Y
k=1
(1 + 1 k(k+ 2))
!
n≥1
.
En déduire la convergence de
n
Y
k=1
(1 + 1 k(k+ 1))
!
n≥1
.
22. (Esc22) Soit (un)n∈N une suite de nombres réels stricte- ment positifs telle que(uun+1
n )n∈N→l. Montrer que, l <1⇒(un)n∈N→0
l >1⇒(un)n∈N→+∞.
23. (Esc23) Soit (un)n∈N une suite de nombres réels stricte- ment positifs telle que(un1n)n∈Nconverge vers un réell. Montrer que, sil <1,(un)n∈Nconverge vers 0 et que si l >1,(un)n∈Ndiverge vers+∞.
24. (Esc24)Soita1, a2,· · ·, apréels. Montrer que
p
X
i=1
ani
!
n∈N
→0⇒(∀i∈J1, pK, |ai|<1). 25. (Esc25)On admet que
n
X
k=0
1 k!
!
n∈N
→e
On pose, pour tout entiern, an=n!
n
X
k=0
1
k!, pn=n!e−an Montrer que
1
n+ 1 < pn < 1 n
Que peut-on en déduire pour la suite despn? Montrer que
(nsin(2πen!)n∈N→2π 26. (Esc26)Déterminer les limites des suites
n
X
k=1
√ 1 n2+ 2k
!
n∈N∗
,
n2
X
k=1
√ 1 n2+ 2k
n∈N∗
,
1 n3
n
X
k=1
kbkxc
!
n∈N∗
Pour la dernière suite,xest un réel xé>0.
27. (Esc27) Soit 0 < u0 < u1 et 0 < r < 1. On dénit une suite(un)n∈
Npar récurrence en posant, pourn≥0, un+2=un+1+rn+1un
Montrer que la suite est convergente.
28. (Esc28)Montrer que les suites dénies par un=
n
X
k=1
√1 k−2√
n+ 1, vn =
n
X
k=1
√1 k−2√
n
sont adjacentes.
29. (Esc29) Limite supérieure, limite inférieure d'une suite bornée. Soit(xn)n∈Nune suite bornée. On note
Vn = sup{xk, k≥n}, vn= inf{xk, k≥n}
a. Montrer (Vn)n∈
N décroissante, (vn)n∈
N croissante et que les deux sont convergentes. Leurs limites sont appelées respectivement limite supérieure et limite inférieure de la suite bornée.
b. Montrer que s'il existe un n tel que {xk, k≥n}
n'admette ni plus petit ni plus grand élément alors on peut extraire de(xn)n∈
Nune suite monotone.
c. Montrer que si, pour toutnentier,{xk, k ≥n}ad- met un plus petit et un plus grand élément, alors on peut extraire des suites croissantes et décrois- santes. Conclure avec12(Esc12) que de toute suite, on peut extraire une suite monotone.
30. (Esc30)Montrer que, pour tout réelxet tout entier naturel n, la suite
(cos(n!πx)2m
m∈N
converge. On note ln(x) sa limite. Montrer que (ln(x))n∈
N converge. On note ϕ(x) sa limite. Préciser la fonctionϕ.
31. (Esc31)Soita >0xé.
a. Vérier que , pour toutn∈N∗, x+x2+· · ·+xn=a
admet une unique solution dans]0,+∞[ notéexn. b. Montrer que(xn)n∈N∗est décroissante. Préciser sa
limite.
32. (Esc32)Montrer que(un)n≥2 et(vn)n≥2 sont adjacentes :
∀n≥2, un=
n−1
X
k=1
1
k2(k+ 1)2, vn=un+ 1 3n2. 33. (Esc33)Déterminer la limite de(vn)n∈
N∗ avec
∀n∈N, vn= 1 + 3 +· · ·+ (2n+ 1) 1 + 2 +· · ·+n .
34. (Esc34)Pourn∈N∗, on poseun =nn1−1. En utilisant la formule du binôme, montrer queu2n≤n2. En déduire que
n1n
n∈N∗ converge vers1. Quelle est la démonstration normale ?
