Nombres complexes

(1)

Nombres complexes

Pr´erequis :

– coordonn´ees cart´esiennes du plan.

– coordonn´ees polaires.

– notion de distance euclidienne, d’angle orient´e.

Notations :

– Rd´esigne l’ensemble des r´eels.

1 Forme alg´ebrique d’un nombre complexe 2

1.1 D´efinitions . . . 2

1.2 Interprétation géométrique . . . 2

1.3 Conjugaison . . . 2

2 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe 3 2.1 Module . . . 3

2.2 Argument . . . 4

3 Groupe Udes nombres complexes de module 1, applications 5 3.1 Notion de groupe . . . 5

3.2 Exponentielle d’un imaginaire pur . . . 6

3.3 Racines n-i`emes . . . . 7

4 Compléments 8 4.1 Équation du second degré . . . 8

4.2 Exponentielle complexe . . . 8

5 Nombres complexes et g´eom´etrie plane 9 5.1 Distance . . . 9

5.2 Mesure d’angle, alignement, orthogonalit´e . . . 9

5.3 Barycentre . . . 10

5.4 ´Ecritures complexes des transformations usuelles . . . 10

St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent

(2)

1 Forme alg´ ebrique d’un nombre complexe

1.1 D´ efinitions

Définition 1.1.1 On appellenombre complexetout nombre de la formex+iyoù(x, y)∈R²et i désigne un nombre imaginaire dont le carré vaut−1. Cdésigne l’ensemble des nombres complexes :

C=x+iy, (x, y)∈R²

Remarque 1.1.2 On lira en annexe une construction plus d´etaill´ee du corps C des nombres complexes.

Cette construction n’est pas exigible.

Propriété et définitions 1.1.3 Pour toutz∈C, l’écriturex+iyoù(x, y)∈R²est unique . Cette écriture est appeléeforme algébriquedez.

x est appelé la partie réelle de z et y est appelé la partie imaginaire de z. Elles sont respectivement notéesRezet Imz.

Un nombre complexe zdont la partie r´eelle est nulle est appel´e unimaginaire pur. On note alorsz∈iR.

Exercice 1.1.4 Soit(x, y)∈R².

1. R´esoudre l’´equation x+iy−3y+ 2ix= 1 +i.

2. Que dire des nombres complexes(x+iy)(x−iy)et(x+iy)(y+ix)?

1.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique

On munit le plan P du rep`ere orthonormal direct (O;#»u ,#»v).

Toutes les coordonnées seront dorénavant données dans ce repère.

À tout pointM ∈ Pde coordonnées(x, y)correspond le nombre complexex+iy. Réciproquement, à tout complexex+iycorrespond le pointM de coordonnées(x, y).

Définitions 1.2.1 Pour toutM ∈ Pde coordonnées(x, y), on dit que le nombre complexe de forme algébriquex+iy est l’affixe du pointM. Pour toutz∈Cde forme algébriquex+iy, on dit que le pointM de coordonnées(x, y)est l’imagedez.

bM(z)

O #»u

#»v

Rez Imz

Remarques 1.2.2

(i) On parle aussi de l’affixe d’un vecteur : siAB# »a pour coordonn´ees(x, y)son affixe est ´evidemmentx+iy.

(ii) Le plan P muni du repère orthonormal direct(O;#»u ,#»v) et de la structure complexe associée est appelé plan complexe. Le lien entre les nombres complexes et la géométrie plane est fondamental (cf.partie 5).

Exercice 1.2.3 On considère l’application deCdansCdéfinie par :f(z) = 2iz−2i 1. Quel est l’ensemble des pointsM d’affixeztel que f(z)est un réel ? un imaginaire pur ?

2. (a) On considère les pointsA, B et C d’affixesa= 2i,b= 2 +i etc= 6−i. Démontrer que A,B et C sont alignés et que les pointsA⁰, B⁰ etC⁰ d’affixesf(a),f(b)et f(c)le sont également.

(b) Généraliser à trois pointsA,B,C alignés quelconques .

1.3 Conjugaison

Définition 1.3.1 Pour toutz∈Cde forme algébriquex+iy, on définit leconjuguédez par : z=x−iy

Les points images dez etz sont sym´etriques par rapport `a l’axe(O;#»u).

