[(xn)⊂A, xn →a

Continuité

Analyse 1

12 octobre 2013

En bref

∗ Limite d’une fonction

∗ Continuité

∗ Propriétés de base des fonctions continues

∗ Théorème des bornes atteintes

∗ Théorème des valeurs intermédiaires

∗ Applications

∗ On se donnef :A→Reta∈R

∗ Le problème de l’existence de lim

x→af(x)ne se pose que siaest « point d’accumulation » deA:∃(xn)n≥0⊂Atq xn →aetxn6=a(On note simplement(xn))

∗ Si tel est le cas, alors par définition

x→alimf(x) =l ∈R ⇐⇒

[(xn)⊂A, xn 6=a, xn →a] =⇒ f(xn)→l

Exercice

Sif : [0,1]→R, alors le problème de l’existence de

x→−1lim f(x)ne se pose pas

Solution.

∗ Si(xn)⊂[0,1]etxn →a, alorsa∈[0,1]

∗ Donc les points hors [0,1]ne sont pas des points d’accumulation de [0,1]

Exercice

Sif :R→R,f(x) = x, alors lim

x→af(x) =a,∀a∈R

Solution.

∗ aest point d’accumulation deR. En effet, la suite (xn)n≥1 ⊂R,xn :=a+ 1

n, satisfaitxn →aetxn6=a,

∀n≥1

∗ Soit(xn)⊂Rtqxn →aetxn6=a,∀n [But :f(xn)→a]

Alorsf(xn) =xn →a

Définition

Soitf :A→R

∗ Sia∈A, alorsf est continue en a ⇐⇒

[(xn)⊂A, xn →a] =⇒ f(xn)→f(a)

∗ f est continue (surA) sif est continue en tout point a∈A

Dans la suite,Asera un intervalle « non dégénéré » (=qui contient plus d’un point). Dans ce cas, nous avons

(résultat admis)

Proposition

Soitf :I →R, avecI intervalle non dégénéré.

∗ Alorsa∈I =⇒ apoint d’accumulation deI

∗ Poura∈I, nous avons a l’équivalence entre : (1) f continue ena, càd

[(xn)⊂I, xn→a] =⇒ f(xn)→f(a) (2) lim

x→af(x) =f(a), càd

[(x_n)⊂I, x_n6=a, x_n→a] =⇒ f(x_n)→f(a)

Exercice

Une fonction dérivable est continue

Solution.

∗ Sous entendu : sur un intervalle non dégénéréI

∗ Soita∈I.f dérivable ena:

[(xn)⊂I, xn 6=a, xn →a] =⇒ f(xn)−f(a)

xn−a →f⁰(a)

∗ Soit(xn)⊂I tqxn 6=aetxn →a. Alors f(xn) = f(a) + (xn−a)

| {z }

→0

f(xn)−f(a) xn−a

| {z }

→f⁰(a)

→f(a)

Opérations avec les fonctions continues

Résultat provisoirement admis

Proposition

∗ Sif,g:I →Rsont continues (resp. continues ena∈I), il en va de même pour :

Cf, f +Cg (C ∈R), fg, f

g (sig 6=0)

∗ Sif :I →J est continue (resp. continue ena∈I) et g :J →Rest continue (resp. continue en f(a)), alors g◦f est continue (resp. continue ena)

Voir travail individuel

Théorème des bornes ; théorème des bornes atteintes

Hypothèse

f : [a,b]→Rest continue Conclusion

f a un point de maximum et un point de minimum

Démonstration.

Montrons par ex. l’existence d’un point de maximum

∗ SoitM :=sup{f(x) ; x ∈[a,b]}

∗ Alors∃(xn)⊂[a,b]tqf(xn)→M

∗ Soit(xn_k)une sous-suite de(xn)tqxn_k →l ∈[a,b]

∗ Alorsf(xn_k)→M etf(xn_k)→f(l)

∗ D’oùf(l) =M

∗ D’oùl point de maximum def

Variation : minima des fonctions coerci(ti)ves

Définition

f :]a,b[→Rest coerci(ti)ve si

x→a+lim f(x) =∞et lim

x→b−f(x) =∞

Proposition

Une fonction continue et coerci(ti)ve a un point de minimum

Démonstration.