35. (Esc35)Soit(un)n∈Nune suite de nombres réels tels que
∀n∈N, un+2≤ un+un+1
2 .
Pour toutn∈N, on posevn = max(un, un+1). a. Montrer que(vn)n∈Nest décroissante.
b. On suppose(un)n∈Nminorée, montrer que(vn)n∈N est convergente. On notevsa limite.
c. On suppose(un)n∈
Nminorée etv= 0. Montrer que
|un| ≤vn−1. En déduire(un)n∈
N→0. d. Montrer que(un)n∈
N minorée⇒(un)n∈
N→v. 36. (Esc36)Soit(εn)n∈Nune suite de−1et+1. On lui associe
(an)n∈Ndénie par
∀n∈N, an= ε0
1 +ε0ε1
2 +· · ·+ε0ε1· · ·εn
2n . a. Montrer que(an)n∈N converge vers un élément de
[−2,+2](notéa).
(Utiliser l'exercice re17 de la feuilleCorps des réels) b. Réciproquement, montrer que touta∈[−2,+2]est
la limite d'une suite du type précédent.
c. Vérier que
∀h∈h
−π 4,π
4 i
, sin(π
4 +h) =
r1 + sin(2h)
2 .
Soit (εn)n∈N et (an)n∈N dénis comme au début.
Pour toutn∈N, on dénit
xn=ε0 s
2 +ε1 r
2 +· · ·+εn−1 q
2 +εn√ 2, yn= 2 sin(π
4an).
Montrer que (xn)n∈N = (yn)n∈N. En déduire que (xn)n∈N converge.
Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites de réels
37. (Esc37)Soita∈R. Sous quelle condition sur a, une suite (un)n∈N vériant
∀n∈N, un+2= 2aun+1−un
est-elle bornée ? Et sia∈C?
38. (Esc38) Soit (kn)n∈N une suite d'entiers supérieurs ou égaux à2. On dénit(Sn)n∈Npar :
∀n∈N, Sn=
n
X
i=0
1 k0k1· · ·ki
.
a. Montrer que(Sn)n∈Nconverge. On notelsa limite.
b. Montrer que(kn)n∈Nstationnaire entrainel∈Q.
c. Montrer que (kn)n∈N strictement croissante en- trainelirrationnel.
39. (Esc39) Soit (un)n∈N telle que pour tout k ∈ N\ {0,1}, la suite (unk)n∈N converge. La suite (un)n∈N converge- t-elle ?
40. (Esc40)Soitu0>0 et(un)n∈Nvériant
∀n∈N, un+1= v u u t
n
X
k=1
uk.
Exprimerun+1 avecun et prouver(un)n∈N→+∞.
1. pas de correction pour Esc01.tex 2. pas de correction pour Esc02.tex 3. pas de correction pour Esc03.tex 4. (Csc04)Pour toutn∈N∗, on dénit
fn :
([0,+∞[→R t7→√
n+t
On pose aussiFn=f1◦f2◦ · · · ◦fn. Les fonctionsfn et Fn sont croissantes pour tous lesn.
Pourx≥0, on a doncxn=Fn(x). a. Alors
xn+1=Fn(fn+1(x)) Pour xxé, la suite (fn(x))n∈
N diverge vers +∞. Donc pournassez grand
x≤fn+1(x)
On en déduit que (xn)n∈N est croissante à partir d'un certain rang.
b. Avec ces notations, leyn déni par l'énoncé s'écrit yn =Fn(x+n)
Alors, pour toutn,xn ≤yn carFn est croissante.
De plus
yn+1=Fn(fn+1(x+n+ 1)) =Fn(√
x+ 2n+ 2) Pourxxé,
x+n−√
x+ 2n+ 2
n∈N→+∞
Donc pournassez grand,
√x+ 2n+ 2≤x+n⇒yn+1≤yn
Si on se place assez loin pour que la suite desxnsoit croissante et celle des yn décroissante, n'importe quelynmajore(xn)n∈
Nsauf pour un nombre ni de termes. Ceci assure que(xn)n∈
N est majorée donc convergente. On noteϕ(x)sa limite.
c. Supposons 0 ≤x≤y. CommeFn est croissante : Fn(x) ≤ Fn(y). Par passage à la limite dans une inégalité, on obtientϕ(x)≤ϕ(y)doncϕcroissante.