(3)

Propri´et´e 1.3.2 Soit(z, z⁰)∈C². (i) z=z.

(ii) z+z⁰=z+z⁰. (iii) zz⁰ =z z⁰.

(iv) Siz⁰ 6= 0alors _z^z0 =_z^z0.

(v) z∈R⇔z=zet z∈iR⇔z=−z.

(vi) Rez=^z⁺₂^z etImz= ^z−z₂_i .

(vii) ∀n∈Z, zⁿ=zⁿ (z6= 0 sin60).

Démonstration : Notonsx+iy la forme algébrique dez etx⁰+iy⁰ celle dez⁰. (i) et (ii) laissés au lecteur.

Concernant (iii), zz⁰ = (x+iy)(x⁰+iy⁰) = xx⁰−yy⁰+i(xy⁰+x⁰y) = xx⁰ −yy⁰ −i(xy⁰ +x⁰y) et d’autre partz z⁰=x+iy x⁰+iy⁰ = (x−iy)(x⁰−iy⁰) =xx⁰−yy⁰−i(xy⁰+x⁰y)d’où l’égalitézz⁰=z z⁰.

Siz⁰6= 0 alors :

zz⁰ =_x^x⁰₊⁺^iy_iy⁰ = ⁽^x⁺_x^iy⁰²⁾⁽₊^x_y⁰^−iy⁰² ⁰⁾= ^xx_x⁰²⁰⁺₊_y^yy⁰²⁰ +i^xy_x⁰²⁰^−x₊_y⁰⁰²^y = ^xx_x⁰²⁰₊⁺_y^yy⁰²⁰ +i^x_x⁰⁰²^y−xy₊_y⁰²⁰.

zz⁰ =_x^x−iy0−iy⁰ = ⁽^x−iy_x02⁾⁽+^xy⁰⁰²⁺îy⁰⁾= ^xx⁰⁺^yy_x⁰02⁺+ⁱ⁽y^xy⁰²⁰^−yx⁰⁾= ^xx_x02⁰+⁺y^yy⁰²⁰ +i^x_x⁰02^y−xy+y⁰²⁰ d’où l’égalité _z^z0 =_z^z0. (v) et (vi) laissés au lecteur.

z+z

2 = ^x⁺îy⁺₂^x−iy =²₂^x =xdoncRez= ^z⁺₂^z et ^z−z₂_i =^x⁺îy−₂⁽_i^x−iy⁾ =²₂îy_i =y doncImz= ^z−z₂_i . Le point (vii) est une généralisation du point (iii) que l’on admetpour l’instant.

C.Q.F.D.

Exercice 1.3.3

1. R´esoudre l’´equation 2z+iz= 3.

2. R´esoudre l’´equation z+zz= 1.

2 Forme trigonom´ etrique d’un nombre complexe

2.1 Module

Définition et propriété 2.1.1 Pour tout z ∈C de forme algébrique x+iy, on appelle module de z le nombre réel :

|z|=p x²+y²

Ce nombre est positif ou nul et siz∈Ralors le module dez est ´egal `a sa valeur absolue. De plus, si on note M ∈ P l’affixe dezalors|z|=

# » OM

=OM. Propri´et´e 2.1.2 Soient(z, z⁰)∈C². (i) |z|²=z z.

(ii) |z|= 0⇔z= 0.

(iii) |z|=| −z|=|z|. (iv) |zz⁰|=|z| |z⁰|.

(v) Si z⁰ 6= 0alors _z^z0

=_|z^|z|0|. (vi) Rez6|z| etImz6|z| (vii) ∀n∈Z, |zⁿ|=|z|ⁿ.

D´emonstration : Soientx+iy etx⁰+iy⁰ les formes alg´ebriques dez et z⁰. Concernant le point (i), z z= (x+iy)(x−iy) =x²+y² donc|z|²=z z.

