,Xn] de degr´ed>0, on pose : P∗(X0

M2 Universit´e de Versailles Saint-Quentin Courbes alg´ebriques

1. Ensembles alg´ebriques projectifs Exercice 1. Montrer que l’id´eal de l’ensemble :

C ={[a² :ab:b²]∈P² |(a, b)∈k²,(a, b)6= (0,0)}

est le noyau de l’homomorphisme dek[X,Y,Z] dansk[X,Y] d´efini par F7→F(X²,XY,Y²).

Exercice 2. Pour tout P∈k[X1, . . . ,Xn] de degr´ed>0, on pose : P^∗(X₀, . . . ,X_n) = X^d₀·P

X₁ X0

, . . . ,X_n X0

qui est homog`ene de degr´ed. Si F∈k[X0, . . . ,Xn] est homog`ene de degr´e d>0, on pose : F∗(X₁, . . . ,X_n) = F(1,X₁, . . . ,X_n)

qui est de degr´e6d. Etant donn´es F,G∈k[X0, . . . ,Xn] homog`enes et P,Q∈k[X1, . . . ,Xn], montrer que :

(1) (FG)∗= F∗G∗.

(2) Si F6= 0, et simest la plus grande puissance de X0divisant F, alors X^m₀ (F∗)^∗ = F.

(3) (F + G)∗ = F∗+ G∗. (4) (PQ)^∗ = P^∗Q^∗. (5) (P^∗)∗= P.

(6) X^t₀(P + Q)^∗ = X^r₀P^∗+ X^s₀Q^∗, o`u r= deg(g),s= deg(f) et t=r+s−deg(f +g).

Exercice 3. Soit C =V(Y−X²,Z−X³)⊆A³. Montrer que : (1) I(C) est engendr´e par P = Y−X² et Q = Z−X³.

(2) ZT−XY appartient `a l’id´ealI(C)^∗ ⊆k[X,Y,Z,T] engendr´e par les F^∗, F∈I(C).

(3) ZT−XY∈/ (P^∗,Q^∗).

(4) Vproj(Iproj(C)) n’est pas ´egale `aVproj(P^∗,Q^∗).

Exercice 4. Si V est un ensemble alg´ebrique affine deAⁿ et X un ensemble alg´ebrique projectif de Pⁿ, on pose :

V^∗ =V_proj({P^∗ |P∈I_aff(V)}), X∗=V_aff({F_∗ |F∈I_proj(X)}).

On note H∞=Vproj(X0) l’hyperplan `a l’infini et U0 le compl´ementaire de H∞ dansPⁿ. (1) Si V⊆Aⁿ, alorsu0(V) = V^∗∩U0 et (V^∗)∗ = V.

(2) Si V⊆W⊆Aⁿ, alors V^∗ ⊆W^∗ ⊆Pⁿ. (3) Si V⊆W⊆Pⁿ, alors V∗⊆W∗⊆Aⁿ.

(4) Si V est irr´eductible dansAⁿ, alors V^∗ est irr´eductible dansPⁿ.

(5) Si V⊆Aⁿ, alors V^∗ est le plus petit ensemble alg´ebrique dePⁿ contenantu0(V).

(6) Si V1, . . . ,Vm sont les composantes irr´eductibles de V⊆Aⁿ, alors les V^∗₁, . . . ,V^∗_m sont les composantes irr´eductibles de V^∗ ⊆Pⁿ.

1

2

(7) Si ∅ (V(Aⁿ, alors V^∗ n’a pas de composante incluse dans ou contenant H∞. (8) Si V⊆Pⁿ et V n’a pas de composante incluse dans ou contenant H∞, alors on a

V∗ (Aⁿ et(V∗)^∗= V.

(9) Si V ⊆Pⁿ est irr´eductible et H∞⊆V, alors V est soit Pⁿ, soit H∞. Si V =Pⁿ, alors V∗ =Aⁿ, et si V = H∞, alors V∗=∅.

Exercice 5. On pose C =V(XY⁴−YZ⁴−XZ⁴)⊆P². Est-ce une vari´et´e projective ? Quelle est sa dimension ? D´eterminer ses points singuliers.