Pour montrer qu'elle est constante, on remarque que (en multipliant par la quantité conjuguée)
0≤p
k+y−√
k+x≤y−x 2√
k On en déduit par récurrence que
0≤Fn(y)−Fn(x)≤ y−x 2n√
n!
Par passage à la limite dans une inégalité, on ob- tientϕ(x) =ϕ(y).
5. pas de correction pour Esc05.tex 6. pas de correction pour Esc06.tex 7. (Csc07)
a. Soitf dénie parf(x) = (1−x)n+nxdans[0,1[. f0(x) =n −(1−x)n−1+ 1
>0.
Donc, pour toutα∈]0,1[,
f(α)> f(0)⇒(1−α)n >1−nα.
b. Considérons xn xn−1
= n+ 1 n
n+ 1 n−1
n−1
= (n+ 1)n n(n−1)n−1. Avecα=n12, l'inégalité devient
(1− 1
n2)n >1− 1
n ⇒ (n−1)n−1(n+ 1)n n2n−1 >1
⇒ (n+ 1)n
n ≥ n2(n−1) (n−1)n−1
⇒ xn
xn−1 ≥ n2(n−1) (n−1)n−1
1 (n−1)n−1
= n
n−1
2(n−1)
≥1.
Donc la suite est croissante.
c. Avecα=6n+11 , l'inégalité devient (1− 1
6n+ 1)n>1− n 6n+ 1
⇒ 6n
6n+ 1 n
> 5n+ 1 6n+ 1
⇒
6n+ 1 6n
6n
<
6n+ 1 5n+ 1
6
La suite(
6n+1 5n+1
6
)n∈Nconverge vers(65)6donc elle est bornée. On en déduit que la suite extraite crois- sante (xn)n∈6N est convergente. Cela entraine la convergence de la suite complète car elle est crois- sante.
8. (Csc08)
a. Supposons d'abordxn≥0 pour tous lesn. Une inégalité à la Cesaro est obtenue en coupant arbitrairement une somme .
Soitm∈N∗, pour toutn≥m: 0≤yn = 1
n(x1+· · ·+xm) +1
n(xm+1+· · ·+xn)
≤ 1
n(x1+· · ·+xm)+n−m
n max(xm+1,· · ·, xn).
Il est important de comprendre que l'on ne peut pas conclure que la suite converge vers 0 en utilisant les théorèmes habituels (encadrement ou passage à la limite dans une inégalité). Il est impératif d'utiliser la dénition de la convergence et des justications soigneusement ordonnées.
Pour toutε >0.
1. Comme(xn)n∈N∗→0, il existemtel que k > m⇒xk ≤ ε
2
Donc, pourn > m,max(xm+1,· · · , xn)≤ ε2.
Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites de réels : corrigés
2. Pour lemxé en 1., x1+· · ·+xm
n
n∈N∗
→0 Il existe donc Nε> mtel que
n≥Nε⇒ x1+· · ·+xm
n ≤ ε
2. Comme n−mn ≤1, l'inégalité de Cesaro conduit à
n≥Nε⇒0≤yn ≤ε 2 +ε
2 =ε ce qui permet de conclure.
Pour une suite qui n'est pas positive, on applique le résultat que l'on vient de montrer à la suite des va- leurs absolues et on conclut par encadrement avec
|yn| ≤ |x1|+· · ·+|xn|
n .
b. Dans le cas où(xn)n∈N→+∞, on écrit une autre inégalité à la Cesaro :
yn≥ x1+· · ·+xm
n +n−m
n min(xm+1,· · ·xn).
SoitAun réel quelconque.
1. Il existemtel que
x1+· · ·+xm≥0 et (k > m⇒xk>2A). Pour un telm:
n≥m⇒yn ≥n−m m 2A.