Les points (ii) et (iii) sont laiss´es au lecteur. Concernant les points (iv) et (v) :

|zz⁰|=√

zz⁰zz⁰=√

zz z⁰z⁰=√ zz√

z⁰z⁰=|z| |z⁰|. Siz⁰6= 0 alors

_z^z0

=»

zz⁰ z z⁰ =»

zz z⁰z⁰ =√^√^{z z}

z⁰z⁰ = _|z^|z|0|.

y² >0 doncx²+y² >x². On en déduit, par croissance de la fonction racine carrée que |x|6|z|. Commex6|x| il vientRez6|z|et de la même fa¸con,Imz6|z|.

Le point (vii) est une g´en´eralisation du point (iv) que l’on admetpour l’instant.

C.Q.F.D.

(4)

Propriété 2.1.3 – Inégalités triangulaires

∀(z, z⁰)∈C², | |z| − |z⁰| |6|z+z⁰|6|z|+|z⁰|

Démonstration : Commen¸cons par la seconde inégalité :

|z+z⁰|²= (z+z⁰)(z+z⁰) =zz+zz⁰+ z⁰z

|{z}

zz⁰

+z⁰z⁰=|z|²+|z⁰|²+ 2Re zz⁰

Or 2Re zz⁰

6 |zz⁰| donc |z+z⁰|² 6 |z|²+|z⁰|²+ 2|zz⁰| 6 |z|²+|z⁰|²+ 2|z||z⁰| par cons´equent

|z+z⁰|²6(|z|+|z⁰|)² et enfin|z+z⁰|6|z|+|z⁰|(par croissance de la fonction racine carr´ee).

Enfin|z|=|z+z⁰−z⁰|6|z+z⁰|+|z⁰|donc|z|−|z⁰|6|z+z⁰|. De la même fa¸con, on a|z⁰|−|z|6|z+z⁰| et comme| |z| − |z⁰| |est égal à |z| − |z⁰|ou|z⁰| − |z|, ceci justifie la première inégalité.

C.Q.F.D.

Remarque 2.1.4 L’inégalité triangulaire tient son nom d’une propriété élémentaire : dans un triangle ABC, la plus courte dis- tance pour aller de A en B est AB. Un détour par C ne peut qu’augmenter cette distance ainsi AB 6 AC+CB. Si on note z l’affixe deAC# »etz⁰ celle deCB# »alorsAB# »a pour affixez+z⁰d’où :

|z+z⁰|6|z|+|z⁰|

b bb

B

A

# » C AC(z)

# » CB(z^′)

# » AB(z+z^′)

1 Exercice 2.1.5 Étudier le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire.

Exercice 2.1.6 1. Soit(a, b)∈C².

(a) D´emontrer que2|a|6|a+b|+|a−b| et2|b|6|a+b|+|a−b|. (b) En d´eduire que|a|+|b|6|a+b|+|a−b|.

2. Étudier le cas d’égalité.

2.2 Argument

Définition 2.2.1 Pour toutz∈C^∗de forme algébriquex+iy, le point imageM(z)admet des coordonnées polaires(ρ, θ)oùρ∈R^∗+ et θ∈R. Le réelθ est alors appelé unargument dez, il est notéArgz.

Remarques 2.2.2 (i) ∀z∈C^∗, ρ=|z|.

(ii) Le réelθn’est pas unique, par exemple les points de coordonnées polaires(1, π)et(1,−π)ont la même affixe. Par abus de langageArgzdésigne n’importe quelle mesure θ de l’angle (#»u,OM# »); l’égalité de deux arguments n’a de sens qu’à2kπprès (k∈Z).

On note alors(2π)à la fin d’une telle égalité pour le préciser (et on litmodulo2π).

(iii) Il faut connaˆıtre les valeurs remarquables des sinus et cosinus et les formules donn´ees en annexe.

b M(z)

O #»u

#»v

Rez=ρcosθ Imz=ρsinθ

θ ρ

Définition 2.2.3 Pour toutz∈C^∗ on appelleécriture trigonométriquedezl’égalité : z=|z| cos(Argz) +isin(Argz)

R´eciproquement pour toute ´ecriture de la formez=ρ(cosθ+isinθ)avecρ >0on a|z|=ρetArgz=θ(2π).

