Universit´e de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines Master 2 — Courbes Alg´ebriques

Universit´e de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines Master 2 — Courbes Alg´ebriques

Devoir maison 2020-2021 A faire en 3 heures `

Dans ce texte, kest un corps alg´ebriquement clos etn, m∈N^∗.

Exercice 1

Soient V ⊂Aⁿ et W ⊂A^m deux ensembles alg´ebriques affines et soitϕ:V → W une application r´eguli`ere. On rappelle qu’il existe un morphisme dek-alg`ebre associ´e `aϕ, not´e Γ(ϕ) =ϕ^∗ :k[W]→k[V] d´efini par f 7→f◦ϕ. On rappelle ´egalement que pourE ⊂A^m un ensemble quelconque, on noteE=V(I(E)) sont adh´erence pour la topologie de Zariski.

1. L’imageϕ(V) ={ϕ(x)∈W | x∈V} est-il toujours un ensemble alg´ebrique ? 2. On suppose queϕest injectif. Le morphisme Γ(ϕ) est-il toujours surjectif ? 3. On suppose queϕest surjectif. Le morphisme Γ(ϕ) est-il toujours injectif ? 4. Montrer que Γ(ϕ) est injective si et seulement siϕ(V) =W.

Exercice 2

On rappelle qu’une courbe alg´ebrique affine est un ensemble alg´ebrique affine de dimen- sion 1 irr´eductible. On rappelle aussi que les sous-ensembles alg´ebriques affines stricts d’une courbe sont finis.

1. SoitP ∈k[X, Y] non constant. Montrer que toutes les composantes irr´eductibles de V(P) sont de dimension 1.

2. SoitC⊂A²une courbe qu’on ´ecrit sous la formeC=V(P₁,· · ·, P_r) avecP₁,· · · , P_r∈ k[X, Y] non constants. Montrer que l’on peut supposer que chacun des polynˆomesP_i est irr´eductible. Montrer qu’il existeP ∈k[X, Y] irr´eductible tel queC=V(P).

3. Montrer que l’applicationP 7→V(P) est une bijection entre polynˆomes irr´eductibles unitaires dek[X, Y] et courbes deA².

Exercice 3

SoitMn(k) l’espace vectoriel des matrices carr´ees de taille n et soient SLn(k) ={A ∈ Mn(k)| det(A) = 1}, On(k) ={A∈Mn(k)| A^tA=In} et SOn(k) = SLn(k)∩On(k), o`u A^t est la matrice transpos´ee deAet In est la matrice identit´e de taillen.

1. Montrer que SL_n(k), O_n(k) et SO_n(k) sont des sous-ensembles alg´ebriques deAⁿ

2. 2. Montrer que SO₂(k) est isomorphe `a la courbeV(X²+Y²−1)⊂A².

3. Donner les composantes irr´eductibles de O₂(k).

4. Donner la dimension de SL_n(k) et montrer que c’est un ensemble irr´eductible et lisse.

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D´efinition. SoientV etW deux ensembles alg´ebriques projectifs.

1. On appellemorphismedeV dansW toute applicationϕ:V →W qui est r´eguli`ere en tout point deV.

2. Un morphisme ϕ : V → W est appel´e isomorphisme s’il existe un morphisme ψ:W →V tel queϕ◦ψ= IdW etψ◦ϕ= IdV.

Exercice 4

Dans cet exercice k est un corps de caract´eristique diff´erente de 2. Soit V = P¹ et W = V_P(X²+Y²−Z²). On consid`ere l’application ϕ: V → W d´efinie par ϕ([u :v]) = [u²−v²: 2uv:u²+v²].

1. Montrer queϕest un morphisme bijectif.

2. D´ecrire l’application r´eciproqueψ deϕ. Est-ce un isomorphisme ?

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