2. Comme la suite n−mn
n∈N∗ converge vers 1, il existeNA tel que
n≥NA⇒ n−m n ≥ 1
2. L'inégalité de Cesaro conduit à
n≥max(NA, m)
⇒yn ≥n−m
m 2A≥1
22A=A.
ce qui permet de conclure.
c. Pour montrer la croissance, considéronsyn+1−yn
en supposant(xn)n∈
N∗ croissante.
yn+1−yn= ( 1 n+ 1−1
n)(x1+· · ·+xn)+ 1 n+ 1xn+1
=− 1
n(n+ 1)(x1+· · ·+xn
| {z }
≤nxn
) + 1 n+ 1xn+1
≥ xn+1−xn
n+ 1 ≥0.
d. Si (xn)n∈
N∗ →x, appliquons le résultat de a. à la suite(xn−x)n∈
N∗ qui converge vers 0. Or (x1−x) +· · ·+ (xn−x)
n = x1+· · ·+xn
n −x.
Donc,
(x1−x) +· · ·+ (xn−x) n
n∈N∗
→0
⇒
x1+· · ·+xn n
n∈N∗
→x.
e. On applique le résultat de la question d. à la suite (xn+1−xn)n∈
N∗.
f. On applique le résultat de la question e. à la suite (lnun)n∈
N∗ car un+1
un →l >0⇒lnun+1−lnun→lnl (continuité deln). On termine avec la continuité de exp:
1
nlnun→l⇒u
1
nn →el.
Contre exemple de l'énoncé pour la réciproque : La suiteun1
n converge car u
1 2p
2p = r2
3 etu
1 2p+1
2p+1= r2
322p+11 → r2
3
mais u2p+1
u2p
= 2→2.
g. Toutes les suites sont de la forme un1n. On utilise systématiquement le résultat de la question f. en présentant les résultats dans un tableau
un
un+1
un limite
2n n
22n+1n+1 4 1 3 · · ·(2n−1)
nn
2n+1
n+1(n+1n )n 2 e n(n+ 1)· · ·(2n)
nn 22n+1n (n+1n )n+1 4 e nn
n! (n+1n )n e
9. pas de correction pour Esc09.tex
10. (Csc10)On notel2etl3respectivement la limite des carrés et des cubes. Sil26= 0, la suite ne s'annule plus à partir d'un certain rang et on peut considérer
(un)n∈
N= u3n
n∈N
1 u2n
n∈N
→ l3
l2
Sil2= 0, on montre directement avec la dénition que u2n
n∈N→0⇒(un)n∈
N→0 11. pas de correction pour Esc11.tex
12. (Csc12)Soit(xn)n∈
Nune suite non majorée.
Notons i0 = 0. Comme la suite n'est pas majorée, il existe un entier natureli1> i0tel que
xi1>max(xi0,1)
On construit ainsi par récurrence une suite d'entiers na- turelsi0< i1<· · ·. La construction de l'entier suivant ip étant justiée par le raisonnement suivant.
Comme la suite n'est pas majorée, l'ensemble des valeurs {xk k > ip}
n'est pas majoré non plus donc max(xip, p+ 1)
n'est pas un majorant de cet ensemble. Il existe donc ip+1 tel que
ip< ip+1 et xip+1≥max(xip, p) Ceci assure que la suite extraite
xip
p∈N
est croissante et diverge vers+∞. 13. (Csc13)Montrons queh < m.
m−h= x+y
2 − 2xy
x+y = (x−y)2 2(x+y) >0.
On remarque queun+1 et vn+1 sont respectivement la moyenne arithmétique et harmonique de un et vn. On en déduit quev1 < u1 et que cette identité se propage.
De plus
vn< vn+1< un+1= 1
2(un+vn)
⇒un+1−vn+1 <1
2(un+1−vn+1) On en déduit que les suites sont adjacentes donc elles convergent vers la même limite.