(5)

Exercice 2.2.4

1. Donner une ´ecriture trigonom´etrique des nombres complexes suivants : z= 1 +i√

3 z⁰ =−1 +i

2. Soitθ∈]−π, π[. Donner une ´ecriture trigonom´etrique de1 + cosθ+isinθ.

Propri´et´e 2.2.5 Soit(z, z⁰)∈C^∗²

(i) Argz= 0 (π)⇔z∈RetArgz= ^π₂ (π)⇔z∈iR.

(ii) Argz=−Argz (2π).

(iii) Argzz⁰= Argz+ Argz⁰ (2π).

(iv) Arg¹_z =−Argz (2π).

(v) Arg_z^z0 = Argz−Argz⁰ (2π).

(vi) ∀n∈Z, Argzⁿ=nArgz(2π).

Démonstration : On peut se contenter d’une interprétation géométrique pour les points (i) et (ii).

Concernant le point (iii) :

zz⁰=|z| cos(Argz) +isin(Argz)

|z⁰| cos(Argz⁰) +isin(Argz⁰)

=|zz⁰|

cos(Argz) cos(Argz⁰)−sin(Argz) sin(Argz⁰) +

i sin(Argz⁰) cos(Argz) + sin(Argz) cos(Argz⁰) Orcos(Argz+ Argz⁰) = cos(Argz) cos(Argz⁰)−sin(Argz) sin(Argz⁰).

Etsin(Argz+ Argz⁰) = sin(Argz⁰) cos(Argz) + sin(Argz) cos(Argz⁰)donc : zz⁰=|zz⁰| cos(Argz+ Argz⁰) +isin(Argz+ Argz⁰) Par cons´equentArg(zz⁰) = Argz+ Argz⁰ (2π).

De plus ¹_z = _|z|^z2 = _|z|¹2z et on en déduit queArg_z¹ = Arg_|z|¹2 + Argz= 0−Argz =−Argz (2π) ce qui justifie (iv). Le point (v) est laissé au lecteur et le point (vi) est une généralisation du point (iii) que l’on admetpour l’instant.

C.Q.F.D.

Exercice 2.2.6 1. On notez=p

2 +√ 2 +ip

2−√

2. Calculerz² et en donner une ´ecriture trigonom´etrique.

2. En déduire une écriture trigonométrique dez.

3 Groupe U des nombres complexes de module 1, applications

3.1 Notion de groupe

Définition et propriété 3.1.1 On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1. L’ensemble (U,×)est un groupe.

Démonstration : Vérifions que×est une loi interne àU. En effet :

∀(z, z⁰)∈U², |zz⁰|=|z| |z⁰|= 1

Cette loi est associative (car elle l’est dansC), elle admet1∈Ucomme élément neutre et toutz∈U admet pour symétrique ¹_z qui appartient àU. Ainsi(U,×)est un groupe (cf.annexe).

C.Q.F.D.

(6)

Remarques 3.1.2

(i) U est l’ensemble des affixes des points situés sur le cercle trigonométrique (c’est-à-dire le cercle de centre Oet de rayon 1).

(ii) Soitz∈Cde forme alg´ebriquex+iy :z∈U⇔x²+y²= 1.

(iii) Soitz∈C^∗: z∈U⇔z= cos(Argz) +isin(Argz).

(iv) ∀z∈U, z=¹_z ∈U.

3.2 Exponentielle d’un imaginaire pur

Définition 3.2.1 Pour toutθ∈R, on appelleexponentiellede iθle nombre complexe noté eîθsuivant : eîθ= cosθ+isinθ

Cela permet de condenser l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe z ∈ C^∗ : z = |z|eⁱÂrg^z. Par ailleurs, il est clair queU=eîθ, θ∈R .

Propriété 3.2.2 Soit(α, β)∈R² : (i) eîα= _e¹iα =e^−iα.

(ii) eⁱ⁽^α⁺^β⁾=eîαeîβ. (iii) eⁱ⁽^α−β⁾= ê_eîαiβ.

(iv) ∀n∈Z, e^iαn=e^niα.

Démonstration : Les points (i), (ii) et (iii) ont déjà été vus (cf.3.1.2 et 2.2.5). Le point (iv) est une généralisation du point (ii) que l’on admetpour l’instant.

