UNSA –Mesure et Topologie– L3 2016-2017 Examen du 12 juin 2017.
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1. Topologie deR2. On consid`ere les parties suivantes deR2: A={(x, y)∈R2| −x2≤y≤x2} B={(x, y)∈R2|x2+y2<1}
C=B\A
1.a. Parmi les partiesA, B, Clesquelles sontouvertes, lesquelles sontferm´ees, lesquelles sontconnexes, lesquelles sontcompactes ?
1.b. D´eterminer lesint´erieurs et lesfronti`eres deA, B, C, D.
1.c. D´eterminer lescomposantes connexes deC, deR2\Aet de R2\B.
2. Parties compactes et cocompactes de R. Une partie de R est dite cocompacte si son compl´ementaire est compact.
2.a. Montrer qu’une intersection quelconque de parties compactes deRest compacte. Montrer qu’une r´eunion finie de parties compactes deRest compacte.
Quelles sont les propri´et´es analogues des parties cocompactes de R?
2.b. On poseS=R∪ {∞}. Une partieAdeSest dite ouverte si, soitAest une partie ouverte deR, soitA contient ∞et A−{∞}est cocompact dansR. Montrer `a l’aide de2.bque les ouverts deSd´efinissent une topologieτS surS.
2.c. Montrer que l’espace topologique (S, τS) est compact.
2.d. Montrer queS est hom´eomorphe au cercle-unit´eS1⊂R2.
3. Changement de variable lin´eaire. Soit l’espace mesur´e (Rn,BRn, λ) o`u BRn est la tribu des bor´eliens deRn etλest la mesure de Lebesgue.
3.a. Montrer que toute fonction mesurablef : (Rn,BRn)→(Rn,BRn) d´efinit une mesureµf sur (Rn,BRn) par µf(A) =λ(f−1(A)) pourA∈ BRn.
3.b. Montrer que pour toute fonction mesurableφ: (Rn,BRn)→(R,BR), la fonction compos´ee φ◦f est ´egalement mesurable. Montrer que si φest ´etag´ee positive alorsφ◦f ´egalement, et on a:
Z
Rn
φdµf= Z
Rn
(φ◦f)dλ.
3.c. Montrer que siφ: (Rn,BRn)→(R,BR) estµf-int´egrable alorsφ◦f est λ-int´egrable, et on a:
Z
Rn
φdµf= Z
Rn
(φ◦f)dλ.
On pourra supposer queφest positive.
3.d. Soitf : Rn →Rn une transformation lin´eaire inversible. Pourquoi la fonctionf est-elle mesurable ? Montrer que la mesure associ´eeµf v´erifie
µf(a+A) =µf(A) pour toutA∈ BRn.
En d´eduire queµf(A)/µf([0,1]n) =λ(A) pourA∈ BRn.
3.e. Montrer que pourf orthogonal (resp. diagonal `a termes positifs) on a µf([0,1]n) = 1 (resp. µf([0,1]n) = det(f)1 ). On admettra que cela entraine que pourf ∈Gln(R) quelconque, on aµf([0,1]n) = |det(f)|1 .
3.f. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que pourf ∈Gln(R) et pourφ λ-int´egrable, on a la formule de changement de variable:
Z
Rn
(φ◦f)dλ= 1
|det(f)|
Z
Rn
φdλ.
Barˆeme indicatif:
(1.5+1.5+2) + (1.5+2+2+1.5) + (1+1.5+1.5+1.5+1.5+1) = 20 pts