14. pas de correction pour Esc14.tex 15. pas de correction pour Esc15.tex
16. (Csc16)Formons l'encadrement de dénition de la partie entière
kx−1<bkxc ≤kx et sommons de1à n.
n
X
k=1
k
!
x−n <
n
X
k=1
bkxc ≤
n
X
k=1
k
! x
⇒ n+ 1 n
x 2 − 1
n < 1 n2
n
X
k=1
bkxc ≤ n+ 1 n
x 2 carPn
k=1k=n(n+1)2 . On conclut par le théorème d'en- cadrement car n+1n
n∈N→1. 17. pas de correction pour Esc17.tex 18. (Csc13)Suites de Cauchy.
a. Soit(xn)n∈
Nune suite qui converge vers un réelx. Pour toutε >0, il existe un entier Nεtel que· · ·. Alors :
p > Nε
2
q > Nε
2
)
⇒ |xp−xq| ≤ |xp−x|+|x−xq| ≤ε Donc la suite est de Cauchy.
b. Supposons(xn)n∈
Nde Cauchy. Il existeN1tel que p > N1
q > N1 )
⇒ |xp−xq| ≤1 En particulier, pour toutn≥N1 :
|xn| ≤ |xn−xN1|+|xN1| ≤1 +|xN1|.
On a majoré ainsi tous les termes sauf ceux d'indice strictement plus petit que N1 qui sont en nombre ni. La suite est donc bornée.
c. Supposons (xn)n∈
N de Cauchy. Elle est bornée d'après la question précédente. Le théorème de Bolzano-Weierstrass entraine qu'il existe une par- tie innieIdeNtelle que la suite extraite(xn)n∈I converge. Soitxsa limite.
Montrons que la suite complète (xn)n∈
N converge versx. Pour toutε >0,
il existeNc,ε2 attaché à la propriété de Cauchy, il existeNe,ε2 attaché à la convergence de la suite
extraite.
Soitn∈Nplus grand que les deux. Il existem∈ I tel quen≤m. Alors
|xn−x| ≤ |xn−xm|+|xm−x| ≤ ε 2+ε
2 =ε avec|xn−xm| ≤ ε2 carmet n≥Nc,ε2,
avec|xm−x| ≤ ε2 carm≥Ne,ε2. 19. pas de correction pour Esc19.tex
20. (Csc20)En considérant le début d'un carré : (un+1
2vn)2+3
4v2n=u2n+unvn+vn2
permet de majorer les deux et de conclure par le théo- rème d'encadrement.
21. pas de correction pour Esc21.tex 22. pas de correction pour Esc22.tex 23. pas de correction pour Esc23.tex
24. (Csc24) Si |ai| < 1, la suite géométrique de raison ai converge vers 0, on peut donc l'éliminer de la somme sans changer la condition.
Supposons que tous lesaiaient un module≥1. En met- tant en facteur celui dont le module est le plus grand, on montre que la limite de la somme ne peut être nulle. La condition proposée ne peut donc se réaliser que si tous lesai sont de module strictement plus petit que1. 25. pas de correction pour Esc25.tex
Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites de réels : corrigés
26. (Csc26) Notons un, vn, wn les termes d'indices n pour les trois suites proposées. Pour chacune, on forme des inégalités qui permettent de conclure par le théorème d'encadrement ou ses variantes.
Pour toutk∈J1, nK:
pn2+k > n⇒un≤n1 n = 1 pn2+k <p
n2+ 2n+ 1⇒un> n 1 n+ 1 n
n+ 1 ≤un ≤1⇒(un)n∈N∗→1.
Pourvn, on somme la minoration jusqu'à n2: n2
n+ 1 ≤vn ⇒(vn)n∈
N∗→+∞.
Avec la dénition de la partie entière 1
n3
n
X
k=1
k(kx−1)< wn≤ 1 n3
n
X
k=1
k2x
⇒ n(n+ 1)(2n+ 1)
6n3 x−n(n+ 1) 2n3
≤wn≤n(n+ 1)(2n+ 1)
6n3 x.
On en déduit
(xn)n∈N∗→ x 3.
27. (Csc27)Indication. Montrer queunest de la formeαnu0+ βnu1et préciser αn etβn.
28. (Csc28)On remarque d'abord que
√n≤√
n+ 1⇒un≤vn. Ensuite :
un+1−un = 1
√n+ 1−2√
n+ 2 + 2√ n+ 1
= 1
√n+ 1− 2
√n+ 2 +√ n+ 1
| {z }
>2√ n+1
>0.