C.Q.F.D.

b M(e^iθ)

#»u O

#»v θ

1 Propri´et´e 3.2.3

(i) En explicitant eîθ, on déduit de ce qui précède (point (iv)) la propriété suivante appelée Formule de Moivre:

∀θ∈R,∀n∈Z, (cosθ+isinθ)ⁿ = cos(nθ) +isin(nθ) En particulier :

∀θ∈R,∀n∈Z, cos(nθ) =Re(cosθ+isinθ)ⁿ et sin(nθ) =Im(cosθ+isinθ)ⁿ

(ii) En écrivant les parties réelle et imaginaire de eîθ, on arrive aux relations suivantes appelées relations d’Euler:

∀θ∈R, cosθ= e^iθ+e^−iθ

2 et sinθ=e^iθ−e^−iθ 2i

Exercice 3.2.4 Calculer pour tout(n, θ)∈N×Rle nombre r´eel suivant : C_n= 1 + cosθ+ cos 2θ+· · ·+ cosnθ

La propriété suvante décrit deux transformations (contraires l’une de l’autre) d’expressions trigonométriques.

Elle est admise mais vous devez savoir la mettre en œuvre sur des exemples.

(7)

Propriété 3.2.5 – Linéarisation et factorisation d’expressions trigonométriques Soitp∈Netθ∈R.

(i) cos^pθousin^pθpeut s’exprimer comme une somme deλ_kcoskθou une somme deλ_ksinkθ(aveck∈J0, pK et (λ0, . . . , λp) ∈ R^p⁺¹). Une telle transformation d’écriture s’appelle une linéarisation d’expression trigonométrique.

(ii) cospθousinpθpeut s’exprimer comme une sommeλ_kcos^kθou une somme deλ_ksinθcos^kθ(aveck∈J0, pK et (λ0, . . . , λ_p) ∈ R^p⁺¹). Une telle transformation d’´ecriture s’appelle une factorisation d’expression trigonom´etrique.

Exercice 3.2.6 Soitx∈R.

1. Lin´eariser cos²xet sin³x.

2. Factoriser sin 3xetcos 3x.

3.3 Racines n-i` emes

Définition 3.3.1 Soitn∈N^∗. On appelleracine n-ième de l’unitétout nombre complexez solution de l’équationzⁿ= 1.

Propriété 3.3.2 Soitn∈N^∗. Il y a exactementnracinesn-ièmes de l’unité qui sont les complexes : e^2iπ×0ⁿ , e^2iπ×1ⁿ , e^2iπ×2ⁿ , . . . , e^{2iπ×(n−1)}ⁿ

Démonstration : Écrivonszsous forme trigonométriqueρeîθ(avec(ρ, θ)∈R+×R) : zⁿ = 1⇔ ρeîθn = 1⇔ρⁿe^niθ= 1

⇔

ß ρⁿ= 1 nθ= 0 (2π)

⇔

ß ρ= 1carρ>0

il existek∈Ztel que θ= ²^kπ_n

⇔il existek∈J0, n−1Ktel quez=eⁱ^2kπⁿ car e^2inπⁿ = 1.

C.Q.F.D.

Remarque 3.3.3

(i) Il est conseillé de retenir que e^2iπ³ est une racine cubique de l’unité. En général elle est notée j.

(ii) On note parfois ω = e^2iπⁿ (pour n ∈ N^∗). On constate alors que les racines n-i`emes de l’unit´e sont ω⁰= 1,ω, . . . ,ωⁿ⁻¹.

Propriété 3.3.4 Soitn∈N^∗ eta∈C^∗ donné sous forme trigonométriquea=reîα(oùr∈R^∗+ etα∈R).

L’´equation zⁿ =aadmet exactement nracines donn´ees par :

√n

reⁱ^α+2π×0ⁿ , √ⁿ

reⁱ^α+2π×1ⁿ , √ⁿ

reⁱ^α+2π×2ⁿ , . . . , √ⁿ

reⁱ^{α+2π×(n−1)}ⁿ

Démonstration : La démarche est exactement la même que précédemment.

zⁿ=a⇔ ρe^iθn

=re^iα⇔ρⁿe^niθ=re^iα

⇔

ß ρⁿ =r nθ=α(2π)

⇔

ß ρ= √ⁿ

rcarρ >0 θ= ^α_n ²_n^π

⇔il existek∈J0, n−1Ktel quez= √ⁿ

reⁱ^α+2kπⁿ car e^2inπⁿ = 1.