∗ SoitI :=]a,b[. Soitm:=inf{f(x) ;x ∈]a,b[}. On a m ∈R∪ {−∞}

∗ Soit(xn)⊂I tqf(xn)→m. Soit(xn_k)tqxn_k →x

∗ On ax ∈[a,b]. On aussif(xnk)→m

∗ Six =a, alorsm =∞ . De même six =b

∗ Doncx ∈I

∗ D’oùf(x) = m, d’oùx point de minimum de f

Exercice

La fonctionx 7→e^x− |x| −x³+sinx a un minimum surR

Solution.

∗ Soitf(x) = e^x − |x| −x³+sinx,x ∈R

∗ f est continue

∗ Par croissances comparées,

x→−∞lim f(x) = lim

x→−∞(−x³) = ∞,

x→∞lim f(x) = lim

x→∞e^x =∞

Variation : inégalités de la forme f ≤ Cg

Proposition

Hypothèses

∗ f : [a,∞[→[0,∞[,g : [a,∞[→]0,∞[continues

∗ La limite lim

x→∞

f(x)

g(x) existe et est finie Conclusion

∃C >0 tqf(x)≤Cg(x),∀x ∈[a,∞[

Résultat important pour l’étude des séries et des intégrales généralisées

Démonstration.

∗ SoitI := [a,∞[. SoitC :=sup{f(x)/g(x) ; x ∈I}[But : C <∞]

∗ Soit(xn)⊂I tqf(xn)/g(xn)→C. Soit(xn_k)tqxn_k →x

∗ On ax ∈[a,∞]

∗ Six =∞, alorsC = lim

x→∞

f(x)

g(x) <∞

∗ Sinon,x ∈I, et doncC = f(x)

g(x) <∞

Exercice

Il existeC >0 tqx³≤Ce^x,∀x ≥0

Solution.

∗ Soientf(x) =x³ ≥0,g(x) =e^x >0, avecx ≥0

∗ Alorsf,gcontinues et

x→∞lim f(x)

g(x) =0 (croissances comparées)

Théorème des valeurs intermédiaires ; TVI

Hypothèses

∗ f :I →Rcontinue

∗ x,y ∈I,t ∈Rsont tels quef(x)<t <f(y) Conclusion

Il existec ∈I tel quef(c) =t

Remarque

Donc

[s, u ∈f(I), s<t <u] =⇒ t ∈f(I) Càdf :I →Rcontinue=⇒ f(I)intervalle

Démonstration.

∗ OPSx <y

∗ SoitA:={z ∈[x,y] ; f(z)<t}. On ax ∈A(d’oùAnon vide)

∗ Soitc :=supA. Soit(xn)⊂Atqxn →c

∗ Alorsc ∈[x,y]⊂I etf(c) = lim

n→∞f(xn)≤t (d’oùc <y)

∗ On va montrer, par l’absurde, que f(c)6<t [D’où f(c) = t]

∗ Sinon : pourngrand f

c+ 1 n

<t, d’oùc n’est pas majorant deA

Exercice

Un train part de la villeAvers la ville Bsur l’unique voie qui relie les deux villes. Le départ est à 9 heures, l’arrivée à 15 heures

Le lendemain, le train part deB à 9 heures et arrive àAà 15 heures

Montrer qu’il existe un moment dans la journée pendant lequel le train s’est trouvé au même endroit les deux jours

Solution.

