M2 Universit´e de Versailles Saint-Quentin Courbes alg´ebriques
Feuille 3, faire les exercices 2, 3, 5, 7, 9 A rendre le mardi 12 octobre 2020`
1. Dimension et singularit´es
Exercice 1. Montrer qu’une vari´et´e affine est de dimension 0 si et seulement si elle est r´eduite `a un point.
Exercice 2. Pour chaque entier d∈ {0, . . . ,3}, trouver F1,F2,F3 ∈k[X,Y,Z] tels que V(F1,F2,F3) soit une vari´et´e alg´ebrique affine de dimensiond.
Exercice 3. Dans les cas suivants, calculer une base de transcendance dek(V) sur k.
En d´eduire la dimension de V.
(1) V1 =V(X−Y)⊆A2. (2) V2 =V(X−Y)⊆A3. (3) V3 =V(X2−Y3)⊆A2. (4) V4 =V(XY−1)⊆A2. (5) V5 =V(X−Y,X + Y)⊆A2. (6) V6 =V(X−Y,Z)⊆A3.
Exercice 4.
(1) Montrer que deux vari´et´es affines isomorphes ont la mˆeme dimension.
(2) En d´eduire que V(X−Y)⊆A2 etV(X−Y)⊆A3 ne sont pas des vari´et´es affines isomorphes.
Exercice 5. Etudier la lissit´e deV(Y2−X(X−1)(X−λ))⊆A2 suivantλ∈k.
Exercice 6. Soient V = V(X2−Y3,Y2 −Z3) ⊆ A3 et a = (0,0,0) ∈ V. Calculer la dimension sur k de l’espace vectorielma/m2a.
Exercice 7. Trouver les points singuliers des vari´et´es affines suivantes.
(1) V =V(X2+ Y2−1)⊆A2; (2) V =V(X3−Y2)⊆A2; (3) V =V(Y2)⊆A2;
(4) V =V(X−YZ,Y2−XZ,Z2−Y)⊆A3; (5) V ={(t, t2, t3)|t∈k} ⊆A3.
Exercice 8. Montrer que l’ensemble alg´ebriqueV(X2−Y,Y2−Z)⊆A3 est une courbe lisse de quatre fa¸cons.
Exercice 9. Soit V =A1. (1) Calculerk[V] et k(V).
(2) Montrer que V est une courbe.
1
2
(3) Pour tout x∈V, montrer que k[V]x est un anneau de valuation discr`ete et trouver une uniformisante.
(4) Pourx= 1, calculer les valuations dansk[V]1 des ´el´ements suivants : X−1, X + 1, (X−1)3, X3−1.
(5) Montrer que l’anneau{F/G∈k(V)|deg(G)≥deg(F)} est un anneau de valuation discr`ete, et trouver une uniformisante.
Exercice 10. Soit k un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente de 2 et soit F∈k[X1,· · ·,Xn] un polynˆome homog`ene non nul de degr´e 2 (F est donc une forme quadratique).
1. Montrer qu’`a changement de variable pr`es, il exister∈[1, n] tel que F = X21+· · ·+X2r. 2. Montrer que V(F) est irr´eductible si et seulement sir≥3.
3. D´eterminer le lieu singulier de V(F) pour F = X21+· · ·+ X2r.
