xn+1) de points de P(E) tel qu’il existe une base (e1

M2 Universit´e de Versailles Saint-Quentin Courbes alg´ebriques

1. Ensembles alg´ebriques projectifs

Exercice 1. SoitE un K-espace vectoriel de dimensionn+ 1 et soitp:E\ {0} →P(E) la projection canonique.

Unebase projective est un sous-ensemble (x₀,· · · , x_n+1) de points de P(E) tel qu’il existe une base (e1,· · · , en+1) de E avec

1. p(e_i) =x_i pour touti∈[1, n+ 1] et 2. x₀=p(e₁+· · ·+e_n+1).

1. Supposonsn= 1. Montrer qu’une famille (x0, x1, x2) deP(E) est une base projective si et seulement six₀,x₁etx₂ sont deux `a deux distincts. Par exemple, ([1 : 0],[0 : 1],[1 : 1]) est une base projective de P¹(K).

2. Montrer qu’une famille (x0,· · ·, xn+1) den+2 points deP(E) est une base projective si et seulement si aucune sous-familleS = (xi1,· · · , xin+1) de n+ 1 points n’est contenue dans un hyperplan.

3. Soient (x0,· · · , xn+1) et (y0,· · ·, yn+1) deux bases projectives deP(E). Montrer qu’il existe un unique ´el´ement ¯u∈PGL(E) (avecu∈GL(E) un repr´esentant) tel que ¯u(x_i) =y_i pour touti∈[0, n+ 1].

4. Soit K un corps de caract´eristique diff´erente de 2. Donner toutes les matricesu(dans la base canonique) telles que

¯

u([1 : 0]) = [0 : 1], u([0 : 1]) = [1 : 0] et ¯¯ u([1 : 1]) = [2 : 1].

Exercice 2. Soit K un corps.

1. Soit E = K³ et P(E) = P²(K) le plan projectif. Montrer que deux droitesD et D⁰ telles que D6=D⁰ se coupent en un point exactement.

2. Soit E = K⁴ etP(E) =P³(K) l’espace projective (de dimension 3).

2.a. Soit D une droite et Π un plan de P³(K). Montrer que D et Π se coupent en un point exactement si et seulement siG6⊂Π.

2.b. Soient Π et Π⁰ deux plans deP³(K). Montrer que Π∩Π⁰ contient une droite et que Π et Π⁰ se coupent exactement selon une droite si et seulement si Π6= Π⁰.

2.c. SoientDetD⁰ deux droites deP³(K). Montrer qu’en g´en´eral,DetD⁰ne se coupent pas. Montrer queDetD⁰ se coupent si et seulement s’il existe un plan Π tel queD, D⁰ ⊂Π.

Exercice 3. Soit x= [x0 :x1 :. . . :xn] un point dePⁿ. Calculer l’id´eal I({x}). Est-ce un id´eal maximal dek[X₀,X₁, . . . ,X_n] ?

Exercice 4. Dans les cas suivants, calculer l’intersection de V avec le planA² (identifi´e

`

a {[x:y: 1]∈P² |x, y∈k}) puis avec la droite `a l’infini.

(1) V ={[x:y:z]∈P² |x+y+λz= 0}, avec λ∈k.

(2) V ={[x:y:z]∈P² |z= 0}.

(3) V ={[x:y:z]∈P² |x=y, z = 0}.

(4) V ={[x:y:z]∈P² |x=y=λz}, avec λ∈k^×.

1

2

Exercice 5. Soit V =V(XT −Y Z)⊂P³(K).

1. Montrer que pour tout [a : b] ∈ P₁(K) et pour tout [c : d] ∈ P₁(K) les ensembles alg´epriques projectifs D_[a:b]=V(aX+bY, aZ+bT) etD^[c:d]=V(cX+dZ, cY +dT) sont des droites de V.

On poseF1 ={D_[a:b] |[a:b]∈P1(K)} etF2={D^[c:d] |[c:d]∈P1(K)}.

2. Montrer que toute droite deV est un ´el´ement de la famille F1 ou de la famille F2. 3. Soit P ∈V un point. Montrer qu’il existe exactement une droite de la famille F₁ et une droite de la famille F2 contenantP.

4. Soient DetD⁰ deux droites distinctes deV.

4.a. Supposons queD, D⁰∈F1 (ou de mani`ere sym´etriqueD, D⁰ ∈F2). Montrer que les droites Det D⁰ ne se rencontrent pas.

4.b. Supposons maintenant queD∈F₁ etD⁰ ∈F₂ (ou de mani`ere sym´etrique D∈F₂ etD⁰ ∈F1). Montrer que les droitesD etD⁰ se coupent en un point exactement.