C.Q.F.D.

(8)

Exercice 3.3.5 R´esoudrez³=−8i etz⁴= 16.

Remarque 3.3.6 Dans le cas où l’on résout l’équation z² = a (z est alors appelé une racine carrée complexedea) on verra en T.D. une méthode qui permet de ne pas utiliser l’écriture trigonométrique dea.

4 Compl´ ements

4.1 Equation du second degr´ ´ e

On se propose de résoudre l’équation suivante notée(E):az²+bz+c= 0d’inconnuez∈Caveca∈C^∗et (b, c)∈C². Pour cela, la démarche est la même que ce que vous avez étudié en lycée :

(E)⇔a Å

z²+ b az+c

a ã

= 0

⇔ Å

z+ b 2a

ã2

− b² 4a² + c

a = 0

⇔ Å

z+ b 2a

ã2

− b² 4a² + c

a = 0

⇔ Å

z+ b 2a

ã2

−b²−4ac 4a² = 0

Définition 4.1.1 Le nombre complexe∆ =b²−4acest appelédiscriminantde l’équation(E). On notera dorénavantδune racine carrée complexe de∆.

Théorème 4.1.2 Les solutions de l’équation du second degré(E): az²+bz+c= 0d’inconnue z∈Cet oùa∈C^∗ et(b, c)∈C² sont données par :

(i) Si∆ = 0alors(E)admet une unique racine appel´eeracine doubleet valant z0=−₂^b_a.

(ii) Si ∆ 6= 0 alors (E) admet exactement deux racines appel´ees racines simples et valant z1 = ^−b−δ₂_a et z2= ^−b₂⁺_a^δ.

Démonstration : (E) équivaut à : z+₂^b_a²

− ₄^∆_a2 = 0. Si ∆ = 0 alors l’équation (E) équi- vaut à z+₂^b_a²

= 0 qui admet pour unique solution z0. Si ∆ 6= 0 alors l’équation (E) équivaut à z+₂^b_a²

− ₂^δ_a² = 0ce qui équivaut encore à z+₂^b_a+₂^δ_a z+₂^b_a −₂^δ_a= 0. Par conséquent (E) admet deux racines distinctes qui sontz1 etz2.

C.Q.F.D.

Exercice 4.1.3

1. Résoudre dansCles équations suivantes (θdésignant un réel quelconque) :z²−4z+5 = 0etz²+z+1 = 0.

2. Mˆeme question :2z²−(7−2i)z+ 10−5i= 0

4.2 Exponentielle complexe

D´efinition 4.2.1 Soitz ∈Cde forme alg´ebrique x+iy. L’exponentielle complexe dez est le nombre complexe suivant :

e^z=e^xeîy Propriété 4.2.2 Soit(z, z⁰)∈C²

(i) e^z∈C^∗. (ii) e^z=e^z. (iii) e^z⁺^z⁰ =e^ze^z⁰. (iv) _e¹z =e^−z.

(9)

(v) _e^ez^z0 =e^z−z⁰.

(vi) ∀n∈Z, (e^z)ⁿ =e^nz.

Démonstration : Soientz et z⁰ deux nombres complexes dont on notex+iy et x⁰+iy⁰ les formes algébriques. On suppose connues les propriétés de l’exponentielle réelle.|e^z|=|e^x| |eîy|=e^x>0donc le point (i). De plus e^z=e^xeîy=e^xeîy =e^xe^−iy =e^z par définition ce qui justifie (ii).

Enfin e^z⁺^z⁰ =e^x⁺^x⁰⁺ⁱ⁽^y⁺^y⁰⁾=e^x⁺^x⁰eⁱ⁽^y⁺^y⁰⁾=e^xe^x⁰eîyeîy⁰ =e^xeîye^x⁰eîy⁰ =e^ze^z⁰ donc le point (iii).

e1^z = _ex¹e^iy = _e¹x

e1îy =e^−xe^−iy=e^−z (point (iv)) et pour finir _eêz^z0 =e^z_e¹z0 =e^ze^−z⁰ =e^z−z⁰ (point (v)). Le point (vi) est une généralisation de (iii) que l’on admettra.

