UNSA –Mesure et Topologie– L3 2014-2015 Examen du 12 juin 2015
Dur´ee: 2h00. Tous documents interdits.
1. Topologie deR2. On consid`ere les parties suivantes deR2: A={(x, y)∈R2| −x2≤y≤x2} B ={(x, y)∈R2|x2+y2<1}
C={(x, y)∈R2| |x|=|y|}
D=B\A
1.a. D´eterminer les adh´erences A, B, C, D. Parmi les parties A, B, C, D lesquelles sontouvertes, lesquelles sontferm´ees, lesquelles sontcompactes ?
1.b. D´eterminer lesint´erieurs deA, B, C, D.
1.c. D´eterminer lesfronti`eres deA, B, C, D.
1.d. D´eterminer lescomposantes connexes deAet de D.
2. Parties compactes et cocompactes de R. Une partie de R est dite cocompacte si son compl´ementaire est compact.
2.a. Quels sont les intervalles compacts, resp. cocompacts de R?
2.b. Montrer qu’une intersection quelconque de parties compactes deRest compacte. Montrer qu’une r´eunion finie de parties compactes deRest compacte.
Quelles sont les propri´et´es analogues des parties cocompactes de R?
2.c. On poseS=R∪ {∞}. Une partieAdeSest dite ouverte si, soitAest une partie ouverte deR, soitA contient ∞et A−{∞}est cocompact dansR. Montrer `a l’aide de2.bque les ouverts deSd´efinissent une topologieτS surS.
2.d. Montrer que l’espace topologique (S, τS) est compact.
2.e. Montrer queSest hom´eomorphe au cercle-unitS1⊂R2.
3. Mesures `a support ponctuel surRn. Soit l’espace mesurable (Rn,BRn) o`uBRn d´esigne la tribu des parties bor´eliennes surRn.
Pourx∈Rn, on noteδx:BRn→R+ la fonction de Dirac d´efinie par δx(A) =
(1 six∈A 0 six6∈A
3.a. Montrer queδxest une mesure sur (Rn,BRn).
3.b. Soitµune mesure sur (Rn,BRn). Montrer qu’il existe un ouvert maxi- malUµ⊂Rn de mesure nulle: µ(Uµ) = 0. Lesupport de la mesure µest d´efini par supp(µ) =Rn\Uµ. Montrer que supp(δx) ={x}.
3.c. Soitµune mesure finie sur (Rn,BRn) `a support ponctuel{x}. Montrer que µ= λδx pour un r´eel λ ≥ 0. (On pourra montrer que pour toute partie bor´elienneA∈ BRn contenantxon aµ(A) =µ({x}) en calculantµ(A\{x}).)
3.d. Soit µ une mesure finie sur (Rn,BRn) `a support fini {x1, . . . , xN}.
D´ecrireµ comme une combinaison lin´eaire de mesures de Dirac. Quand est-ce queµest une mesure de probabilit´e ? En connaissez-vous ?
3.e. Soitf une fonction mesurable sur (Rn,BRn) etµune mesure `a support fini. Que veut dire quef estµ-int´egrable ? Le cas ´ech´eant calculer
Z
Rn
f dµ.
Barˆeme indicatif: (1.5+1.5+1.5+1.5) + (1+1.5+1.5+1.5+1.5) + (1+1.5+1.5+1.5+1.5)
