(xn) a un nombre fini de valeurs d’adh´erences

TD DU 04/11/11

Exercice 1. Oral X 2005

Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie, (xn) une suite d’´el´ements de E v´erifiant :

• (x_n) born´ee ;

• kx_n+1−x_nk −−−→

n→∞ 0 ;

• (xn) a un nombre fini de valeurs d’adh´erences.

Etudier la convergence de (x´ _n).

Exercice 2. Oral ENS 2005 Equivalent de´

+∞

P

n=1

n tⁿ

1−tⁿ lorsque t →1−.

1

2 TD DU 04/11/11

Solution 1 On va ´etablir par l’absurde la convergence de (x_n), en montrant qu’il ne peut y avoir qu’une valeur d’adh´erence.

Notonsl₁, . . . , l_p les valeurs d’adh´erences de (x_n) ; on supposep_>2. Soitr >0 assez petit pour que les B(l_i, r) soient disjointes (donc espac´ees). Notons B =

p

[

i=1

B(l_i, r) et A={n/x_n 6∈B}.

Si A ´etait infini, on pourrait extraire une suite de (x_n) dont les indices sont dans A, et qui

“´eviterait” tous les l_i. De cette sous-suite, on en extrairait d’apr`es Bolzano & Weierstrass une autre qui convergerait vers un a6∈ {a1, . . . , ap} , ce qui ne se peut.

A est donc fini. On se place alors au del`a d’un certain rang tel que tous les xn soient dans B. Soit = ₁₂¹ min_i6=j[d(B(l_i, r), B(l_i, r))] > 0. A partir d’un certain rang, |x_n+1 −x_n| ₆ . Supposons x_n ∈ B(l_i, r) sans perte de g´en´eralit´e. Les x_n ne peuvent demeurer dans B(l_i, r) : on peut donc supposer quex_n+1 ∈B(l_j, r). On obtient alors :

|x_n+1−x_n| _> d(B(l_i, r), B(l_j, r)) (1)

> 12

(2)

Ce qui ne se peut.

Donc p= 1 (p= 0 est impossible d’apr`es Bolzano & Weierstrass).

La suite (x_n) est une suite born´ee qui n’a qu’une seule valeur d’adh´erence, elle converge donc.

Solution 2 On utilise le th´eor`eme d’interversion des s´eries doubles pour t ∈]0,1[ (toutes les s´eries qui interviennent sont convergentes et `a termes positifs) :

+∞

X

n=1

ntⁿ 1−tⁿ =

+∞

X

n=1

nt

+∞

X

p=0

t^np=

+∞

X

n=1 +∞

X

p=1

nt^np

!

=

+∞

X

p=1 +∞

X

n=1

nt^np

!

=

+∞

X

p=1

t^p (1−t^p)²

= 1

(1−t)²

+∞

X

p=1

t^p

(1 +t+· · ·+t^p−1)².

Montrons que t^p

(1 +t+· · ·+t^p−1)² 6 1

p² sur [0,1] :

Comme tous les termes sont positifs, il suffit de prouver quept^p/2 61 +t+· · ·+t² or l’in´egalit´e de la moyenne nous donne

1 p

p−1

X

i=0

tⁱ

!

>

p−1

Y

i=0

tⁱ

!^1/p

=t^(p−1)/2. et comme t∈[0,1],t^(p−1)/2 >t^p/2 ce qui permet de conclure.

On a donc t^p

(1 +t+· · ·+t^p−1)^{2 6} 1

p² et lim

t→1−

t^p

(1 +t+· · ·+t^p−1)² = 1

p² d’o`u, par un argument de convergence normale, on en d´eduit que

+∞

P

p=1

t^p

(1 +t+· · ·+t^p−1)² →

+∞

P

p=1

1 p² = π²

6 . Conclusion :

+∞

P

n=1

ntⁿ

1−tⁿ ∼ 1 (1−t)²

π² 6 .