C.Q.F.D.

Exercice 4.2.3 Soita∈C^∗. R´esoudre l’´equation e^z=ad’inconnuz∈C.

5 Nombres complexes et g´ eom´ etrie plane

5.1 Distance

On a vu que, pour toutM ∈ Pd’affixez, on a|z|=OM. Plus généralement on a : Propriété 5.1.1

(i) SiA∈ P etB∈ P ont pour affixesaetbalors|b−a|=AB=

# » AB

.

(ii) SiA∈ P,B∈ P etM ∈ Psont trois points distincts d’affixesa,bet zalors

z−az−b

=^|z−a|_|z−b| = ^AM_BM. Les modules de nombres complexes permettent aussi de d´efinir les cercles, les disques :

Définitions 5.1.2 On appelledisque ouvert(respectivementdisque fermé,cercle) de centreAd’affixe aet de rayonR∈R+ l’ensemble des pointsM ∈ Pdont les affixes zvérifient :

|z−a|< R (respectivement|z−a|6R, |z−a|=R ) Exercice 5.1.3

1. Quel est l’ensemble des pointsM ∈ P d’affixez∈C\{−1} tel que

zz−i+1

= 1? 2. Quel est l’ensemble des pointsM ∈ P d’affixez∈Ctel que |z+i|62?

5.2 Mesure d’angle, alignement, orthogonalit´ e

Propri´et´e 5.2.1

(i) SiA∈ P,B∈ P,C∈ P etD∈ P sont quatre points distincts d’affixesa,b, cetdalors : Argd−c

b−a=ÄAB,# » CD# »ä (2π)

(ii) SiA∈ P,B∈ P etM ∈ Psont trois points distincts d’affixesa,bet zalors : Argz−a

z−b =ÄMB,# » MA# »ä (2π) D´emonstration :

Argd−c

b−a = Arg(d−c)−Arg(b−a) (2π)

=Ä#»u ,CD# »ä

−Ä#»u ,AB# »ä

=Ä#»u ,CD# »ä

+ÄAB,# » #»u,ä

=ÄAB,# » CD# »ä (2π)

D’o`u le point (i) et ainsiArg^z−a_z−b =ÄBM,# » AM# »ä

=ÄMB,# » MA# »ä (2π).

C.Q.F.D.

On en d´eduit queArg^z−a_z−b vaut0 (π)si et seulement si les pointsA,B,M sont align´es. Cet argument vaut

π

2 (π)si et seulement si l’angle÷AMBest droit d’où la propriété suivante :

(10)

Propriété 5.2.2 Avec les mêmes notations que précédemment : (i) A, B etM alignés⇔ ^z−a_z−b ∈R.

(ii) (MA)et (MB)perpendiculaires ⇔ ^z−a_z−b ∈iR.

Exercice 5.2.3 On noteAle point d’affixe i.

1. D´emontrer queM ∈ P d’affixez∈Cest align´e avecAetM⁰ d’affixe izsi et seulement si : (MA,# » MO) =# » π

4 (π) 2. En d´eduire l’ensemble des pointsM tels queA,M et M⁰ sont align´es.

5.3 Barycentre

Définition 5.3.1 Soit(α, β)∈R²telα+β6= 0. On appellebarycentre des points pondérés(A;α)et (B;β)le point défini par :

# »

OG= αOA# »+βOB# » α+β

Remarques 5.3.2

(i) Avec les notations précédentes et en posantaetbles affixes deAetB etz_G celle deGon az_G= ^αa_α⁺₊^βb_β . (ii) On peut démontrer queGest l’unique point tel queαGA# »+βGB# »= #»0.

(iii) On peut généraliser la définition précédente (et donc la propriété qui en découle) à un nombre fini de points et de pondérations à condition que la somme des pondérations ne soit pas nulle.

5.4 Ecritures complexes des transformations usuelles ´

Définitions 5.4.1 Soit #»u un vecteur du plan d’affixeb∈C. On appelletranslationde vecteur #»u l’application du plan dans lui-même qui à tout pointM ∈ PassocieM⁰∈ P tel que # »

MM⁰ =#»u.

