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Olympiade math ematique du Canada  

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Academic year: 2022

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Olympiade mathematique du Canada 1991

PROBL

EME 1

Demontrer que l'equationx2+y5=z3possede une innite de solutions en nombres entiersx,y,z tels quexyz6= 0.

PROBL

EME 2

Soitnun entier positif xe. Determiner la somme de tous les entiers positifs ayant la propriete suivante: en base 2, chaque entier est un nombre de 2n chires qui comprendnfois le chire 1 etnfois 0. (Le premier chire ne peut pas ^etre 0).

PROBL

EME 3

Soient C un cercle et P un point du plan. Toute droite qui passe par P et qui coupeCdetermine une corde deC. Demontrer que les points milieux de ces cordes appartiennent a un cercle.

PROBL

EME 4

Est-il possible de choisir dix nombres distincts dans l'ensemble

f0;1;2;:::;13;14g

et de les placer dans les cercles du diagramme de la maniere suivante: les valeurs absolues des dierences de deux nombres qui sont relies par un segment doivent

^etre toutes distinctes. Justier votre reponse.

PROBL

EME 5

Sur la gure, le c^ote du plus grand triangle equilateral est egal a 3, et f(3), le nombre de parallelogrammes limites par des segments du diagramme, est egal a 15.

Dans la situation generale analogue, etablir une formule pourf(n), le nombre de parallelogrammes, pour un triangle de c^oten.

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