De même,
vn+1−vn= 1
√n+ 1 −2√
n+ 1 + 2√ n
= 1
√n+ 1− 2
√
n+ 1 +√ n
| {z }
<2√ n+1
<0.
Enn,
vn−un = 2 √
n+ 1−√ n
= 2
√n+ 1 +√ n →0.
Les deux suites sont donc adjacentes.
29. pas de correction pour Esc29.tex 30. pas de correction pour Esc30.tex 31. (Csc31)
a. La fonctionfn
([0,+∞[→R
x7→x+x2+· · ·+xn
est strictement croissante de0 à +∞. Le réel a >
0 admet donc un unique antécédent xn. On peut noter quex1=a.
b. On remarque que
fn+1(xn) =a+xn+1n > a
L'antécédentxn+1deaparfn+1 est donc plus pe- tit quexn. La suite(xn)n∈
N∗est décroissante. Elle est minorée par0donc elle converge. On note l sa limite.
Comme fn(1) = n, pour n assez grand, on aura a < f(n). Il existe donc unN tel que
∀n≥N, xn ≤xN <1 On en déduit que xn+1n
n∈N∗→0(majoration par une suite géométrique convergente). En utilisant la formule pour une somme de termes en progression géométrique :
a=fn(xn) = xn−xn+1n 1−xn
Par opérations sur les suites convergentes, on dé- duit
a= l
1−l ⇒l= a 1 +a 32. (Csc32)
∀n≥2, un+1−un= 1
n2(n+ 1)2 >0.
Donc(un)n∈N∗ croissante.
∀n≥2, vn+1−vn= 1
n2(n+ 1)2 + 1
3(n+ 1)2 − 1 3n2
=3 +n2−(n+ 1)2
3n2(n+ 1)2 = 2−2n 3n2(n+ 1)2 <0.
Donc(vn)n∈N∗ décroissante.
∀n≥2, vn−un = 1 3n2.
Donc(vn−un)n∈N∗décroit et converge vers0. Les suites sont adjacentes.
33. (Csc33) En introduisant de force les termes pairs au nu- mérateur, on obtient
vn=
2n(2n+1)
2 −2n(n+1)2
n(n+1) 2
= 2n n+ 1 →2 34. (Csc34)Par dénition deun, on ann1 = 1 +un donc
n= (1 +un)n=
n
X
k=0
n k
ukn≥ n
2
u2n
⇒u2n≥n 2
n(n−1) = 2 n−1
⇒(un)n∈N∗→0⇒(nn1)n∈N∗→1.
La démonstration normale à retenir utilise l'expres- sion exponentiellenn1 =elnnn. Puis
lnn n
n∈N∗
→0 qui est une limite usuelle. On conclut avec
elnnn
n∈N∗
→1 =e0
par continuité en0de la fonction exponentielle.
35. (Csc35) a.
b.
c. Comme (vn) décroit vers0, tous les vn sont posi- tifs ou nuls. Ceci entraine en particulier que parmi deux valeurs consécutives deun, au moins une est positive.
Siun ≥0alors|un|=un ≤max(un, un−1) =vn−1. Siun<0alorsun−1 etun+1 sont≥0.
un−1≥0 un<0 )
⇒un−1=vn−1.
0≤un+1≤un−1+un
2 ⇒un−1+un ≥0.
On en déduit
|un|=−un ≤un−1=vn−1. On conclut par le théorème d'encadrement.
d. On se ramène au cas précédent en considérant la suite(un−v)n∈N.
36. pas de correction pour Esc36.tex 37. pas de correction pour Esc37.tex 38. pas de correction pour Esc38.tex
39. (Csc39) Notons lk la limite de (unk)n∈N. Pour k et k0 distincts, en considérant les indices multiples dekk0 et les suites extraites associées, on montre que tous leslk
sont égaux. Cela n'assure pas pour autant que la suite complète converge vers cette limite commune comme le montre l'exemple de(un)n∈N dénie par
∀n∈N, un=
(1 sinpremier
0 sinon.
40. pas de correction pour Esc40.tex