En notant zl’affixe deM etz⁰ celle deM⁰, on déduit de l’égalité précédente quez⁰−z=bsoit encore : z⁰=z+b

Cette expression de l’affixe deM⁰en fonction de celle deM est appel´ee´ecriture complexede la translation de vecteur #»u.

Remarque 5.4.2 Par exemple, on a déjà vu quez⁰=zest l’écriture complexe de la symétrie d’axe(O;#»u).

Définition et propriété 5.4.3 Soitk∈R. On appellehomothétiede centre O et de rapportkl’application du plan dans lui-même qui à tout pointM ∈ PassocieM⁰∈ P tel que # »

OM⁰ =kOM# ». L’´ecriture complexe de cette homoth´etie est : z⁰ =kz.

D´efinition 5.4.4 Soit(a, b)∈C^∗×C.

On appellesimilitude directel’application du plan dans lui-mˆeme qui `a tout point M ∈ P d’affixez∈C associeM⁰∈ P d’affixez⁰ ∈Ctelle que :

z⁰=az+b

Propriété 5.4.5 Soitsla similitude directe d’écriture complexez⁰=az+b ((a, b)∈C^∗×C).

(i) Sia= 1alorssest la translation de vecteur #»u d’affixeb.

(ii) Sia6= 1alors il existe un unique (Ω;k)∈ P ×R+^∗ et θ∈Rtels ques(Ω) = Ωet pour tout pointM ∈ P distinct deΩ, son imageM⁰ parsest caract´eris´ee par :

® ÄΩM,# » # » ΩM⁰ä

=θ (2π) ΩM⁰=kΩM

(11)

Démonstration : Le point (i) a déjà été traité (cf.5.4.1).

Supposonsa 6= 1. Ω = s(Ω) si et seulement si son affixe est solution de l’´equation z =az+b. Or celle-ci admet une unique solution not´eeω. On a alors :

z⁰ =az+ω−aω⇔z⁰−ω=a(z−ω) SoitM ∈ P\{Ω} d’affixez6=ω. Alors : ^Ω_Ω^M_M⁰ = ^|z_|z−ω|⁰^−ω| =

z⁰−ω z−ω

=|a| d’o`u l’existence et l’unicit´e de k=|a|. Enfin on a :

ÄΩM,# » # » ΩM⁰ä

= Argz⁰−ω

z−ω = Arga(2π) D’o`u l’existence deθ= Arga.

C.Q.F.D.

Exercice 5.4.6 SoientAet B deux points distincts deO d’affixesaet b. On consid`ere de plusC le point tel queABC est un triangle direct isoc`ele rectangle enC.

1. (a) Justifier que Cest l’image deApar une similitude `a pr´eciser.

(b) En d´eduire une expression decaffixe de Cen fonction de aetb.

2. Déterminer de même det e affixes de D et E tels que ADO et OEB sont des triangles directs isocèles rectangles respectivement enD etE.

3. Que dire des segments[AE]et[DC]?

Définition et propriété 5.4.7 On appelleinversionde centreOet d’axe(O;#»u)l’application qui à tout pointM ∈ P\{O}associeM⁰∈ P\{O}tel que :







OM⁰= _OM¹ Ä#»u ,# »

OM⁰ä

=−Ä#»u ,OM# »ä (2π) L’´ecriture complexe de cette inversion est :z⁰= ¹_z.

D´emonstration : Soit z = ρe^iθ l’affixe du point M distinct de O. Alors le module de z⁰ est

|z⁰|=_|z|¹ =¹_ρ et un argument dez⁰ est−θ ainsiz⁰ =¹_ρe^−iθ=_ρe¹iθ = ¹_z.

C.Q.F.D.

Exercice 5.4.8 Soita∈R^∗.

1. SoitM un point d’affixeztel queRez=a. Démontrer queM est situé sur une droitedà déterminer puis que le pointM⁰ d’affixe ¹_z est situé sur le cercle de centre le pointAd’affixe ₂¹_a passant parO.

2. Quel est le lieu des pointsM⁰ lorsqueM d´ecrit d?