∗ Notonsf(t)la « position » (=abscisse curviligne à partir deA) du train à l’instantt ∈[9,15]le premier jour. On définit de mêmeg(t)

∗ f etg sont continues, etf(9)−g(9)<0, alors que f(15)−g(15)>0

∗ D’oùf(t) =g(t)pour unt ∈[9,15]

Corollaire

Hypothèses

∗ f :I →Rcontinue

∗ f injective Conclusion

f strictement monotone Voir travail individuel

Proposition

Hypothèses

f : [a,b]→Rcontinue et croissante Conclusion

f([a,b]) = [f(a),f(b)]

Démonstration.

∗ Six ∈[a,b], alorsf(x)∈[f(a),f(b)], d’où «⊂»

∗ Sif(a)<t <f(b), alors∃x ∈]a,b[tqf(c) =t

∗ D’où]f(a),f(b)[⊂f(]a,b[)

∗ D’où la conclusion

Généralisations : voir travail individuel

Théorème

Hypothèses

f :I →J continue et bijective Conclusion

f⁻¹:J →I continue

« La réciproque d’une fonction continue est continue »

Deux outils dans la preuve

Théorème des gendarmes

Si

yn≤xn ≤zn,yn →l etzn →l, alorsxn→l ...et « réciproquement »

Lemme

Si(xn)⊂[a,b]etxn →l, alors∃(yn),(zn)⊂[a,b]tq a≤yn≤xn ≤zn ≤b, yn %l etzn &l

Preuve de la continuité de f⁻¹.

∗ On suppose par ex.I = [a,b],f strictement croissante

∗ Soientx ∈J := [f(a),f(b)]et(xn)⊂J tqxn→x [But : f⁻¹(xn)→f⁻¹(x)]

∗ Soient(yn),(zn)⊂J tq

zn ≤xn≤yn, yn%x, zn&x

PosonsXn :=f⁻¹(xn), etc.[But :Xn→f⁻¹(x)]

∗ Alorsa≤Yn ≤Xn ≤Zn≤b,Yn%,Zn &

∗ NotonsY := lim

n→∞Yn ∈[a,b],Z := lim

n→∞Zn ∈[a,b]

∗ Alorsyn =f(Yn)→f(Y)etzn →f(Z)

∗ D’oùY =Z =f⁻¹(x). D’oùXn →f⁻¹(x)

Proposition

Soitf :I →J dérivable bijective. Soientx ∈I ety :=f(x).

Alors

f⁻¹est dérivable eny ⇐⇒ f⁰(x)6=0, et sif⁰(x)6=0 alors f⁻¹0

(y) = 1 f⁰(x)

Cas particulier : sif⁰ 6=0 surI, alorsf⁻¹est dérivable et f⁻¹0

= 1

f⁰◦f⁻¹

Démonstration.

∗ Sif⁻¹dérivable eny, alors f⁻¹⁰

(f(x))f⁰(x) = 1, d’oùf⁰(x)6=0

∗ Supposonsf⁰(x)6=0. Soit(yn)⊂J tqyn→y etyn 6=y

∗ Soitxn :=f⁻¹(yn), de sorte que xn →x etxn6=x

∗ Alors

n→∞lim

f⁻¹(yn)−f⁻¹(y)

yn−y = lim

n→∞

xn−x

f(xn)−f(x) = 1 f⁰(x)

∗ D’où la conclusion

Exercice

Déduire la dérivée du ln à partir de la dérivée de l’exponentielle

Solution.

∗ exp :R→]0,∞[est dérivable et bijective (voir aussi travail individuel)

∗ On a exp⁰ >0, d’où ln dérivable

∗ Siy =e^x, alors ln⁰(y) = 1

e^x = 1 y

∗ D’où ln⁰(y) = 1

y,∀y >0

Travail individuel

∗ On prend comme garanties les propriétés des limites de suites. (Par ex., sixn →l etyn →L, et sil +La un sens, alors xn+yn→l +L.) Montrer les propriétés des opérations sur les fonctions continues

∗ Preuve de l’implication « continue + injective =⇒

strictement monotone ». Notes de cours, Thm 4.5, p. 30

∗ Image def(I), avecf continue strictement monotone.

Notes de cours, Prop. 4.6, pp. 30–31