Exercice 1 - Parmi les listes proposées, dire lesquelles forment une base de

GMP - Maths S2- Espaces vectoriels - Séance 5. Base et dimension d’un espace vectoriel.

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Exercice 1 -

Parmi les listes proposées, dire lesquelles forment une base de ℝ³.

a.

( (

^{1 1 0,− ,}

) (

^{, ,2 1 2− ,}

) )

^b.

( (

^{1 1 0,− ,}

) (

^{, ,2 1 2− ,}

) (

^{, , ,1 0a}

) )

, discuter suivant les valeurs de a c.

( (

^{1 0 0, ,}

) (

^{, , ,a b 0}

) (

^{, , ,c d e}

) )

, discuter suivant les valeurs de a, b, c, d, e

d.

( (

^{1 1 3, ,}

) (

^{, , ,3 4 5}

) (

^{, −2 5 7, ,}

) (

^{, ,8−1 9,}

) )

Exercice 2 -

1) Montrer que l’ensemble ℝ^ℕ_A des suites arithmétiques réelles est un ℝ-espace vectoriel.

2) Soit deux suites arithmétiques : : ⁰ 1 0 u u

r

=



 = et : ⁰ 0 1 v v

r

=



 = . Déterminer ^{Vect u v}

( )

^{, .}

3) Quelle est la dimension de ℝ_A^ℕ ?

Exercice 3 -

On donne deux sous-espaces vectoriels de ℝ³ :

( )

{

^{, , 3| 2 0 et}

} { ⁽

^{, ,}

⁾

^{3| 2}

}

F= x y z ∈ℝ x− −y z= G= x y z ∈ℝ x= y= +x z . 1) Déterminer la dimension de F, puis celle de G.

2) Qu’est l’ensemble F∩G ?

3) La réunion d’une base de F et d’une base de G. forme-t-elle une base de ℝ³ ?

Exercice 4 -

Dans ^ℝ2

[ ]

^X , espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on donne :

( )

²

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

0 2, 1 1 1 , 2 2 1 , 3 1 2

p x =x − p x = x− x+ p x = x− x+ p x = x− x+ . 1) Montrer que p₀ est combinaison linéaire de p₂ et p₃.

2) Montrer que la famille

(

^{p p p1, 2, 3}

)

est libre.

3) Rappeler la base canonique de ^ℝ2

[ ]

^X et en déduire que

(

^{p p p1, 2, 3}

)

est une base de ^ℝ2

[ ]

^{X .}

Exercice 5 -

Soit ^{Fα =}

{

^{p x}

( )

^∈ℝn

[ ]

^{X |p}

( )

^{α =0}

}

^.

1) Montrer que ^B=

{ (

^x−α

)

^{xk,0≤ ≤ −k n 1}

}

est une base de F_α. Quelle est sa dimension ? 2) Donner les coordonnées de

(

^x−α

)

^n dans cette base.

Exercice 6 -

Dans ^Mn

( )

^ℝ , on nomme ^Tn+

( )

^ℝ le sous-espace des matrices triangulaires supérieures et ^Tn−

( )

^ℝ

celui des matrices triangulaires inférieures.

1) a. Donner les bases canoniques de ^M2

( )

^{ℝ , T2+}

( )

^{ℝ et T2−}

( )

^{ℝ .}

b. Identifier ^T2+

( )

^{ℝ ∩T2−}

( )

^ℝ et donner la dimension de cet espace.

c. A-t-on ^dim

(

^M2

( )

^ℝ

)

^=dim

(

^T2+

^{( )}

^ℝ

)

^+dim

(

^T2−

^{( )}

^ℝ

)

^−dim

(

^T2+

^{( )}

^{ℝ ∩T2−}

^{( )}

^ℝ

)

^?

2) Reprendre les questions 1) b. et 1) c., cette fois pour ^Mn

( )

^{ℝ , Tn+}

( )

^{ℝ et Tn−}

( )

^{ℝ .}