Contrôle de Mathématiques 1 : Algèbre linéaire Nom : Groupe A
La rédaction et la justication des calculs constituent un point essentiel de l'évaluation des copies.
Exercice 1. 2 points. SoientA=
2 0 3
−1 1 2
etB=
−3 2 1 −3
. CalculerA.B,B.Aet B2.
Exercice 2. 4 points. Pour chacune des matrices suivantes, calculer leur déterminant et en déduire lesquelles sont inversibles :
A=
1 −2 3 −1
, B =
1 −2 4
2 1 5
3 3 −3
, C=
−5 2 −3 2
0 4 −2 −7
8 −4 2 −3
3 0 5 −2
Exercice 3. 3 points. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, résoudre dansR4le système suivant :
x + y − z + t = 1
x + 2y − t = 0
2x + y − t = 4
− y + z = 4 Exercice 4. 8 points. Soit la matrice A=
4 −2 1 1
. a. Calculer les valeurs propres deA.
b. Peut-on dire siAest diagonalisable ? Justier.
c. Déterminer les sous-espaces propres de Aet préciser leur dimension.
d. Si A est diagonalisable, alors donner la matrice de passage P, la matrice diagonale D ainsi que P−1.
Reprendre les mêmes questions (de a.àd.) pour la matriceB=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
.
Exercice 5. 3 points. Pour chacune des applications linéaires suivantes, donner la matrice associée dans la base canonique β, et préciser sur la feuille sans calcul si la matrice est "diagonalisable" ou si "on ne peut pas savoir".
a. ϕ((x, y)) = (y,−x):Matβ(ϕ) =
b. ϕ((x, y)) = (2x−y,−x):Matβ(ϕ) =
c. ϕ((x, y, z)) = (−3y+ 4z, y−3z,0):Matβ(ϕ) =
d. ϕ((x, y, z)) = (−6x+ 2z,−2y−2z,2x−2y+ 6z):Matβ(ϕ) =
